Wyznaczanie modułu sztywności metodą dynamiczną

Wahadło torsyjne (przedstawione na powyższym rysunku) – umocowana na osi bryła, która skręcana od położenia równowagi, porusza się ruchem wahadłowym harmonicznym, pod wpływem siły sprężystości. Typowym przykładem takiego wahadła może być koło balansowe zegara sprężynowego. Źródłem siły sprężystości jest w nim sprężyna. Koło skręcane od położenia równowagi o kąt  waha się w granicach skrajnych położeń. Można wykazać, że istnieje podobieństwo między ruchem wahadła fizycznego, a wahadła torsyjnego. W jednym
i drugim wahadle o okresie drgań T decyduje moment bezwładności bryły oraz siła kierującą, którą w wahadle fizycznym jest siła ciężkości, a w wahadle torsyjnym siła sprężystości. Można znaleźć wzór na okres drgań wahadła torsyjnego modyfikując odpowiednie wzory. Wzorem wyjściowym niech będzie wzór na okres drgań wahadła fizycznego:
Można zauważyć, że mianownik wyrażenia podpierwiastkowego pomnożony jest przez sin oznacza moment odchylający M siły ciężkości wahadła wychylonego od położenia równowagi o kąt  :
M = mgl sin =  sin
gdzie  = mgl oznacza stały dla danego wahadła współczynnik proporcjonalności. Dla małego  (  < 50 ) można przyjąć, że sin = , wobec czego: M = ,
stąd : .
Z definicji tej wynika, że współczynnik  nazywamy momentem kierującym wahadła; liczbowo jest równy takiemu momentowi odchylającemu, który powoduje jednostkowe wychylenie wahadła (  = 1 radian ). Wprowadzając to do pierwszego wzoru otrzymujemy wzór wahadła fizycznego.
Ruchy drgające brył sztywnych mogą być wywołane nie tylko siłą ciężkości. Mogą one powstać pod działaniem innych sił, jak np. sił sprężystości wywołanych odkształceniem, sił magnetycznych lub elektrycznych. Zawsze ilekroć moment skręcający tych sił jest proporcjonalny do kąta odchylenia, można stosować powyższy wzór. Stosując dla wahadła torsyjnego ten wzór możemy wyznaczyć moment bezwładności B, jeżeli znajdziemy okres wahań i moment kierujący .
Deformacja ciała ( odkształcenie ).
Deformacje albo sprężyste odkształcenia ciał wywołane działaniem sił zewnętrznych mogą przejawiać się w różnych postaciach. Deformacja może się sprowadzać do prostego wydłużenia, a może to być np. skręcenie. Z najprostszym przykładem skręcania spotykamy się wówczas, gdy na element objętościowy sprężystego ciała stałego ( którego przekrój jest prostokątem ) o umówionej podstawie działa siła F przyłożona do górnej powierzchni S tegoż elementu i do niej równoległa. Nastąpi wtedy sprężyste odkształcenie, którego miarą będzie kąt zsunięcia płaszczyzn bocznych . Zgodnie z prawem Hooke’a ciśnienie jest proporcjonalne do odkształcenia, a więc: ,
gdzie G oznacza współczynnik stały dla danego materiału charakteryzujący jego sprężystość
(siła oporu sprężystego), zwany modułem sztywności lub modułem torsyjnym. Jego odwrotność nosi nazwę liczby poślizgowej materiału. Należy pamiętać, że dane ciało sprężyste może mieć kilka współczynników sprężystości zależne od rodzaju odkształcenia, któremu podlega. Jednostka modułu sztywności, zgodnie z powyższym określeniem jest taka sama jak jednostka ciśnienia tj. lub . W zastosowaniach technicznych i naukowych najczęściej spotykamy współczynnik sztywności wtedy, gdy ciało cylindryczne, np. drut
o średnicy 2r i długości l umocowane jest górnym końcem, a na dolnym końcu poddane działaniu sił w płaszczyźnie prostopadłej do osi walca. Siły te działają równolegle do powierzchni przekroju poprzecznego, są rozłożone równomiernie na całej powierzchni,
a kierunek ich jest styczny do koła przekroju. Rozłożone na poszczególne elementy przekroju działanie wszystkich tych sił, usiłujących obracać ciało naokoło osi, można zastąpić działaniem pary sił o sumie równej 2F. Ta para sił wywiera ciśnienie styczne do danego przekroju równe: .
Pod działaniem tego ciśnienia zachodzi w elementach całego pręta odkształcenie polegające na skręcaniu, którego miarą jest kąt . Zatem: .
Pamiętać tu należy, że nie dla wszystkich elementów pręta odkształcenie jest jednakowe
w środku pręta wzdłuż osi równa się zero, a w miarę zbliżania się ku zewnętrznemu obwodowi przekroju odkształcenie rośnie proporcjonalnie do promienia. Zatem wzór powyższy określa odkształcenie warstw zewnętrznych. Odkształcenie średnie będzie równe połowie odkształcenia zewnętrznego, otrzymujemy więc: .
Podstawiając wprowadzone oznaczenia do wzoru początkowego możemy zapisać:,
gdzie G jest to moduł sztywności na skręcanie.
Metoda dynamiczna.
Współczynnik sztywności cienkich prętów należy wyznaczyć metodą dynamiczną, której zasadę w skrócie można przedstawić w sposób następujący: na druciku o zmierzonej długości L i średnicy 2r zawiesza się bryłę, tzw. Wibrator o momencie bezwładności I0. Skoro obrócimy wibrator w płaszczyźnie poziomej o pewien kąt sił sprężystych:
M = - ,
które po oswobodzeniu wibratora nadawać mu będą ruch drgający: ,
gdzie ,
jest momentem kierującym drutu. Drgający wibrator stanowi w istocie wahadło poruszane sprężystością drutu. Zmierzywszy okres wahań T oraz znając moment bezwładności I0 możemy na podstawie wcześniejszego równania wyznaczyć współczynnik sztywności G