Klasyczny rachunek zdań. Funktory prawdziwościowe. Formuły KRZ

RACHUNEK ZDAŃ, TEORIA ZDAŃ - to jeden z podstawowych działów logiki, obejmujący wzory logiczne inaczej logiczne schematy wnioskowania niezawodnego. Przedmiotem rachunku zdań jest badanie związków logicznych między zdaniami złożonymi, a zwłaszcza zachodzących między nimi strukturalnych stosunków bezpośredniego wynikania. W klasycznym rachunku zdań rozróżniamy następujące formy:
• zmienne zdaniowe - oznaczane symbolicznie małymi literami: p, q, r, s, t. Za zmienne można podstawiać inne zdanie,
• funktory zdaniotwórcze od argumentów zdaniowych, czyli spójniki przyzdaniowe (negacja) i międzyzdaniowe (alternatywa, implikacja, koniunkcja, równoważność),
• wyrażenie złożone, stanowiące różnorodne kombinacje zmiennych i funktorów, zawierające niekiedy również kwantyfikatory.
Funkcja zdaniowa - wyrażeni zawierające zmienne nazwowe i znaki, z których co najmniej jedna jest wolna, a które po podstawieniu stałych (nazw lub zdań) w miejsce tych zmiennych przekształca się w zdanie. Funkcja zdaniowa może być:
• ekstensjonalna - jeśli przekształcenie jej w zdanie prawdziwe (lub fałszywe) zależy jedynie od wartości logicznej zdań lub od denotacji (tj. zakresu nazwy) nazw podstawionych w niej za odpowiednie zmienne,
• intensjonalna - jeśli przekształcenie jej w zdanie prawdziwe zależy jedynie od sensu wyrażeń podstawionych w miejsce zmiennych (a nie od ich prawdziwości lub fałszywości).
Zadaniom przysługuje wartość logiczna prawdy lub fałszu.
Oznaczamy:
1- prawda
0- fałsz
Wartość logiczną zadania możemy obliczyć za pomocą tabeli zero-jednynkowej


nie i lub albo jeżeli to wtedy i tylko wtedy gdy
p q ~p



0 0 1 0 0 0 1 1
0 1 1 0 1 1 1 0
1 0 0 0 1 1 0 0
1 1 0 1 1 0 1 1

FUNKTORY –
każde wyrażenie nie będące zdaniem ani nazwą, służące najczęściej do konstruowania zdań lub nazw, lub innych wyrażeń bardziej złożonych.
Argument - to nazwy, zdania, oraz inne wyrażenie związane z danym funktorem,
np.: Jan - uczy - Piotra.
  
nazwa funktor nazwa

np. : Stanisław jest studentem i Michał jest studentem.

funktor
Podział funktorów:
1. funktory nazwotwórcze - są to wyrażenia, które dodane do nazwy tworzą nazwę:
a) funktory nazwotwórcze od jednego argumentu nazwowego - to wyrażenie, które dodane do nazwy tworzy dalej nazwę.
np.: Student (nazwa), pilny (funktor), Pilny (funktor nazwotwórczy) student.
b) funktory nazwotwórcze od dwóch argumentów nazwowych - to wyrażenie, które łączy dwie nazwy i w wyniku tego połączenia powstaje dalej nazwa.
np.: słowo "i" w zdaniu: Malarz i poeta
2. funktory zdaniotwórcze - to funktory, które łączą dwa zdania tworząc nowe zdanie.
a) funktory zdaniotwórcze od jednego argumentu nazwowego - to wyrażenie, które dodane do zdania tworzy nowe zdanie. np.: słowo "je"
b) funktory zdaniotwórcze od dwóch argumentów nazwowych - to wyrażenie, które łączy dwa zdania, w wyniku tego połączenia powstaje nowe zdanie.
Przykłady :
1. Pójdę do kina.
2. Pójdę do teatru.
3. Pójdę do kina lub pójdę do teatru.
(funktor)
Funktory prawdziwościowe, to takie funktory, które pozwalają nam określić zdanie, jeżeli znamy wartość argumentów tego funktora.

Funktor negacji ¬
NEGACJA - (zaprzeczenie, odrzucenie) - w języku potocznym jest odpowiednikiem przeczenia. Ma postać słowną: "nieprawdą jest, że", "nie jest tak, że". Symbol: "~"
Przy pomocy tego funktora tworzona jest funkcja zdaniowa negacji: ~p
Tabela prawdziwościowa mówi nam, jaką wartość będzie miało zdanie utworzone przy pomocy tego funktora:
p ~ p
1 0
0 1
Funktor negacji zmienia wartość zdania.

