Granice,szeregi,funkcje

O jednoznaczności granicy: Każdy ciąg zbieżny ma dokładnie jedna granicę.
Jeżeli ciąg jest zbieżny to jest ogranicziny. Jeżeli ciąg jest ograniczony i monotoniczny to jest zbieżny.
Twierdzenie Weierstrassa: ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest monotoniczny i ograniczony. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa: Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.
Ciąg jest zbieżny do liczby g wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego podciąg jest zbieżny do g.
Jeżeli ciąg (an) jest zbieżny, to spełnia warunek Cauchy'ego. Jeżeli ciąg (an) liczb rzeczywistych R spełnia warunek Cauchy’ego to jest zbiezny
Ciąg (an) liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego. Jeżeli liman=a, to lim|an|=|a|.
O przechodzeniu do granicy w nierównościach: Jeżeli an O trzech ciągach: Jeżeli ciągi an, bn, cn spełniają warunki: 1)anno, 2)liman=limcn=g, to limbn=g.
O dwóch ciągach: Jeżeli ciągi an, bn spełniają warunki: 1) anno, liman=+niesk., to limbn=+niesk. 2) an>bn dla każdego n>no, liman= - niesk., to limbn= - niesk. Szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny. Jeżeli szereg an jest szeregiem o wyrazach dodatnich i jest zbieżny to jest zbieżny bezwzględnie.
Szereg an o wyrazach nieujemnych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy ciąg (Sn) jego sum częściowych jest ograniczony.
O jednoznaczności granicy: Funkcja f posiada co najwyżej jedną granicę.
O ograniczeniu funkcji posiadającej granicę: Jeżeli funkcja f ma granicę w xo, to istnieje S(xo, delta mała) na którym f jest ograniczona.
O trzech funkcjach:Jeżeli funkcje f,g,h spełniają warunki: 1) f(x)O dwóch funkcjach:Jeżeli funkcje f,g spełniają warunki: 1)
f(x) Warunek konieczny i dostateczny istnienia granicy: Funkcja f ma w punkcie xo granicę właściwą (niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy, gdy lim(przy x ->xo z minusem) f(x)= lim (przy x->xo z plusem)f(x).
LEMATY: Jeżeli ciąg Cauchy'ego i zawiera podciąg zbieżny do pewnej liczby g to ciag też jest zbieżny do liczby g. Jeżeli ciąg spełnia warunek Cauchy'ego to jest jest ograniczony. Każdy ciąg liczb rzeczywistych zawiera podciąg monotoniczny.



Zbiór A zawarty w R nazywamy ograniczonym z góry, jeżeli istnieje liczba rzeczywista M taka, że dla każdego x ze zb. A zachodzi nierówność x< M.
Zbiór A zawarty w R jest ograniczony z dołu, jeżeli istnieje liczba rzeczywista m taka, że dla każdego x ze zb. A zachodzi nierówność mKresem górnym niepustego i ograniczonego z góry zbioru A zawartego w R nazywamy najmniejszą z liczb ograniczających z góry, ozn. supA.
Kresem dolnym niepustego i ograniczonego z dołu zbioru A zawartego w R nazywamy największe ograniczenie dolne zbioru A, ozn. infA. Jeżeli każdej liczbie naturalnej został przyporządkowany w sposób jednoznaczny pewien element x ze zb. X, to mówimy, że został określony ciąg w zb. X.
Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w R. Wartość funkcji dla agumentu n nazywamy n-tym wyrazem ciągu an.
Ciąg (an) jest ograniczony z dołu, jezeli zbiór {an} jest ograniczony z dołu: istnieje m należace do R że dla każdego n należacego do N an>m. Ciąg (an) jest ograniczony z góry, jeżeli zbiór {an} jest ograniczony z góry: istnieje M należace do R że dla każdego n należącego do N anCiąg nazywamy zbieżnym jeżeli posiada granicę.
Ciąg nazywamy rozbieżnym, jeżeli nie posiada granicy. Liczba g jest granicą ciagu, jeżeli dla dowolnego otoczenia liczby g należą wszystkie wyrazy ciągu począwszy od pewnego numeru.
Liczbę s nazywamy punktem skupienia ciągu (an), jeżeli dla każdego E>0 i dla każdej liczby naturalnej n istnieje numer no, no>n oraz |ano-s|Mówimy, że szereg an jest zbieżny bezwzględnie, jeżeli szereg |an| jest zbieżny. Jeżeli szereg an jest zbieżny oraz szereg |an| jest rozbieżny, to mówimy, że szereg an jest zbieżny warunkowo.
Liczbę xo nazywamy punktem skupienia zbioru A zawartego w R, jeżeli istnieje ciąg elementów zbioru A spełniający warunek: an różne od xo oraz liman=xo.