Sprawdzenie zasady zachowania energii mechanicznej

1. Krótki wstęp teoretyczny.

1.1. Rzut ukośny ? polega on na tym, że cząstka porusza się w płaszczyźnie pionowej z pewną prędkością początkową v0 oraz z przyśpieszeniem ziemskim g, skierowanym zawsze pionowo w dół. Może to być lot piłki, ale nie samolotu lub kaczki, których lot nie jest swobodny.
Rzut poziomy. Ruch w kierunku poziomym odbywa się bez przyśpieszenia, dlatego też składowa pozioma prędkości pocisku nie ulega zmianie w czasie ruchu i pozostaje równa swej wartości początkowej v0x.
x ? x0 = V0x t
x ? x0 = (V0 cos?0)t
1.2. Energia potencjalna i kinetyczna.
Energia potencjalna jest to energia związana z konfiguracją ciał w układzie, w którym działają siły zachowawcze. Gdy siła zachowawcza wykonuje pracę W nad jedną z cząstek układu, jego energia potencjalna zmienia się o:
?Ep = ?W
Jeśli cząstka przemieszcza się z punktu xpocz do punktu xkońc , to zmiana energii potencjalnej układu wynosi:
?Ep = ? ? F(x)dx
Grawitacyjna energia potencjalna ? energia potencjalna układu złożonego z Ziemi i znajdującej się w jej pobliżu cząstki. Gdy cząstka zmienia wysokość z ypocz na ykońc , zmiana grawitacyjnej energii potencjalnej układu cząstka-Ziemia jest równa:
?Ep = mg(ykońc ? ypocz ) = mg?y
Jeśli jako położenie odniesienia cząstki wybierzemy punkt ypocz = 0, w którym energię potencjalną przyjmiemy za równą zeru: Ep pocz = 0, to grawitacyjna energia potencjalna Ep cząstki na dowolnej wysokości y wyraża się jako:
Ep(y) = mgy
Energia potencjalna sprężystości ? jest to energia związana ze stanem ściśnięcia lub rozciągnięcia ciała. Sprężyna, która po przemieszczeniu jej swobodnego końca o x działa siłą sprężystości: F = ?kx ma energię potencjalną sprężystości równą:
Ep(x) = ? kx2
Konfiguracją odniesienia jest dla sprężyny stan, w którym jest ona nieodkształcona; w tym stanie x=0 i Ep=0.

Energia kinetyczna Ek , związana w ruchem cząstki o masie m i wartości prędkości v, przy czym v jest znacznie mniejsze od prędkości światła, wynosi:
Ek = ? mv2
Energia mechaniczna układu jest to suma jego energii kinetycznej Ek i energii potencjalnej Ep :
Emech = Ek Ep
1.3. Układem izolowanym nazywamy układ, w którym żadne siły zewnętrzne nie powodują zmian energii. Jeśli w układzie izolowanym pracę wykonują tylko siły zachowawcze, to energia mechaniczna Emech układu nie ulega zmianie. Stwierdzenie to, noszące nazwę zasady zachowania energii mechanicznej można zapisać w postaci:
Ek2 Ep2 = ?Ek1 ?Ep2
Przy czym wskaźniki 1 i 2 odnoszą się do dwóch różnych sił w trakcie procesu zmiany energii. Zasadę tę można również podać w postaci:
?Emech = ?Ek ?Ep = 0
Zasada zachowania energii. Całkowita energia E układu (będzie sumą jego energii mechanicznej i różnych postaci energii wewnętrznej, w tym energii termicznej) może ulegać zmianie tylko o energię dostarczoną do układu lub od niego odebraną. To prawo empiryczne nosi nazwę zasady zachowania energii. Jeśli nad układem wykonywana jest praca W, to zachodzi równość:
W = ?E = ?Emech ?Eterm ?Ewewn
Gdy układ jest izolowany (W = 0), otrzymujemy stąd:
?Emech ?Eterm ?Ewewn = 0

2. Opis sposobu wykonania ćwiczenia, wraz z zapisem kolejności wykonywanych czynności.

1. Przymocować pasek papieru i kalki maszynowej na podstawie urządzenia pomiarowego.
2. Pomiar:
2.1.1. wysokości położenia kulki przy zerowym wychyleniu H
2.1.2. długości wahadła l
2.1.3. masy kulki m
3. Odchylić kulkę od położenia równowagi o kąt ? (50?) i zatrzymać ją w tym położeniu włączając elektromagnes. Zanotować kąt wychylenia wahadła.
4. Wyłączając elektromagnes wykonać rzut kulki. Powtórzenie czynności 10 razy.
5. Zmierzyć zasięg Z każdego z rzutów i obliczyć wartość średnią zasięgu.
6. Oszacować dokładność określenia zasięgu.
7. Obliczyć wzrost wartości energii potencjalnej kulki przy zmianie jej położenia h.
8. Obliczyć wartość energii kinetycznej w punkcie wyrzutu.
9. Oszacować dokładność określenia wartości energii potencjalnej i energii kinetycznej.
10. Sporządzenie wykresu ?Ek = f(?Ep) oraz zależność teoretyczną wynikającą z zasady zachowania energii.

3. Obliczenia.

Obliczanie średniej wartości zasięgu (dla ? = 50?)

Zśr = (a1 a2 ? an) / n

Zśr = (30,6 30,6 30,7 30,6 30,6 30,5 30,6 30,6 30,6 30,5) / 10 = 30,59 [cm]

Obliczanie błędu maksymalnego Z [cm] dla ? = 50?

