Ekonomia matematyczna - zadania i rozwiązania 2część

ZAD. 1

Dla poniższych modeli rynku wyznacz ceny i wielkości w punkcie równowagi rynkowej. Wykonaj ilustrację graficzną dla każdego modelu.

a) Qd = 100 – 3P Qs = 15 +2P
b) Qd = 40 – 8P Qs = -8 +3P
c) Qd - 20 + 4P = 0 Qs + 5 - 2P = 0


ZAD. 2

Dla podanych poniżej funkcji popytu, ceny równowagi i wielkości podaży w punkcie równowagi, wyznacz nadwyżkę konsumenta.

p = 250 – 0,2 q2 + 0,1q
Q0 = 10
P0 = 200


ZAD. 3

Mając daną funkcję popytu Qd=100 – 2P - 2P2, wyznacz funkcję elastyczności cenowej popytu. Oblicz punktowy współczynnik elastyczności cenowej popytu dla poziomów ceny:
P1 = 2 i P2 = 4. Zinterpretuj otrzymane wskaźniki elastyczności.

Elastyczność cenowa popytu
1.Załóżmy, że spadek ceny rynkowej z 20zł do 18zł za sztukę powoduje wzrost rozmiarów popytu ze 100 do 150szt., Co w takiej sytuacji można powiedzieć o cenowej elastyczności popytu?

Równowaga rynkowa
1. Przy danych modelach wyznacz stan równowagi rynkowej dwóch dóbr.

Qd1 = 5-3p1+2p2 Qs1 = 6-3p1
Qd2 = 4+2p1-6p2 Qs2 = 10-4p2

Analiza nakładów i wyników
3. Dany układ równań prezentuje powiązania między trzema gałęziami gospodarki. Dokonaj analizy modelu i oblicz całkowitą produkcję każdej z gałęzi.

X1 = 0X1 + 0X2 + 0X3 + 40
X2 = 0,4X1 + 0,2X2 + 0,6X3 + 60
X3 = 0,8X1 + 0X2 + 0X3 +80

………………………………………………………………………………………………

1.MODEL RÓWNOWAGI RYNKOWEJ

Dany jest model rynku w którym wystepuja dwa dobra. Popyt i podaż opisane sa ponizszymi równaniami. Wyznacz ceny równowagi obydwu dóbr.

Qd1=15-3P1+9P2
Qs1=6P1-3
Qd2=15+4P1-P2
Qd2=12P2-4


2. ELASTYCZNOŚĆ CENOWA POPYTU (nie wiem czy może być zadanie z tego tematu więc proszę o odpowiedź)

Cena pewnego dobra wzrosła z 15 zł na 20 zł, zaś popyt na ten towar spadł z d0=200 na d1=150. Wyznacz wspólczynnik elastyczności cenowej popytu.


3. ANALIZA NAKLADÓW I CZYNNIKÓW

Rozpatrujemy gospodarkę, w której mamy trzy zasadnicze gałezie, układ równań przedstawia powiązania, jakie pomiedzy nimi zachodzą. OBlicz łączną produkcję każdejz gałezi oraz dokonaj analizy modelu.

x1=0,2x1 + 0,4x2 + 0,6x3 + 64
x2=0,1x1 + 0x2 + 0,3x3 + 50
x3=0x1 + 0 x2 + 0x3 + 200

………………………………………………………………………………………………

Na zaliczenie DL proponuję poniższe zadania:
1.MODEL RÓWNOWAGI RYNKOWEJ- RYNEK DWÓCH DÓBR:
Wyznacz stan równowagi rynkowej rynku dwóch dóbr mającdany model:
Qd1=8+3P1-P2
Qs1=-6+5P1
Qd2=12-P1+2P2
Qs2=-4+4P2

2. NADWYŻKA KONSUMENTA:
Dla podanej funkcji popytu, ceny równowagi rynkowej i wielkości podaży w punkcie równowagi, wyznacz nadwyżkę konsumenta i zinterpretuj wyniki przy założeniu, że rynek znajduje się w równowadze:
p=360-0,6q^2+0,4q
Qo=10
Po=304

