Funkcje ( różniczkowanie)

Definicja granicy ciągu liczbowego i jej własności: lim{noo} an=a  {0} {NoN} {n≥No} |an-a|. Własności: 1) Jeżeli ciąg ma granicę, to ma ją tylko jedną. 2) Jeżeli ciąg {an} ma granicę to każdy podciąg wybrany z tego ciągu ma również taką samą granicę. 3) Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. 4) Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. Podstawowe własności funkcji. Funkcja jest: 1) rosnąca w ADf  {x1,x2A} x1<x2  f(x1)<f(x2). 2) niemalejąca w ADf  {x1,x2A} x1<x2  f(x1)≤f(x2). 3) malejąca w ADf  {x1,x2A} x1<x2  f(x1)>f(x2). 4) nierosnąca w ADf  {x1,x2A} x1<x2  f(x1)≥f(x2). 5) stała w ADf  {x1,x2A} x1x2  f(x1)=f(x2). 6) parzysta  {xDf} (-x)Df  f(-x)=f(x) wykres f parzystej jest symetryczny względem osi y. 7) nieparzysta  {xDf} (-x)Df  f(-x)=-f(x) wykres f nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. 8) okresowa o okresie podstawowym To(To0)  {xDf} (x+To)  Df  f(x+To)=f(x). 9) ograniczona z góry  {MR} {xDf} f(x)≤M; ograniczona z dołu  {MR} {xDf} f(x)≥M. Funkcja jest ograniczona, gdy jest ograniczona z góry i z dołu. F. odwrotna: def. Niech f: A na B. Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy taką funkcję g, która odwzorowuje teraz zbiór B na A. {xA} {yB} y=f(x)  x=g(y). Tw. Jeżeli f: A na B jest różnowartościowa, to istnieje do niej funkcja odwrotna g przeprowadzająca zbiór B na A. Symbol: g(x)=f-1(x).

Asymptoty wykresu funkcji: 1) Def. Prosta x=a jest asymptotą pionową (lewostronną) wykresu funkcji y=f(x)  lim{xa+}{xa-}f(x)=+-oo. Jeżeli prosta x=a jest asymptotą pionową prawostronną i lewostronną, to nazywany ją obustronną. 2) Def. Niech f•x(xo, +oo). Prosta y=mx+p jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu f: y=f(x)  lim{xoo} [f(x)-(mx+p)]=0. Niech f•x(-oo, x1). Prosta y=mx+p jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu f: y=f(x)  lim{x-oo} [f(x)-(mx+p)]=0. 3) Szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej jest asymptota pozioma. Prosta y=p jest asymptotą poziomą prawostronną (lewostronną)  lim{x+oo}{x-oo} f(x)=p. Twierdzenie: Prosta y=mx+p jest a.ukośną prawostronną (lewostronną)  1) lim{x+oo}{x-oo} f(x)•1/x=m. 2) lim{x+oo}{x-oo} [f(x)-mx]=p. Ciągłość funkcji w punkcie i przedziale. A) Def. Funkcja f jest ciągła w punkcie xo  1) xoDf (jest określona w tym punkcie); 2) lim{xxo} f(x)=a (ma skończoną granicę); 3) lim{xxo} f(x)=f(xo) (granica ma taką samą wartość w tym punkcie). xo(a,b)  Df. Definicja odnosi się do punktów nieizolowanych dziedziny. Jeżeli w Df istnieją punkty izolowane Df=(c,d){xo}, wtedy w tych punktach z definicji przyjmujemy, że funkcja jest ciągła. B) Funkcja jest ciągła w przedziale <c,d>  gdy jest ciągła w przedziale (c,d) i lim{xc+} f(x)=f(c)  lim{xd-} f(x) = f(d). Twierdzenia o funkcjach ciągłych: 1) Jeżeli f jest ciągła w a,b, to przyjmuje w tym przedziale wszystkie wartości pomiędzy f(a), f(b). 2) Jeżeli f jest ciągła w a,b, to przyjmuje w tym przedziale swoją wartość największą i najmniejszą. 3) Jeżeli f jest ciągła w a,b, i f(a)-f(b)0, to {c(a,b)} f(c)=0.

