Analiza matematyczna- UKW

1.CAŁKI WŁAŚCIWE ZALEŻNE OD PARAM.
Niech f będzie jakąś funkcją o wartościach rzeczywistych, określoną w prostokącie P=x ciągłą względem zmiennej dla każdego .Wtedy dla każdego określona jest całka .Przyporządkowując każdemu liczbę określamy funkcję I w przedziale . Funk.tą naz c.zal.od para.
TW O CIĄGŁOŚCI(cał właś zal od para)
Jeżeli f jest funkcją ciągłą w prostokącie P=x, to całka I(t) zależna od parametru t jest funkcją ciągłą w .
TW O POCHODNEJ(cał właś zal od para)
Niech f będzie funkcją ciągłą w prostokącie P=x i niech ma w tym prostokącie ciągłą pochodną cząstkową(względem parametru t) .Wtedy całka I(t)zależna od parametru t ma pochodną I’(t)ciągłą w i I’(t)= .
TW O ZAMIANIE KOLEJNOŚCI CAŁKOWANIA
Niech funkcja f będzie ciągła prostokącie P=x wówczas .
TW O CIĄGŁ CAŁ WŁAŚ ZALEŻ OD PARA O ZMIENNYCH GRANICACH CAŁKOWANIA
Niech funkcja f będzie ciągła prostokącie P i niech , będą funkcjami ciągłymi w przedzialetakimi,że dla . Wtedy całka jest funkcją ciągłą w .
2.CAŁKI NIEWŁAŚCIE ZALEŻNE OD PARAMETRU
są to całki postaci , w której całka po prawej stronie jest niewłaściwa.
TW CAUCHY’EGO O CAŁKACH NIEWŁ JEDNOS ZBIEŻN
Niech funkcja f będzie ciągła prostokącie nieskończonym P=x. Całka jest jednostajnie zbieżna w przedziale<=>gdy dla każdego E>0 istnieje taka liczba A a, że dla każdych b>b’>A zachodzi nierówść dla każdego .
KRYTERI WEIESTRASSA JEDNOSTAJNEJ ZBIEŻNOŚCI CAŁEK NIEWŁ
Niech funkcja f będzie ciągła prostokącie nieskończonym P=x i niech g będzie funkcją ciągłą w przedziale. Jeżeli
1. dla
2.całka jest zbieżna, to całka jest jednostajnie zbieżna(bezwzględnie zbieżna)na .
TW O CIĄGŁ CAŁ NIEWŁ ZALEŻNEJ OD PARAM
Niech funkcja f będzie ciągła prostokącie P=x i niech całka niewłaściwa będzie jednostajnie zbieżna w przedziale wtedy funkcja I(t) jest ciągła w przedz.
TW O POCHOD CAŁ NIEWŁ ZALEZNEJ OD PARAM
Niech funkcja f będzie ciągła prostokącie P=x i niech ma w nim ciągłą pochodną cząstkową . Jeżeli całka jest zbieżna w i całka jest jednostajnie zbieżna w ,to funkcja I(t) ma pochodną w równą
CAŁKA DIRICHLETA

…………………………………….
3. FUNKE EULERA
DEF. Całki niewłaściwe zależne od parametru ,x>0,y>0 i , x>0 naz I i IIrodzaju-beta i gamma.
Funkcje gamma i beta związane są następujacą równością dla x,y>0, dla x>0
TW O FUN GAMMA EULERA (uogólnienie silni)
a) funkcja =… jest ciągła dla x>0
b) całka jest jednostajnie zbieżna w przedzzmiennej x dla a,b takich że b>a>0
c) dla każdego x>0
d) dla n=0,1,2…
wykres gamma

