Układ wektorów \(\mathbf{w_i}\) (skończony lub nie) w przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależnym, gdy każda kombinacja liniowa wektorów tego układu o niezerowych współczynnikach daje wektor niezerowy.
Inaczej: jedyną kombinacją liniową wektorów tego układu, która jest równa wektorowi zerowemu, jest kombinacja, której wszystkie współczynniki są zerami.
Układ wektorów, który nie jest liniowo niezależny, nazywamy liniowo zależnym.
Inaczej: układ wektorów jest liniowo zależny, gdy istnieje kombinacja liniowa jego wektorów, gdzie nie wszystkie współczynniki są równa zero, a wynik tej kombinacji równa jest wektorowi zerowemu.
Przykłady
Układ wektorów \((2,1,0), (-1,3,2), (1,1,1)\) jest liniowo niezależny. Możemy to sprawdzić, rozwiązując równanie \(x(2,1,0) + y(-1,3,2) + z(1,1,1) = (0,0,0)\). Jedynym rozwiązaniem jest trójka \(x=0, y=0, z=0\).
Równanie to można także zapisać w inny sposób:
\[
(2x,x,0) + ( -y,3y,2y) + (z,z,z) = (2x - y + z,x + 3y + z,2y + z) = (0,0,0)
\]
\[
\begin{matrix}2x - y + z = 0\\ x + 3y + z= 0\\ \qquad 2y + z = 0\end{matrix}
\]
W formie macierzowej:
\[
\begin{bmatrix}2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}
\]
To równanie jest jednorodnym układem równań, co oznacza, że ma rozwiązanie. Możemy zastosować wzory Cramera do obliczenia tego układu. Obliczając rząd macierzy macierzy głównej i korzystając z twierdzenia Croneckera-Cappeliego, łatwo możemy określić, ile wektorów jest liniowo niezależnych.
Ponieważ \(rz(A^T)=rz(A)\), wystarczy obliczyć rząd macierzy macierzy głównej tego równania. Możemy również obliczyć wyznacznik
\[
\text{det} \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix}
\]
z macierzy zbudowanej z tych wektorów wpisanych pionowo lub poziomo.