Reguły różniczkowania. A) (f(x)+g(x)) ‘ = f ‘ (x)+g ‘ (x). B) (α•f(x)) ’ = α•f ‘ (x), αR. C) (f(x)•g(x)) ‘ = f ‘ (x)•g(x)+f(x)•g ‘ (x). D) (f(x)/g(x)) ‘ = (f ‘ (x)•g(x)-g ‘ (x)•f(x))/(g(x))2. Tw. Lagrange’a i wnioski: Niech f jest: 1) ciągła w a,b 2) różniczkowalna w (a,b) to {c(a,b)} f ‘ (c)=(f(b)-f(a))/(b-a) RYS (f(b)-f(a))/(b-a)=tg. Wnioski: 1) Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w (a,b) i f ‘ (x)0, to funkcja jest rosnąca w (a,b). 2) Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w (a,b) i f ‘ (x)<0, to funkcja jest malejąca w (a,b). 3) Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w (a,b) i f ‘ (x)=0, to funkcja jest stała. 4) Jeżeli funcje f i g są różniczkowalne w (a,b) i w każdym punkcie tego przedziału f ‘ (x)=g ‘ (x), to funkcje różnią się tylko o stałą. Wykresy są równoległe: f(x)=g(x)+c w (a,b); cR. Ekstrema lokalne i warunek konieczny. Funkcja f(x) ma w punkcie xo (xoDf) maksimum lokalne  {Sxo} {xSxo} f(x) ≤ f(xo). Funkcja f(x) ma w punkcie xo minimum lokalne  {Sxo} {xSxo} f(x) ≥ f(xo). Jeżeli nierówności występujące w definicji są ostre, to mówimy, że funkcja ma max i min (ekstremum) lokalne właściwe. Tw. Warunek konieczny ekstremum funkcji: Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu xo (Uxo) i ma w xo ekstremum lokalne, to f’(xo)=0. Uwaga: Dla funkcji różniczkowalnych ekstrema lokalne mogą istnieć tylko w punktach zerwania się pierwszej pochodnej. Warunek wystarczający extremum (tw.) Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w Uxo oraz: 1) f ’(xo)=0; {xS-xo} f ’(x)0; {xS+xo} f ‘(x)0; to f ma w xo maksimum lokalne, oraz 2) f ‘(xo)=0; {xS-xo} f ’(x)0; {xS+xo} f ‘(x)0; to f ma w xo minimum lokalne.

Def. pochodnej funkcji w punkcie. Pochodną funkcji xo naz. skończoną granicę przy h0 ilorazu różnicowego i oznaczamy symbolem f ‘ (xo).f ‘ (xo)=lim{h0}(f(xo+h)-f(xo))/h. RYS Równanie stycznej do wykresu y=f(x) w punktach (xo, f(xo)) ma postać y-f(xo)=f ‘ (xo)(x-xo). Euler: Można wykazać, że ciąg an jest ograniczony i można wykazać, że jest ciągiem rosnącym, czyli jest ciągiem monotonicznym i ograniczonym a więc i zbieżny. Granice tego ciągu oznaczamy „e”. Funkcje cyklometryczne. f(x)=SINX. Df=x</2;/2>. Vf=<-1,1>. f jest różnowartościowa w tej Df, a więc istnieje f odwrotna do niej: Vf-1:<-1;1></2;/2>. f-1(x)=arcsinx # {x<1;1>} sin(arcsinx)=x # {x</2; /2>} arcsin(sinx)=x. f(x)=COSX. Df=<0, >. Vf=<1; 1> # Vf-1:<-1; 1>  <0, >.# f-1(x)=arccosx # {x<0; >} arccos(cosx)=x # {x<1; 1>} cos(arccosx)=x. f(x)=TGX Df=(/2; /2) Vf=R Vf-1:R  (/2; /2) # f-1(x)=arctgx # {xR} tg(arctgx)=x # {x(/2; /2)} arctg(tgx)=x f(x)=CTGX. Df=(0; ) Vf=R # Vf-1:R  (0; ) # f-1(x)=arcctg # {xR} ctg(crcctgx)=x # {x(0; )} arcctg(ctgx)=x