TW O FUN BETA EULERA
a) całka jest jednostajnie zbieżna w każdy kwadraciex gdzie 0b) funkcja =… jest ciągła względem(x,y) w zbiorze (0, )x(0, )
4. POWIERZCHNIE GŁADKIE W
DEF Niech X i Y będą przestrzeniami metrycznymi, odwzorowanie f:X Y naz homeomorfizmem jeśli jest ono ciągłą bijekcją i funkcja odwrotna jest ciągła.
ROZMAITOŚC WYMIARU k
R.W.k(powierzchnią o wym k)w przestrzeni naz podzbiór S tej przestrzeni którego każdy punkt ma w S otoczenie homoemorficzne z k-wymiarowym przedziałem (1.1) : j=1,2,k}
MAPA LOKALNA
Odwzorowanie będące homeomorfizmem, o który mowa w (1.1)naz mapą lokalną lub m.powierzchni S. -zbiór parametrów U-obszar działania mapy na pow S.Mapa to uporządkowana trójka ( , ,U)
MAPA STANDARDOWA
Jeżeli zbiór parametrów mapy jest przedziałem : ,j=1,2.k} to naz m.stand.
PŁAT POWIERZCHNIOWY
Powierzchnię którą można opisać za pomocą jednej mapy naz powierz elementarną lub p.p.
Np.powie sfery nie jest p.p.
ATLAS
Zbiór A(S)map lokalnych powierzchni S których obszary działania pokrywają całą powierzchnię,tzn, naz atlasem tej pow. Każda pow ma atlas złoż z conajmn przeliczalnie wielu map. Suma dwuch atla jest atl.
ODWZOROWANIE GŁADKIE
Przekształcenia klasy (p=1,2,.. )naz o.g. Rzędem odw-nia gła-o w punkc x naz rządJacobiego w tym punkcie.
POWIERZCHNIA GŁADKA
Przestrzenią wymiarze k w przest naz się powie gładką klasy (p=0.1,.. ) jeżeli posiada ona atlas którego lokalne mapy są odwzorowaniami klasy i w każdym punkcie swojej dziedziny mają rząd równyk.
TW,KTÓRE MÓWI KIEDY PODZB S PRZESTRZENI JEST k-WYMIAROWĄ POWIERZCHNIĄ KLASY
Na to aby -II- potrzeba i wystarcza aby dla każdego punktu istniało otoczenie V tego punktu oraz aby istniał układ n-k funkcji klasy spełniający warunki:
a) rząd macierzy Jacobiego przekształcenia jest równy n-k dla każdego punktu
b) = (jest jednorodny)
PRZEST STYCZNA
Jeżeli k-wymiarowa przestń w otoczeniu punktu jest określona parametrycznie za pomocą mapy lokalnej przy czym , to k-wymiarowa płaszczyzna w o równaniu naz pła.stycz. lub przestrzenią styczną do powierzchni S w punke . Oznaczy to .
5.POLE POWIERZCHNI
ZOIENTOWANA OBJĘTOŚĆ RÓWNOLEGŁOŚCIANU
Wyznacznik (1.2) jest równy tzw objętości zori-ej równoleg-u rozpiętego na wektorach . Jeżeli to określona za pomocą wzoru(1.2) wielkość jest dodatnia lub ujemna w zależności od tego czy bazy i należą do tej samej klasy orientacji przestrzeni czy do klas przeciwnych.
Ponieważ , jest macierzą GRAMA wektorów tzn gdzie <.,.>-iloczyn skalarny, zatem
stąd wzór na objętość równoległościanu


Polem pow (lubk-wymią objętością) danej w postaci parametrycznej gładkiej k-wymi-ej powierzi S leżącej w przestrzeni Eukli-wej naz się wielkość (1.3) .
Jeżeli k-wym-ą powirz-ę S rozetniemy na skończoną liczbę powierz-i gładkich to będzie temu odpowiadać podział obszaru D na odpow-jące powierzchniom obszary . Z addytywności całki wynika addść pola powierzni
k=1
Wzór(1.3) w szczególnych przypadkach.
Dla k=1 obszar jest przedziałem o końcach a,b (ak=n
Jeżeli k=n to powierzchnia S jest dyfeomorfizmem z n-wymiarowym obszarem D. W tym przypadku macierz Jacobiego odwzorowanie jest kwadratowa i mamy .
Stosując twierdzenie o zamianie zmiennych w całce otrzymujemy Zatem n-wymiarowa objętość jest równa n-wym-ej mierze Lebesguea obszaru S.
k=2, n=3
Niech k=2, n=3 oraz będzie parametryzacją powierzchni S. Wówczas (1.4) . Tradycyjnie używa się oznaczeń



Liczby E,F,G noszą nazwę współczynników Gaussa powierzchni S. Przy tych oznaczeniach wzór(1.4) to . Jeżeli u=x, v=y,powierzchnia S jest wykresem gładkiej funkcji o wartościach rzeczywistych , określonej w obszarze D to otrzym wzór
6. ORIENTACJA POWIERZCHNI
Przejście z jednej bazy przestrzeni do drugiej bazy jest opisane za pomocą macierzy kwadr powstałej z rozwinięcia (k=1,2,.,n)
Wyznacznik tej macierzy jest zawsze różny od zera. Mówimy że dwie bazy przestrzeni są równoważne jeżeli wyznacznik macierzy przejścia od jednej do drugiej jest dodatni.
Ta relacja baz jest rel równoważności. Rozbija ona zbiór wszystkich baz tej przestrzeni na dwie klasy abstrakcji. Naz je klasami orientacji danej przestrzeni .
Określenie orientacji przestrzeni oznacza wybór jednej z klas orientacji.
7. ATLAS ORIENTUJĄCY I NIERÓWNOŚĆ ATLASÓW
Dwie mapy lokalne gładkiej powierzchni naz zgodnymi jeśli albo obszary ich działania są rozłączne albo ten przekrój jest niepusty i funkcje przejścia mają dodatni jacobian.
Atlas powierzchni gładkiej naz się atlasem orientującym jeśli składa się on z parami zgodnych map. Powierz-ia naz się pow orientowaną jeśli ma atlas orientujący, inaczej naz nieorientowalną (np. wstęga Móbiussa)
Obszar przest i pow elementarna są orientowane.
W zbiorze atlasów orientujących powierzchni wprowadzę relację równoważności:dwa atlasy orientujące nazwę równoważnymi jeśli ich suma jest też atlasem orientującym.
8. ORIENTACJA POWIERZCHNI
Klasa abstrakcji atlasów orientujących względem określonej wyżej relacji równoważności naz się orientacją powierzchni. Powierzchnią zorientowaną naz powierzchnią z ustaloną na niej orientacją.
Na orientowanej spójnej powierzchni istnieją dokładnie dwie orientacje.
9. POWIERZCHNIE DWUSTRONNE I JEDNOSTRONNE
…
10. POWIERZCHNIE Z BRZEGIEM
Niech będzie powierzchnią euklidesową o wymiarze k ze współrzędnymi kartezjańskimi . Rozważmy w przest półprzestrzeń . Hiperpłaszczyznę będziemy naz brzegiem półprzestrzeni .