1. 30,59 ? 30,6 = (-0,01)2 = 0,0001
2. 30,59 ? 30,6 = (-0,01)2 = 0,0001
3. 30,59 ? 30,7 = (-0,11)2 = 0,0121
4. 30,59 ? 30,6 = (-0,01)2 = 0,0001
5. 30,59 ? 30,6 = (-0,01)2 = 0,0001
6. 30,59 ? 30,5 = (-0,09)2 = 0,0081
7. 30,59 ? 30,6 = (-0,01)2 = 0,0001
8. 30,59 ? 30,6 = (-0,01)2 = 0,0001
9. 30,59 ? 30,6 = (-0,01)2 = 0,0001
10. 30,59 ? 30,5 = (-0,09)2 = 0,0081

Obliczanie energii potencjalnej:
?Ep = mgl(1 ? cos ?) ? =50?
?Ep = (13,97*10-3) * 9,81 * (29,1*10-2) (1 ? 0,6427) = 14,25 * 10-3 [J]

Obliczanie energii kinetycznej:
?Ek = (mZ2g) /4*H
?Ek = (13,97*10-3) (30,59*10-2)2* 9,81/ 4* (20,7*10-2) = 15,49 * 10-3 [J]

Obliczanie niepewności:

m = 13,97 * 10-3 kg ?m = 0,00001 kg
l = 0,291 m ?l = 0,001 m
g = 9,81 m/s2 ?g = 0,02 m/s2
? = 50? ?? = 1?
Z = 0,3059 m ?Z = 1,8*10-2 m
H = 0,207 m ?H = 0,001 m

energia potencjalna
?Emax = (m ?m)(g ?g)(l ?l)[1 ? cos(50? 1?)]
?Em= (m - ?m)(g - ?g)(l - ?l)[1 ? cos(50? - 1?)]

?Emax= (13,97*10-3 0,01*10-3)*(9,81 0,02)*(0,291 0,001)*(1-0,6293) = 14,87 * 10-3 [J]
?Emin = (13,97*10-3-0,01*10-3)*(9,81-0,02)*(0,291-0,001)*(1-0,6561) = 13,63 * 10-3 [J]

energia kinetyczna
?Emax = (m ?m)(Z ?Z)2(g ?g)/4(H ?H)
?Emin = (m - ?m)(Z - ?Z)2(g - ?g)/4(H - ?H)

?Emx=(13,97*10-3 0,01*10-3)(0,3059 0,018*10-2)2(9,81 0,02)/(4*(0,207 0,001)) = 0,01562 =
15,62 * 10-3 [J]
?Emin = (13,97*10-3-0,01*10-3)(0,3059-0,018*10-2)2(9,81-0,02)/(4*(0,207-0,001)) = 0,01535 =
15,35 * 10-3 [J]

4. Prezentacja wyników.

W wyniku pomiarów otrzymałam następujące wyniki:

? Zasięg w rzucie poziomym Z [cm]
25? Z=15,35 [cm]
?Z= 0,022 [cm]
Z=(15,4?0,02) [cm]
?% = 0,13%
30? Z=18,27 [cm]
?Z=0,0396 [cm]
Z=(18,3?0,04) [cm]
?% = 0,22%
40? Z=24,46 [cm]
?Z=0,016 [cm]
Z=(24,5?0,02) [cm]
?% = 0,08%
50? Z=30,59 [cm]
?Z =0,018 [cm]
Z=(30,6?0,02) [cm]
?% = 0,07%

? ?Ep ?Ek
25? (3,74*10-3?0,32*10-3) [J]
?% = 8,56 % (3,90*10-3?0,04*10-3) [J]
?% = 1,02 %
30? (5,34*10-3?0,38*10-3) [J]
?% = 7,5 % (5,52*10-3?0,07*10-3) [J]
?% = 1,27 %
40? (9,33*10-3?0,50*10-3) [J]
?% = 5,4 % (9,90*10-3?0,09*10-3) [J]
?% = 1 %
50? (14,25*10-3?0,62*10-3) [J]
?% = 4,3 % (15,48*10-3?0,14*10-3) [J]
?% = 0,71 %

5. Wnioski

Celem doświadczenia było sprawdzenie zasady zachowania energii mechanicznej. Zasada zachowania energii mechanicznej mówi, że energia mechaniczna Emech układu nie ulega zmianie, jeśli w układzie izolowanym pracę wykonują tylko siły zachowawcze (siły wewnętrzne układu).
Porównując zależność teoretyczną ?Ek = f(?Ep) wynikającą z zasady zachowania energii mechanicznej do zależności otrzymanej doświadczalnie (patrz wykres), wnioskuje się, iż w tym doświadczeniu zasada zachowania energii mechanicznej nie została zachowana. Wpływ na to miały:
a) pomiary zostały wykonane przez różne osoby,
b) różne metody pomiarowe (osoby dokonujące pomiarów obierały różne punkty odniesienia,
c) mała dokładność urządzeń pomiarowych,
d) niepewności oraz błędy pomiarowe,
e) siły zewnętrzne działające na układ (np. siły tarcia, siła sprężystości, opór powietrza).

6. Bibliografia

? D.Halliday, R.Resnick, J.Walker ? ?Podstawy fizyki 1?, wyd. PWN, Warszawa 2006
? ?Tablice matematyka, fizyka, chemia, astronomia?, wyd. Świat Książki, Wrocław 2003