Relacje

Na wstępie zdefiniuje kilka dość abstrakcyjnych, ale prostych w istocie pojęć, zaliczanych do podstawowych pojęć teorii relacji.
Zbiór wszystkich n-tek (x1,x2, ..., xn) takich, że x1x2 A2, ..., xn An, nazywa się produktem kartezjańskim zbiorów A1, A2, ..., An i oznacza symbolem: A1xA2x...xAn
Dowolny podzbiór RA1xA2x...xAn nosi nazwę n-członowej relacji (określonej na A1xA2x...xAn). Zbiory A1, A2, ..., An nazywane są pierwszą, drugą, ...oraz n-tą dziedziną tej relacji. Pojęcie członu relacji jest odpowiednikiem pojęcia argumentu predykatu.
Jeśli zbiory A1, A2, ..., An są identyczne, np. A1=A2= ... =An=A, to zamiast A1xA2x...xAn wolno pisać An. Zbiór postaci An nazywany jest n-tą potęgą kartezjańską zbioru A
Nie wykluczyliśmy przypadku, w którym produkt kartezjański składa się z jednego tylko zbioru, i to wcale nie w tym sensie, że jest postaci An, gdzie n>1. Zgodnie z naszymi ustaleniami, może bowiem mieć on postać A. Można by to uznać za niedopatrzenie, ale to „niedopatrzenie” usankcjonowane zostało przez matematyków. Istnienie „jednoargumentowych relacji” (a więc podzbiorów ustalonego zbioru) wcale im nie przeszkadza. Zakres [pisarz] predykatu pisarz jest relacją. Dokładniej, jest relacją jednoczłonową. Dziedzinę tej relacji stanowi zbiór ludzi. Od tego, z jakich obiektów składa się dziedzina zakresu predykatu (nazwy w szczególności), zależy, do jakich obiektów predykat ten może być stosowany.
Relacja dwuczłonowa nazywamy zbiór odpowiednich par uporządkowanych x, y. Co to jest para uporządkowana? Mianowicie, jeśli są dane dwa dowolna przedmioty x, y, to tworzymy z nich parę uporządkowaną x, y; przedmiot x nazywamy poprzednikiem, a przedmiot y następnikiem pary uporządkowanej x, y.
Jeśli jest tak, że xy, to para uporządkowana x, y  y, x. Pary uporządkowane x, y i z, t są równe tylko wtedy, gdy równe są ich poprzedniki i następniki, co notujemy:
[x, y = z, t]  [(x = z)(y = t)].
Symbolami oznaczającymi relacje są litery R, S,... . Relacje dwuczłonowe, które są odpowiednimi zbiorami par uporządkowanych, zapisujemy:
xRy, x, y R lub R(x, y)
i czytamy: x pozostaje w relacji R do y lub między x i y zachodzi relacja R. Przykładem jest zdanie: Piotr jest starszy od Michała lub funkcja zdaniowa: x jest dzielnikiem y.
Jeśli dana jest relacja: x jest mniejszy od y, to relację: t jest większy od x określamy mianem relacji odwrotnej lub konwersem relacji R. Konwers relacji R jest to relacja, która zachodzi podobnie jak relacja R między danymi przedmiotami x i y, lecz w odwrotnym kierunku. Relację odwrotną względem danej relacji R, czyli konwers tej relacji ( R), definiujemy:
xRy  yRx
Ilustracją konwersu relacji bycia młodszym jest relacja bycia starszym: jeśli x jest młodszy od y, to y jest starszy od x.
W teorii relacji wprowadza się pojęcia odnoszące się tylko do relacji. Pierwszym z nich jest pojęcie dziedziny relacji R. O danym przedmiocie x powiemy, że należy do (lewej) dziedziny relacji R tylko wtedy, gdy istnieje taki przedmiot y, do którego przedmiot x pozostają w relacji R. Dziedziną danej relacji R jest zatem zbiór tylko tych przedmiotów x, które pozostają do danego przedmiotu y w relacji R. Przynależność przedmiotu x do (lewej) dziedziny relacji R zapisujemy:
x D1( R)  yxRy
Przykład: dziedzina relacji bycia krewnym (x jest krewnym y) jest zbiór tylko tych osób, które mają co najmniej jednego krewnego. Innym przykładem jest relacja bycia ojcem; do dziedziny relacji x jest ojcem y należą tylko ci mężczyźni, którzy mają co najmniej jedno dziecko. Przeciwdziedziną (prawa dziedzina) relacji R nazywamy zbiór tylko tych przedmiotów y, do których pewien przedmiot x pozostaje w relacji R. W ujęciu formalny pojęcie przeciwdziedziny (prawej) relacji R notujemy:
y Dp( R)  xxRy
Następnym z pojęć teorii relacji jest pojęcie pola danej relacji R. Powiemy, że polem relacji R jest zbiór tylko tych przedmiotów, między którymi zachodzi relacji R. Polem danej relacji R jest zatem suma dziedziny i przeciwdziedziny relacji R:
C( R)  [D1( R)  Dp( R)]
Przedmiot x należy do pola relacji R tylko wtedy, gdy x należy do dziedziny relacji R lub do przeciwdziedziny tyj relacji:
x C( R)  [x D1( R)  x Dp( R)]
Dziedzina relacji: x jest siostrą y jest zbiór x D1( R) tylko tych kobiet, dla których w przeciwdziedzinie y Dp( R) istnieje osoba y, dla której x jest siostrą. Polem C( R) tej relacji są zatem rodzeństwa, gdzie dziedziną jest zbiór kobiet, a przeciwdziedziną – osoby, które mają co najmniej jedną siostrę.
