Sciaga z matematyki:macierze ,pochodne,calki,ekstremum

MACIERZ-tablica mxn liczb zapisanych w m wierszach i n kolumnach ograniczona nawiasami kwadratowymi.Jesli m(liczba wierszy) jest rozna od n(liczby kolumn) to nazywamy m.prostokatna.Podmacierz- to macierz która powstaje z danej macierzy przez wykreślenie pewnej liczby wierszy lub kolumn.M.transponowaną macierzy A o elementach Aij (i=1,2,…m;j=1,2,..n) nazywamy macierz B o elementach bij (i=1,2,…n;j=1,2,…m) gdzie bij=aij i oznaczamy ja przez A’lub A do potęgi T.Macierze równe-macierze A=[aij] i B=[bij] wymiaru mxn nazywamy rownymi jeśli maja odpowiednie elementy rowne(musza być tego samego wymiaru).M.jednostkową nazywamy macierz kwadratową(m=n),dla której aij=1 gdy i=j natomiast aij=0 gdy i jest różne od j.Oznaczamy ja : I (wszystkie elementy na głównej przekatnej=1, a pozostale są zerami).M.odwrotną macierzy kwadratowej A nazywamy taka macierz B dla której AB=BA=I; nie kazda m.kwadrat. ma m.odwrotną np.m.zerowa nie ma.Wyznacznik macierzy odwrotnej musi być różny od zera. WYZNACZNIK-liczba którą przyporządkowujemy każdej macierzy w określony sposób.Wyznacznik Aij nazywamy podwyznacznikiem lub minorem stopnia n-1 który powstaje z wyznacznika A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny w wyznaczniku.A.WLASNOSCI WYZNACZNIKA:wyznacznik macierzy transponowanej jest równy wyznacznikowi macierzy pierwotnej(detA=detA’)/jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez przestawienie kolejności 2 wierszy(kolumn) to detA= -detB/jeśli wszystkie elementy dowolnego wiersza(kolumny) wyznacznika pomnożymy przez pewna liczbę to wartość wyznacznika zostanie pomnożona przez te liczbę/wyznacznik macierzy której wszystkie elementy pewnego wiersza(kolumny) są zerami jest=0/wyznacznik macierzy w której 2 wiersze są identyczne lub maja wszystkie elementy proporcjonalne jest=0/wartość wyznacznika nie zmieni się jeżeli do elementów dowolnego wiersza dodamy odpowiednie elementy innego wiersza pomnożone przez tę sama liczbę Dodawanie i odejmowanie macierzy-gdy są o tych samych wymiarach.Mnożenie macierzy-działanie Arazy b jest wykonalne jeśli ilość kolumn w macierzy A=ilości wierszy w macierzy B.Iloczyn dwóch macierzy jest macierza C o elementach cij.Element cij otrzymujemy mnożąc elementy i-tego wiersza macierzy A przez odpowiednie elementy j-tej kolumny macierzy Bi dodając otrzymane iloczyny.Twierdzenie Cramera-ukl. n równań liniowych o n niewiadomych w którym wyznacznik współczynników przy niewiadomych jest różny od 0.Ma 1 rozwiązanie: xi= /Axi/:/A /zas /Axi/ otrzymujemy zastępując w wyznaczniku /A / kolumnę współczynników przy niewiadomej xi kolumną wyrazów wolnych Rzad mac.-najwyższy stopień wyznacznika utworzonego z tej macierzy różny od zera WŁASNOŚCI rzędu macierzy: nie zmieni się jeśli do elementów dowolnego wiersza(kolumny) dodamy odp elementy innego wiersza(kolumny) pomnożone przez tą samą liczbę/ nie zmieni się jeśli wiersz(kolumna)skladający się z samych zer opuścimy.Twierdzenie Kroneckera -Capelli’ego –układ m równań liniowych o n niewiadomych ma wt i t wt rozwiązanie gdy rząd macierzy współczynników przy niewiadomych = rzędowi macierzy uzupełnionej: rzA=rzAu=r gdzie r-dowolna liczba ponadto gdy rnieskończoności an=lim n->niesk cn=g to ciag bn jest zbieżny i lim n->niesk bn=g Granica f w punkcie-funkcja f(x) o polu E ma w punkcie x0 granice g jeżeli dla każdego ciagu xn->x0 gdzie xn jest rozne od x0 odpowiadajacy ciag wartości funkcji f(xn) dazy do liczby g : limx->x0 f(x)=g.Pochodna-nazywamy granice do której dąży stosunek przyrostu f delta y do odpowiedniego przyrostu zmiennej niezależnej delta x gdy przyrost zmiennej niezależnej dąży do 0 czyli: f’(x)=lim delta x->0 delta y:delta x =lim dx->0 f(x+ dx)-f(x):dx jest to tg kąta dodatnio skierowanego jaki tworzy prosta styczna do krzywej w danym punkcie z dodatnim kier osi ox Wzory: sin2L=2sinLcosL sinL+B=sinLcosB+sinBcosL cos2L=cos kwL-sin kwL cos L+B=cosLcosB-sinLsinB / Warunek konieczny istnienia ekstremum: jeśli f(x) jest rózniczkowalna w pewnym przedziale otwartym i ma ekstremum w punkcie x0 tego przedziału to: f’(x0)=0 Warunki wystarczające istnienia ekstremum: jeśli f(x) jest różniczkowalna w sąsiedztwie x0 i ciągła w x0 i jeśli f ’(x) zmienia znak przy przejściu przez x0 to w x0 jest ekstremum lokalne.(jak zmienia znak na + to jest minimum, jak na – to max)
Jeśli f ’’(x)istnieje w otocz, x0i f ‘ (x0)=0 to f ‘’(x0)<0 =>f(x) ma max lokalne, jak f ‘’(x0)>0=> f(x) ma min lokalne w x0 E.globalne- liczymy pochodną, przyrównujemy ją do zera, wypisujemy punkty z przedziałów w których poch nie istnieje,wypisujemy końce przedziałów, liczymy wartość funkcji dla tych wszystkich punktow np. f(3) =…,wybieramy min i max Monotoniczność dziedzina,F(x)=0, lim,f(x)=f(-x), y=ax=b a=limx->=+- niesk F(x)/x b=limx->=+- niesk f(x)-ax, 1 poch, jej miejsca zerowe i tabela,2poch,jej miejsca zerowe, tabela punkty charakterystyczne, tabela,wykres ROZNICZKA Funkcji TO ILOCZYN POCHODNEJ Funkcji I DOWOLNIE MALEGO Przyrostu zmiennej Niezależnej Ekstrema lokalne funkcji: mówimy że funkcja f(x) ma MINIMUM lokalne dla x0 jeżeli istnieje taka liczba E(epsilon)>0 że (x0-E;x0+E) c D oraz że dla każdego x należącego (x0-E;x0) suma z przedziałem(x0;x0+E) zachodzi f(x)>f(x0)/ Mówimy że funkcja f(x) ma MAKSIMUM lokalne dla x0 jeżeli istnieje taka liczba E>0 że (x0-E,x0+E)cD oraz że dla każdego x należącego do przedziału (x0-E,x0) suma z przedziałem(x0,x0+E) zachodzi nierówność f(x)Istnieje i nie zależy od wyboru punktów xi i ci to granicę taka nazywamy całką oznaczona funkcji f(x) w granicach od a do b i oznaczamy

a-granica dolna całkowania; b-granica górna całkowania; f(x)-funkcja podcałkowa