Wyznaczanie współczynnika lepkości metodą Stokesa

Opis przyrządów
Cylinder szklany z badaną cieczą; na cylindrze zaznaczony jest poziom, między którym ruch ma charakter jednostajny; cylinder oświetlony jest od tyłu, kulka szklana, śruba mikrometryczna, sekundomierz.

Opis doświadczenia (lepkość)
Ciecz przepływająca przez przewody przylega do ścian przewodu tworząc nieruchomą warstwę. W miarę przesuwania się od ścian przewodu do środka prędkość rośnie (rys. 1). Podczas przepływu cieczy mamy do czynienia z przesuwaniem jednych jej warstw względem drugich. Towarzyszy temu opór nazywany tarciem wew. lub krócej lepkością.
Właściwości różnych cieczy (płynów) pod względem jej lepkości charakteryzuje wielkość zwana współczynnikiem lepkości. Def. tego współczynnika opiera się na wynikach badań eksperymentalnych Newtona. Wyobraźmy sobie przepływ laminarny cieczy (rys. 2). Przepływ nazywamy laminarnym inaczej stacjonarnym warstwowym ( w odróżnieniu od burzliwego ), gdy wszystkie cząstki płynu poruszają się po torach równoległych do siebie. Wtedy ruch płynu sprowadza się do przesuwania się warstw płynów względem siebie.

Wyodrębniamy dwie warstwy I i II o powierzchni S, odległe od siebie o ∆h. Warstwa górna porusza się z prędkością V1, a dolna V2. Stałość tych prędkości jest zapewniona wtedy, gdy na górną warstwę cieczy działa siła zew. F, styczna do powierzchni, równoważąca opór ze strony cieczy. Newton wykazał, że siła ta wyraża się wzorem:

η – (dynamiczny) współczynnik lepkości
∆V – różnica prędkości obu warstw

Siła lepkości Fl działająca na każdej z warstw jest równa co do wartości sile F lecz przeciwnie skierowana:

Siła lepkości jest wprost proporcjonalna do powierzchni S warstw cieczy i do tzw. gradientu prędkości ∆V/∆h (spadu).
Kierunek siły Fl na każdej warstwie cieczy jest przeciwny do kierunku prędkości względnej danej warstwy. Siła ta doży do zmniejszenia prędkości warstwy poruszającej się szybciej i do zwiększenia prędkości warstwy poruszającej się wolniej.
Współczynnik lepkości danego ośrodka ( w SI) liczbowo wyraża siłę lepkości ( w newtonach ), powstającą przy ruchu względnym dwóch warstw o jednakowej pow. ( 1m2 ), jeśli gradient prędkości między warstwami jest jednostkowy ( 1s-1 )
Jednostką współczynnika lepkości w SI jest:

Współczynniki lepkości wykazują dużą rozpiętość wartości liczbowych dla różnych płynów, jak również zależność od temp.
Współczynniki lepkości cieczy na ogół maleją ze wzrostem temp.

Metoda Stokesa
Każde ciało poruszające się w cieczy czy w gazie doznaje pewnej hamującej siły wskutek tego, że warstewki cieczy przylegającej do ciała będącego w ruchu pociągają za sobą coraz dalsze warstewki sąsiednie. Mamy tu do czynienia z przesuwaniem się jednych warstw cieczy względem drugich. Istnieje gradient prędkości cząstek cieczy w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu

Rys. 3

Siłę tarcia wew. ( lepkości ) T działająca na gładką kulkę charakteryzuje prawo Stokesa.

r – promień kulki
V – prędkość kulki
η – współczynnik lepkości (niezależny od materiału kulki, zależny od rodzaju cieczy i temp.)

Zatem

Stąd
η – współczynnik lepkości
r – promień kulki
g – współczynnik grawitacji
δ – gęstość materiału kulki
δ1 – gęstość badanej cieczy (gliceryny)
t – średni czas spadku kulki zmierzony między pierścieniami
S – odległość między pierścieniami

Do wysokiego, dość szerokiego naczynia ( rys.4 ) zawierającego badaną ciecz wrzuca się kulkę o promieniu r i gęstości δ tak dobranej do gęstości cieczy δ1, by spadanie nie odbywało się zbyt szybko. Na spadającą kulkę działają trzy siły:

Siła ciężkości:
Siła wyporu:
Siła Stokesa:

W pierwszym stadium spadania kulki w cieczy prędkość jej rośnie. Równocześnie rośnie siła Stokesa. Przy pewnej wartości prędkości V następuje zrównoważenie się sił

i od tej chwili kulka porusza się ruchem jednostajnym. Prędkość V tego ruchu znajdujemy mierząc pewien odc. drogi S i odpowiadający mu czas przelotu t:

Rys. 4

Kolejność czynności:
1. Zmierzyć kilkakrotnie średnicę kulki śrubą mikrometryczną i obliczyć rśr.
2. Oświetlić cylinder lampą
3. Aby kulka upadłą w pobliżu osi cylindra, wpuszczać ją kilkakrotnie przez lejek i sekundomierzem kilka razy zmierzyć jej czas spadania
4. Zmierzyć odległość S od dwóch pierścieni

Wyniki pomiarów:
Pomiary spadków kulki szklanej:

1) 4,9s 2) 4,7 s 3) 4,8s 4) 4,8s 5) 4,75s
6) 4,85s 7) 4,8s 8) 4,9s 9) 4,89s 10) 4,7s

Tśr = 4,8 s ± 0,05 s
H= 0,61 m – wysokość słupa gliceryny
S = 0,527 m ± 0,001 m – odległość między pierścieniami
rśr = 0,0078 m ± 0,0001 m – średni promień kulki
m = 0,0048 kg = 4,8 * 10-3 kg – masa kulki
δ1 = 1261 kg/m3 ± 1 kg/m3 – gęstość gliceryny

Obliczenia:
Vk – objętość kulki
δ – gęstość kulki szklanej
η – lepkość

Odp: Lepkość gliceryny wynosi około 1,4 kg /m* s.