Relacja R jest relacją lewostronnie jednoznaczną tylko wtedy, gdy w dziedzinie relacji R jest co najwyżej jeden taki przedmiot, który pozostaje w tej relacji do dowolnego przedmiotu w przeciwdziedzinie rozważanej w relacji R. Relacje tą oznaczamy symbolem 1-Cls( R). W ujęciu formalnym należenie danej relacji R do zbioru relacji lewostronnie jednoznacznych notujemy:
RCls-1( R)  x,y,z [(xRy  xRz)  (x=y)]
Relacja bycia matką jest przykładem tej relacji , gdyż dla każdego x,y,z: jeżeli x jest matką z i y jest matką z, to x jest identyczny z y; każdy człowiek ma tylko jedną matkę.
O danej relacji R powiemy z kolei, że jest relacją prawostronnie jednoznaczną tylko wtedy, gdy dowolny przedmiot x należący do dziedziny relacji R jest w tej relacji do co najwyżej jednego przedmiotu y należącego do przeciwdziedziny relacji R. Należenie relacji R do zbioru relacji prawostronnie jednoznacznych definiujemy:
RCls-1 R)  x,y,z [(xRy  xRz)  (y=z)]
Przykładem jest relacja bycia mężem; jeśli x jest mężem osoby y i tenże mężczyzna x jest w tym samym okresie mężem z, to y i z jest oczywiście tą samą osobą. Relacje te są również nazywane funkcjami.
Relacja R jest relacją wzajemnie jednoznaczną tylko wtedy, gdy relacja R jest lewostronnie i prawostronnie jednoznaczna. W ujęciu formalnym tę relację notujemy:
R 1-1( R)  [R 1-Cls( R)  R Cls-1( R)]
Przykładem jest relacja bycia rówieśnikiem w zbiorze osób, co do którego zakładamy, że przynależy doń, co najwyżej dwu rówieśników; jest to bowiem relacja lewostronnie jednoznaczna, gdyż zawsze ilekroć jest tak, że x jest rówieśnikiem z i y jest rówieśnikiem z, to x=y; jest to również relacja prawostronnie jednoznaczna, gdyż z tego, że x jest rówieśnikiem y oraz x jest rówieśnikiem z, to y=z.
O relacji R powiemy, że jest relacją zwrotną (w notacji symbolicznej: refl( R)) tylko wtedy, gdy relacja R zachodzi między dowolnym przedmiotem x należącym do pola relacji R. W ujęciu definicyjnym relację zwrotną notujemy:
R refl( R)  x C( R)xRx
Relacja R należy, przeto do relacji zwrotnych tylko wtedy, gdy dla każdego x należącego do pola relacji R jest tak, że xRx. Przykładem jest relacja równości, gdyż o każdym przedmiocie x należącym do pola relacji R jest prawdą, że x=x.
Relacja R jest relacją przeciwzwrotną (w zapisie symbolicznym: irr( R)) tylko wtedy, gdy jest tak, że żaden przedmiot x należący do pola relacji R nie pozostaje w tej relacji do siebie. Tą relacje zapisujemy:
R irr( R)  xC( R)(xRx)
Powiemy, że dana relacja R należy do relacji przeciwzwrotnych tylko wtedy, gdy dla każdego x należącego do pola relacji R jest tak, że: nieprawda, iż xRx. Przykładem jest relacja bycia mniejszym. O żadnym wszak przedmiocie x należącym do pola relacji R nie jest prawdą, że x jest mniejszy od siebie.
Relacja R jest relacją symetryczną ( symbolicznie: sym( R)) tylko wtedy, gdy jest tak, że ilekroć zachodzi między x i y, to zachodzi również między y i x, co notujemy:
R sym( R)  x,y(xRy  yRx)
Rozważana relacja należy do relacji symetrycznych tylko wtedy, gdy dla każdego x i dla każdego y: jeśli relacja R zachodzi między przedmiotami x i y, to relacja R zachodzi także między przedmiotami y i x. Ilustracją tej relacji jest relacja być krewnym, gdyż jeśli x jest krewnym y, to y jest krewnym x.