Funktor koniunkcji ¬
KONIUNKCJA (połączenie)- zwana iloczynem logicznym - to zdanie złożone z dwu lub więcej zdań, prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy każde ze zdań składowych jest prawdziwe (odpowiednikiem koniunkcji w języku jest zdanie złożone ze spójnikiem "i')
Najczęściej oznaczany za pomocą spójnika: "i, oraz, a, chociaż, ale, lecz"
Symbol: „•”, „ ”
Przy pomocy tego funktora zdanie ma postać: p • q
Tabela:
p q P•q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

Funktor alternatywy
ALTERNATYWA – (zmieniam kolejno) zdanie złożone współrzędnie, które jest prawdziwe, gdy przynajmniej jedno ze zdań składowych jest prawdziwe.
Oznaczana spójnikiem: "lub" symbol: v
Przy pomocy tego funktora zdanie ma postać: p v q
Tabela:
p q p v q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

Alternatywa rozłączna:
Oznaczana słownie: "albo p, albo q"
Symbol: „”
Przy pomocy tego funktora zdanie ma postać: p  q
Tabela:
p q pq
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0

Funktor implikacji ¬
IMPLIKACJA -(związanie, pouczenie) zdanie złożone, mające swój odpowiednik w okresach warunkowych rzeczywistych języka naturalnego, które jest prawdziwe wówczas, gdy nie jest tak, iż jego poprzednik (człon pierwszy, następujący po słowie „jeżeli”) jest prawdziwy, a następnik (człon drugi, następujący po słowie "to”) jest fałszywy.
Oznaczana słownie: "jeżeli p, to q"
Symbol:  , 
Przy pomocy tego funktora zdanie ma postać: p  q
poprzednik implikacji następnik implikacji
Tabelka:
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

Nie można zamieniać miejscami poprzednika z następnikiem. Implikacja jest zdaniem fałszywym, jeżeli poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy.
Z prawdy nie może wynikać fałsz!

RÓWNOWAŻNIK
Równoważność - stosunek zachodzący między wyrażeniami mającymi tą samą wartość logiczną (tzw. równoważność implikacyjna), polegający na tym, że wyrażenia te wzajemnie z siebie wynikają logicznie.
Najczęściej oznaczany za pomocą spójnika: "zawsze i tylko wtedy, jeżeli p to q"
Symbol: Ξ
Przy pomocy tego funktora zdanie ma postać: p Ξ q
Tabela:
p q p Ξ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Spójniki logiczne w klasycznym rachunku zdań

SPÓJNIKI LOGICZNE ( FUNKTORY RACHUNKU ZDAŃ )
Nazwa Symbol Interpretacja
koniunkcja
p i q
alternatywa
p lub q
implikacja
jeżeli p to q
równoważność
p wtedy i tylko wtedy, gdy q
negacja ~ nie prawda, że p
alternatywa rozłączna
albo p albo q
Formuła rachunku zdań – wyrażenie poprawnie zbudowane ze zmiennych zdaniowych
i spójników logicznych np.
Wartościowanie – przyporządkowanie wartości logicznych poszczególnym zmiennym zdaniowym
Formuły klasycznego rachunku zdań - KRZ
1) Zmienne zdaniowe są formułami KRZ
2) zmienna p jest formułą KRZ, to ~p jest formułą KRZ
3) jeżeli p i q są formułami KRZ to p q; p q; p q; p q też są formułami KRZ
Istnieją takie funkcje zdaniowe, które dla wszystkich możliwych podstawień zawsze są zdaniem prawdziwym. Jest to tzw. prawo logiczne lub tautologia.

TAUTOLOGIA - to schemat zdania, w którym każde zdanie podpadające pod ten schemat jest prawdziwe (np. każde A jest A).
Jeżeli pada deszcz, to ulice są mokre i wiadomo, że ulice są mokre, a zatem pada deszcz.
„p„ „q„  „q” „p”
[ (p  q)  q]  p

Zwroty: „a zatem, wobec tego" mówią, która część zdania jest następnikiem, a która poprzednikiem.

Jeżeli pada deszcz to ulice są mokre i nieprawdą jest, że ulice są mokre, zatem nieprawdą jest, że pada deszcz.
p q  ~ q  ~ p
[ ( p q)  ~ q]  ~ p

Kontr-tautologia - takie wyrażenie, które przyjmuje wartość logiczną 0 przy każdym wartościowaniu. Inaczej, jeżeli formuła jest zawsze fałszywa i jako schemat generuje zawsze zdanie fałszywe nazywamy ją kontr-tautologią .


Bibliografia:
Satnosz Barbara, Wprowadzenie do logiki formalnej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005
Stanosz Barbara, Ćwiczenia z logiki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2003