Linko

WYKŁAD 1

CIĄGI LICZBOWE I ICH WŁASNOŚCI. GRANICE CIĄGÓW LICZBOWYCH.

Ciągiem nazywamy każdą funkcję, określoną nadzbiorze liczb naturalnych lub na jego podzbiorze. Wartość ciągu dla argumentu n oznaczać będziemy (itp. np. ); natomiast ciąg jako funkcję oznaczamy itp.
Tw. 1 Ciąg ma granicę wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym otoczeniu liczby g leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

Wynika stąd, że

• każdy ciąg może posiadać co najwyżej jedną granicę,
• każdy ciąg zbieżny jest ograniczony,
• ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego podciąg jest zbieżny do tej samej granicy,
• ciąg , zawierający dwa podciągi zbieżne do różnych granic (lub zawierający podciąg rozbieżny), jest rozbieżny,
• jeżeli prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają nierówność oraz , to ,
• dwa ciągi, różniące się skończoną ilością wyrazów, albo są jednocześnie rozbieżne, albo jednocześnie zbieżne do tej samej granicy.

Tw. 2 Jeżeli ciągi i są zbieżne odpowiednio do granic a i b, to zbieżne są ciągi oraz

, ,
Jeżeli dodatkowo to zbieżny jest ciąg oraz
Symbolem nieoznaczonym typu nazywamy różnicę dwóch ciągów i , z których każdy jest rozbieżny do (albo każdy jest rozbieżny do ). Granica takiego ciągu zależy od postaci ciągów i .Podobnie definiujemy wszystkie symbole nieoznaczone:
.
Liczba e.

Granicę tego ciągu oznaczać będziemy literą e – zatem

Można wykazać, że e jest (podobnie jak liczba liczbą niewymierną przestępną, a jej przybliżenie z dokładnością do pięciu miejsc po przecinku to

Tw. 5 Dla dowolnego ciągu zbieżnego do zera prawdziwa jest równość

WYKŁAD 2
GRANICA FUNKCJI, CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

Zakładamy, że funkcja f jest określona w pewnym zbiorze A, mającym punkt skupienia (w samym punkcie funkcja może być określona lub nie, może być liczbą rzeczywistą lub ). Mówimy, że funkcja f posiada w punkcie granicę g (co zapisujemy ) – (g może być skończona lub nie) – jeżeli

Mówimy, że funkcja f posiada w punkcie granicę prawostronną (lewostronną) g (co zapisujemy

Załóżmy teraz, że funkcja jest określona na zbiorze A oraz że . Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie , jeżeli spełnia warunek

Jeżeli funkcja jest ciągła w każdym punkcie dziedziny, to nazywamy ją funkcją ciągłą.

własność Darboux: Funkcja f ciągła w przedziale zawierającym punkty a i b przybiera każdą wartość zawartą pomiędzy i (tzn. dla każdego należącego do przedziału o końcach i istnieje taki należący do przedziału o końcach a i b, dla którego zachodzi równość . W szczególności f przybiera wartość 0, jeżeli .

Weierstrassa: Funkcja ciągła w przedziale domkniętym i ograniczonym osiąga w tym przedziale wartość najmniejszą i największą – tzn. istnieją liczby takie, że
oraz

Można wykazać, że jeżeli np. , gdzie a jest liczbą dodatnią, zaś , to niezależnie od postaci funkcji f,g zawsze zachodzi równość . Symbolicznie zapisujemy ten fakt w postaci „równości” .

FUNKCJA ODWROTNA I FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE
Załóżmy, że funkcja jest określona i różnowartościowa na zbiorze A. Niech B będzie zbiorem wartości funkcji f. Jeżeli każdemu przyporządkujemy ten , dla którego spełniona jest równość (taki x istnieje tylko jeden, gdyż f jest różnowartościowa), to określoną w ten sposób funkcję nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f i oznaczamy .
Dziedziną funkcji jest zbiór B, a zbiorem jej wartości zbiór A.
Zauważmy, że zachodzi równoważność

FUNKCJA ZŁOŻONA
Niech będą dane trzy zbiory oraz dwie funkcje: , odwzorowująca zbiór A na zbiór B oraz , odwzorowująca zbiór B w zbiór C. Funkcją złożoną z funkcji f i g nazywamy funkcję określoną wzorem .
Funkcja ta odwzorowuje zbiór A w zbiór C.