O relacji R powiemy, że jest relacją asymetryczną (w notacji symbolicznej: asym( R)) tylko wtedy, gdy ilekroć zachodzi między x i y, to nie zachodzi między y i x. Relację asymetryczną zapisujemy:
R asym( R)  x,y[(xRy)  xRy)]
Relacja R należy zatem do relacji asymetrycznych tylko wtedy, gdy dla każdego przedmiotu x i dla każdego przedmiotu y: jeśli relacja R zachodzi między przedmiotami x i y, to nieprawda, że relacja R zachodzi między przedmiotami y i x. Przykładem tej relacji jest relacja być starszym; jeśli x jest starszy od y, to nieprawda, że y jest starszy od x.
Dana relacja R jest relacją przechodnią, nazywaną też relacją tranzytywną (w notacji symbolicznej: trans( R)) tylko wtedy, gdy ilekroć zachodzi między x i y oraz y i z, to zachodzi również między x i z, co notujemy:
R trans( R)  x,y,z[(xRy  yRz)  xRz]
O relacji R powiemy, że należy do relacji tranzytywnych tylko wtedy, gdy ilekroć zachodzi między przedmiotami x i y oraz między przedmiotami y i z, to zachodzi też między przedmiotami x i z. Ilustracją tej relacji jest relacja być wyższym: jeśli x jest wyższy od y a y jest wyższy od z, to x jest wyższy od z.
Relacja R jest relacją ekwiwalencyjną, inaczej równoważnościową ( w zapisie symbolicznym: ekw( R)) tylko wtedy, gdy jest relacją zwrotną, symetryczną i przechodnią. Notujemy ją:
R ekw( R)  R (refl( R)  sym( R)  trans( R))
Stwierdzamy, że relacja R należy do relacji ekwiwalencyjnych wtedy i tylko, gdy relacja R należy do iloczynu relacji zwrotnej, symetrycznej i tranzytywnej. Równoważność tę w ujęciu formalnym zapisujemy:
R ekw( R)  [R refl( R)  R sym( R)  R trans( R)]
W równoważności powyższej stwierdza się, że relacja R spełnia warunki relacji ekwiwalencyjnej tylko wtedy, gdy wyrażenie zdaniowe: R ekw( R) jest równoważne komunikacji wyrażeń zdaniowych utworzonych z relacji zwrotnej (R refl( R)), symetrycznej (R sem( R)) i przychodniej (R trans( R)). Przykładem jest relacja być równym, gdyż : a) jest zwrotna, jako że dla każdego przedmiotu x: x=x; b) jest symetryczna, gdyż jeśli x=y, to y=x jak też jest to c) relacja przechodnia, bowiem jeśli x=y i y=z, to x=z.
Relacja R jest relacją spójną (w zapisie symbolicznym: R con( R)) tylko wtedy, gdy relacja R zachodzi między dowolnymi, lecz spełniającymi warunek xy przedmiotami x, y należącymi do pola tej relacji, co notujemy:
R con( R)  x,y[(xy)  (xRy  yRx)]
O relacji R powiemy, że należy do zbioru relacji spójnych tylko wtedy, gdy dla dowolnych dwu różnych przedmiotów x i y jest tak, że relacja R zachodzi między tymi przedmiotami w jednym albo w drugim kierunku. Przykładem tej relacji jest stosunek mniejszości między dowolną, spełniająca warunek xy parą liczb naturalnych x, y, gdyż dla dowolnych dwu różnych liczb naturalnych x, y jest tak, że x jest mniejszy od y albo y jest mniejszy od x.
Stwierdzamy z kolei, że dana relacja R należy do zbioru relacji porządkujących (w zapisie symbolicznym: R ord( R)) tylko wtedy, gdy jest relacją asymetryczną, przechodnią i spójną, co notujemy:
R ord( R)  [R asym( R)  R trans( R)  R con( R)]
Przykładem jest relacja większości w zbiorze liczb naturalnych, gdyż jest tak, że dla dowolnych liczb naturalnych, takich, że xy: jeśli xy, to nieprawda, że yx; jeśli xy i yz, to xz i jeśli xy, to xy, albo yx.
Rozważania nad relacjami są ważne oraz interesujące co najmniej z dwu powodów: po pierwsze – kształcą umiejętności abstrakcyjnej analizy i typologii
Stosunków występujących w różnych dziedzinach teorii oraz praktyki; po drugie – wzbogacają wiedzę o modelowych relacjach, których znajomość może ułatwić porządkowanie i systematyzację odpowiednich doświadczeń. Teoria relacji, podobnie jak logika zdań oraz logika predykatów, odzwierciedla bowiem w dużej mierze struktury rozumowań praktycznych, czyli takich, które są formułowane w języku naturalnym.






BIBLIOGRAFIA:

Stanisław J. Sokołowski „Logika w racjonalnym działaniu
Zastosowania praktyczne”

Ryszard Wójcicki „ Wykłady z logiki
z elementami teorii wiedzy”