Brzeg jest homeo-ny z przest natomiast wnętrze półprzestrzeni jest Homerom-ne na .
DEF Zbiór naz k-wymiarową powierzchnią z brzegiem jeżeli dowolny punkt ma otoczenie U w S homeomorficzne lub z lub z . Punkty które są obrazami punktów poprzez te homeomorfizmy naz punktami brzegowymi powierzchni S. Zbiór punktów brzegowych naz brzegiem powierzchni i ozn .
Brzeg gładkiej orientowanej pow-ni S jest też gładką pow orientowaną.
ZGODNOŚĆ ORIENTACJI
Jeśli atlas orientujący powierzchni S z brzegiem ma postać to atlas wyznacza na brzegu orientację zgodną z orie-ją pow-ni S.
11. INDUKCYJNA DEF POWIERZCHNI KAWAŁKAMI GŁADKIEJ
Punkt będziemy naz zerowymiarową pow-nią o dowolnej gładkości. Kawałkami gładką jednowymiarową powierznią o dowolnej gładkości(kawałkami gładką krzywą)naz taką krzywą w która po usunięciu z niej skończonej lub przeliczalnej liczby pewnych zerowymiarowych powierzchni rozpada się na gładkie powierzchnie jednowym-e.
Pow-ę o wymiarze k naz pow-ią kawał-i gł-ą jeśli można z niej usunąć skończoną lub przeliczalną liczbę kawałkami gładkich powierzchni o wym-ach niewiększych niż k-1, tak aby reszta rozpadła się na gładkie k-wym-e powierzhnie (z brzegiem lub bez).
Np.brzeg kwadratu; brzeg kostki i pow-a stożka w .
12.FORMY RÓŻNICZKOWE
Niech V będzie przest-ą lin-ą nad ciałem R. oznacza k-krotny iloczyn kartezjański przestrzeni V tzn zbiór wszystkich ciągów k-elemento-ch złożonych z wektorów przestrzeni V.
Funkcję naz formą k-liniową jeśli jest ona liniowa ze względu na każdą zmienną z osobna tzn = + dla dowolnych wektorów skalarów oraz j=1,2,.,k.
DEF ILOCZYNU TENSOROWEGO
Dla form wieloliniowych i rzędów odpowiednio k,l określonych na przestrzeni liniowej V def-jemy iloczyn tensorowy ozn go za pomocą wzoru = . Zatem def tensorowa jest formą rzedu k+l. Kolejność czynników i w tej def jest ważna.
Własności iloczynu tensorowego:




FORMA SKOŚNIE SYMETRYCZNA DEF
Forma k-liniowa na przestrzeni liniowej V jest fss jeśli dla różnych wskaźników równość (1.5) jest spełniona dla wszystkich wektorów . Fss naz antysymetrycznymi. Np. wyznacznik:iloczyn wektorowy wektorów liniowych .
ILOCZYN ZEWNĘTRZNY
Iloczyn tensorowy fss-ch nie jest na ogół fss-ą dlatego w klasie formss-ch wprowadzam operację iloczynu zewnętrznego ozn symb za pomocą wzoru
Tak określony iloczyn jest fss rzędu k+l.`
Własności ilo zew:
Dla fss-ch na przest V i skalara zachodzą równości:




13. RÓŻNICZKA ZEWNĘTRZNA
DEF (umowa: formami stopnia zero w obszarze są funkcje )
Rz-ą formy stopnia zero f gdy f jest fun-ą rózniczkowalną naz zwykłą różniczkę df tej funkcji. Jeśli określona w obszarze for róż-wa stopnia k na różniczkowalne współcz-ki to jej rz-ą jest forma (1.6)
TW
a) Jeśli formy róż-we i (tego samego stopnia)są róż-lne w obszarze D to
b) Jeś jest fo-ą klasy to
c) Jeś jest fo-ą stopnia k i jest formą stopnia l i obie są róż-lne to .
PRZYKŁADY ………….
17. CAŁKOWANIE FORM RÓŻNICZKOWYCH