Szereg geometryczny – szereg postaci
- gdzie
jest pierwszym wyrazem szeregu geometrycznego, a – ilorazem szeregu geometrycznego.
-tą sumą częściową jest suma pierwszych wyrazów szeregu:
Wartość -tej sumy częściowej jest równa:
- dla
- dla
Dowód. Niech Wzór jest prawdziwy dla bowiem Załóżmy indukcyjnie, że wzór jest prawdziwy dla Wówczas
W równości oznaczonej gwiazdką „*” wykorzystaliśmy założenie indukcyjne Na mocy twierdzenia o indukcji matematycznej otrzymujemy prawdziwość wzoru dla dowolnego
Jeśli to wszystkie wyrazy szeregu są równe i -ta suma częściowa ma postać
Zbieżność szeregów geometrycznych
Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy lub Wówczas suma szeregu dana jest wzorem
Dowód.
- Jeśli to gdyż
- Jeśli to dla każdego zachodzi: więc a zatem
Od teraz załóżmy, że
- Jeśli to i na mocy kryterium d’Alemberta szereg jest rozbieżny.
- Jeśli to
- Jeśli to wyraz ogólny szeregu jest postaci Zatem
- Stąd gdy liczba jest nieparzysta oraz gdy liczba jest parzysta. Zatem granica nie istnieje.
Przykład
W nieskończonym szeregu geometrycznym
iloraz jest równy zaś Wobec tego zgodnie z powyższym twierdzeniem
Wynik ten obrazuje załączona grafika.