3. ANALIZA NAKŁADÓW I WYNIKÓW:
Powiązanie między 3 gałęziami gospodarki prezentuje układ równań (niestety na formum nie mogę narysować schematu, na podstawie którego powstał ukłąd równań). Oblicz całkowitą produkcję każdej gałęzi w modelu oraz dokonaj analizy modelu:
X1= 0,25 X1 + 0,15 X2 + 0,1 X3 + 60
X2= 0,25 X1 + 0 X2 + 0,2 X3 + 100
X3= 0 X1 + 0 X2 + 0 X3 + 300


TREŚCI ZADAŃ WRAZ Z ROZWIĄZANIAMI
ZAD. 1
Dla poniższych modeli rynku wyznacz ceny i wielkości w punkcie równowagi rynkowej. Wykonaj ilustrację graficzną dla każdego modelu.
a) Qd = 100 – 3P Qs = 15 +2P
b) Qd = 40 – 8P Qs = -8 +3P
c) Qd - 20 + 4P = 0 Qs + 5 - 2P = 0
ROZWIĄZANIE:
a)
Qd = 100 – 3P
Qs = 15 +2P
W celu wyznaczenia punktu równowagi rynkowej rozwiązujemy układ równań złożony z funkcji popytu i podaży:
Qd = 100 – 3P
Qs = 15 +2P
Układ ten rozwiązujemy eliminując równania i zmienne przez podstawienie.
Pamiętając o warunku równowagi przyjmujemy, że Qe = Qs = Qd i podstawiamy pierwsze równanie do drugiego. Otrzymujemy w ten sposób jedno równanie z jedną zmienną:
100 – 3P = 15 + 2P
Z tego równania wyznaczamy cenę równowagi rynkowej:
100 – 15 = 3P + 2P
85 = 5P
P = 85/5
P = 17
Zatem cena równowagi rynkowej Pe wynosi 17
Aby obliczyć wartość równowagi Qe = Qs = Qd, podstawiamy wyznaczoną cenę równowagi rynkowej do równania popytu (można podstawić do równani podaży):
Qe = Qd = 100 – 3 x 17 = 100 – 51 = 49
W ten sposób wyznaczona została wartość równowagi rynkowej Qe = Qs = Qd = 49 oraz cena równowagi rynkowej Pe = 17

Qd=100-3P Qs=15+2P
DANE
Qd P Qs P
49 17 49 17
70 10 35 10
b)
Qd = 40 – 8P
Qs = -8 +3P
W celu wyznaczenia punktu równowagi rynkowej rozwiązujemy układ równań złożony z funkcji popytu i podaży:
Qd = 40 – 8P
Qs = -8 +3P
Układ ten rozwiązujemy eliminując równania i zmienne przez podstawienie.
Pamiętając o warunku równowagi przyjmujemy, że Qe = Qs = Qd i podstawiamy pierwsze równanie do drugiego. Otrzymujemy w ten sposób jedno równanie z jedną zmienną:
40 – 8P = -8 +3P
Z tego równania wyznaczamy cenę równowagi rynkowej:
40 + 8 = 8P + 3P
48 = 11P
P = 48/11
P = 4,36
Zatem cena równowagi rynkowej Pe wynosi 4,36
Aby obliczyć wartość równowagi Qe = Qs = Qd, podstawiamy wyznaczoną cenę równowagi rynkowej do równania popytu (można podstawić do równani podaży):
Qe = Qd = 40 – 8 x 4,36 = 40 – 34,88 = 5,12
W ten sposób wyznaczona została wartość równowagi rynkowej Qe = Qs = Qd = 5,12 oraz cena równowagi rynkowej Pe = 4,36

Qd=40-8P Qs=-8+3P
DANE
Qd P Qs P
24 2 1 3
0,8 4,9 22 10
c)
Qd + 5 + 7P = 0
Qs + 11 + 4P = 0
Dokonujemy przekształceń obu równań w celu uzyskania klasycznej formy liniowej
(y= ax + b)
Zatem:
Qd - 20 + 4P = 0
Qs + 5 - 2P = 0
Qd = -4P + 20
Qs = 2P - 5
W celu wyznaczenia punktu równowagi rynkowej rozwiązujemy układ równań złożony z funkcji popytu i podaży:
Qd = -4P + 20
Qs = 2P - 5
Układ ten rozwiązujemy eliminując równania i zmienne przez podstawienie.
Pamiętając o warunku równowagi przyjmujemy, że Qe = Qs = Qd i podstawiamy pierwsze równanie do drugiego. Otrzymujemy w ten sposób jedno równanie z jedną zmienną:
-4P + 20 = 2P - 5
Z tego równania wyznaczamy cenę równowagi rynkowej:
20 + 5 = 4P + 2P
25 = 6P
P = 25/6
P = 4,16
Zatem cena równowagi rynkowej Pe wynosi 4,16
Aby obliczyć wartość równowagi Qe = Qs = Qd, podstawiamy wyznaczoną cenę równowagi rynkowej do równania popytu (można podstawić do równani podaży):
Qe = Qd = -4 x 4,16 + 20 = -16,64 + 20 = 3,36
W ten sposób wyznaczona została wartość równowagi rynkowej Qe = Qs = Qd = 3,36 oraz cena równowagi rynkowej Pe = 4,16

Qd=-4P+20 Qs=2P-5
DANE
Qd P Qs P
12 2 1 3
2 4,5 15 10ZAD. 2
Dla podanych poniżej funkcji popytu, ceny równowagi i wielkości podaży w punkcie równowagi, wyznacz nadwyżkę konsumenta.
p = 250 – 0,2 q2 + 0,1q
Q0 = 10
P0 = 200
Aby wyznaczyć nadwyżki konsumenta musimy podstawić do wzoru funkcję popytu i punkt i punkt równowagi:
CS = 100? (250 – 0,2 q2 + 0,1 q – 200)dq
Rozwiązujemy całkę oznaczoną:
CS = 100? (250 – 0,2 q2 + 0,1 q – 200)dq
CS = 100? (50– 0,2 q2 + 0,1 q)dq
CS = (50q – 0,2 q3 / 2+ 0,1 q2 / 1)100
CS = (50q – 0,1 q3 + 0,1 q2 )100

Po podstawieniu za q wartości 10 i 0 otrzymamy:
CS = (50 x 10 - 0,1 x 103 + 0,1 x 102) – (50 x 0 - 0,1 x 03 + 0,1 x 0) = (500 – 100 + 10) – (0) = = 410
Całkowita korzyść finansowa jaką osiągną konsumenci, którzy byliby skłonni zakupić dane dobro po cenie wyższej niż cena równowagi rynkowej P0 = 200 wyniesie 410.
ZAD. 3
Mając daną funkcję popytu Qd=100 – 2P - 2P2, wyznacz funkcję elastyczności cenowej popytu. Oblicz punktowy współczynnik elastyczności cenowej popytu dla poziomów ceny:
P1 = 2 i P2 = 4. Zinterpretuj otrzymane wskaźniki elastyczności.
ROZWIĄZANIE:
EPD = [ (100 – 2P – 2P2)` x P ] / 100 – 2P - 2P2 = [ (-2 – 4P) x P ] / 100 – 2P - 2P2 =
= (-2P – 4P2) / 100 – 2P - 2P2
Elastyczność punktowa dla P1 = 2:
EP=2 = (-2 x 2 – 4 x 22) / (100 – 2 x 2 – 2 x 22) = (-4 – 4 x 4) / (100 – 4 – 2 x 4) =
= (-4 – 16) / (100 – 4 – 8) = - 20 / 88 = -0,227
EP=2 = (-) 0,227 ? 0 < E < 1 ? popyt nieelastyczny
Elastyczność punktowa dla P2 = 4:
EP=4 = (-2 x 4 – 4 x 42) / (100 – 2 x 4 – 2 x 42) = (-8 – 4 x 16) / (100 – 8 – 2 x 16) =
= (-8 – 64) / (100 – 8 – 32) = - 72 / 60 = - 1,2
EP=2 = (-) 1,2 ? E > 1 ? popyt elastyczny