Z definicji funkcji odwrotnej i funkcji złożonej wynika, że jeżeli f jest funkcją różnowartościową, odwzorowującą zbiór A na zbiór B, to prawdziwe są równości:
dla dla
WYKŁAD 3
POCHODNA FUNKCJI.

Poniższe rozważania robimy przy założeniu, że funkcja jest określona w pewnym otoczeniu U punktu , zaś będzie na tyle małą liczbą rzeczywistą (dodatnią lub ujemną), by .

Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie dla przyrostu nazywamy wyrażenie


Pochodną funkcji f w punkcie nazywać będziemy granicę
, o ile granica ta istnieje i jest skończona oznaczamy .

Granice jednostronne
[lewostronna w ] [prawostronna w ]
Uwaga. Funkcja f posiada pochodną w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy posiada w tym punkcie obie pochodne jednostronne równe.

Styczną do wykresu funkcji f, poprowadzoną w punkcie nazywać będziemy prostą o równaniu



Tw. 5 (o pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli funkcja posiada pochodną w punkcie , a funkcja posiada pochodną w punkcie , to funkcja złożona posiada pochodną w punkcie oraz



Tw. 6 (o pochodnej funkcji odwrotnej) Jeżeli funkcja f jest monotoniczna i ciągła na przedziale oraz posiada pochodną w punkcie , różną od zera , to funkcja odwrotna posiada pochodną w punkcie oraz zachodzi równość
Różniczką funkcji f w punkcie dla przyrostu nazywamy wyrażenie



Tw. 7 (reguła de l’Hospitala) Jeżeli
• funkcje f i g są określone i różniczkowalne w pewnym sąsiedztwie punktu
• wyrażenie jest w punkcie wyrażeniem nieoznaczonym lub
• istnieje granica
to istnieje granica i zachodzi równość .
(w regule de l’Hospitala może być zarówno liczbą rzeczywistą, jak i . Można również w ten sposób liczyć granice jednostronne.)
WYKŁAD 4
EKSTREMA LOKALNE FUNKCJI, ASYMPTOTY FUNKCJI.
Tw. 1 (Rolle’a) Jeżeli funkcja spełnia warunki: jest określona i ciągła w przedziale ; jest różniczkowalna w przedziale ; ,  to istnieje punkt , taki, że
Tw. 2 (Lagrange’a) Jeżeli funkcja spełnia warunki: jest określona i ciągła w przedziale ; jest różniczkowalna w przedziale ,  to istnieje punkt , taki, że
Wnioski z tw. Lagrange’a
• Jeżeli funkcja f ma w każdym punkcie przedziału pochodną większą od zera (mniejszą od zera), to f jest na tym przedziale rosnąca (malejąca).
• Jeżeli funkcja f ma w każdym punkcie przedziału pochodną równą 0, to jest na tym przedziale stała.
• Dwie funkcje f, g , które mają na przedziale tę samą pochodną, różnią się o stałą.
Mówimy, że funkcja f osiąga w punkcie maksimum lokalne (minimum lokalne), jeżeli istnieje takie otoczenie U punktu , że dla każdego punktu spełniona jest nierówność
[Liczbę nazywamy maksimum lokalnym (min).]

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu , jest różniczkowalna w punkcie i posiada w punkcie ekstremum, to .

Uwaga. Warunek ten nie jest dostateczny – z zerowania się pochodnej w punkcie nie wynika istnienie w tym punkcie ekstremum. Musi tam być np. spełniony jeden z podanych niżej warunków dostatecznych (tw. 4, tw. 6)

Warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu U punktu oraz i dla zachodzi jeden z warunków:
1. dla i dla
2. dla i dla ,
to funkcja f osiąga w punkcie odpowiednio maksimum (minimum) lokalne.

Pochodną drugiego rzędu (drugą pochodną) funkcji f nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji


Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia funkcji różniczkowalnej Jeżeli funkcja f posiada w otoczeniu punktu pochodne pierwszego i drugiego rzędu oraz punkt jest punktem przegięcia wykresu funkcji f, to .

Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia Jeżeli funkcja f posiada w otoczeniu punktu pochodne pierwszego i drugiego rzędu oraz
1.
2. w lewostronnym sąsiedztwie punktu druga pochodna jest dodatnia, a w prawostronnym sąsiedztwie jest ujemna (lub na odwrót),
to punkt jest punktem przegięcia krzywej . WYKŁAD 5
SZEREGI LICZBOWE
Szeregiem liczbowym o wyrazach nazywamy wyrażenie Wyrażenie to zapisujemy również jako .
Jeżeli ciąg jest rozbieżny (czyli gdy nie ma granicy lub jego granica jest niewłaściwa), szereg nazywamy rozbieżnym.

Warunek konieczny zbieżności szeregów Jeżeli szereg ¬ jest zbieżny, to
Kryterium porównawcze zbieżności szeregów Jeżeli wyrazy dwóch szeregów , spełniają dla prawie wszystkich n nierówności:

to:
• Ze zbieżności szeregu wynika zbieżność szeregu
• Z rozbieżności szeregu wynika rozbieżność szeregu

Kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregów: Jeżeli wyrazy szeregu są nieujemne oraz istnieje granica , to szereg jest zbieżny, gdy , a jest rozbieżny gdy .
Kryterium d’Alemberta zbieżności szeregów: Jeżeli wyrazy szeregu są dodatnie oraz istnieje granica , to szereg jest zbieżny, gdy , a jest rozbieżny gdy .
Kryterium Leibniza: Jeżeli ciąg jest ciągiem malejącym do 0, to szereg jest zbieżny.

Szereg z twierdzenia Leibniza nazywamy szeregiem naprzemiennym.

Na mocy kryterium Leibniza szereg jest zbieżny. Nazywamy go szeregiem anharmonicznym.

Szereg nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeżeli jest zbieżny. Szereg, który jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny, nazywamy warunkowo zbieżnym.


Kryterium bezwzględnej zbieżności: Jeżeli szereg jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny.

Szeregiem warunkowo zbieżnym jest np. szereg anharmoniczny. Oczywiste jest, że każdy szereg zbieżny o wyrazach nieujemnych jest szeregiem bezwzględnie zbieżnym.
WYKŁAD 6
CAŁKA NIEOZNACZONA

Całką nieoznaczoną funkcji f nazywać będziemy rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f i oznaczamy (każde dwie funkcje pierwotne funkcji f na przedziale I różnią się o stałą C)

Własności całki nieoznaczonej
• Jeżeli f jest funkcją różniczkowalną na przedziale I, to
• Dla dowolnych funkcji określonych na przedziale I oraz dowolnej liczby rzeczywistej C zachodzą wzory

całkowanie przez części: Jeżeli funkcje f i g są ciągłe wraz z pochodnymi na przedziale I, to na przedziale I zachodzi wzór


całkowaniu przez podstawienie: Jeżeli jest funkcją monotoniczną, różniczkowalną i ciągłą wraz z pochodną na przedziale oraz przekształca ten przedział na przedział , na którym jest określona funkcja ciągła , to zachodzi równość
WYKŁAD 7
CAŁKA OZNACZONA

Załóżmy, że funkcja jest określona i ograniczona w przedziale domkniętym . Przedział ten dzielimy na n części za pomocą punktów
Oznaczmy dla , zaś przez największą spośród w ten sposób określonych liczb . W każdym z przedziałów wybieramy dowolny i tworzymy sumę
Jeżeli istnieje skończona granica ciągu , niezależna od wyboru punktów , jeżeli tylko , to nazywamy ją całką oznaczoną funkcji f w przedziale i oznaczamy
Liczby a i b nazywają się odpowiednio dolną i górną granicą całkowania. Sumy nazywamy sumami całkowymi Riemanna, a funkcję f, posiadającą w ten sposób określoną całkę – funkcją całkowalną na przedziale .
Tw 1 Na to, by istniała całka oznaczona potrzeba i wystarcza, by , jeżeli tylko .
Przedziałem zorientowanym (gdzie a<b lub a>b): nazywać będziemy zbiór liczb x spełniających jedną z nierówności lub i uporządkowanych w kierunku wzrastania, jeśli a<b albo w kierunku malenia, jeśli a>b. Przyjmujemy dodatkowe umowy:
jeżeli a>b, to przyjmujemy, że ; jeżeli , przyjmujemy, że
Tw. o całkowaniu przez części dla całek oznaczonych: Jeżeli funkcje f i g są ciągłe wraz z pochodnymi na przedziale , to zachodzi równość gdzie
Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie dla całek oznaczonych: Jeżeli jest funkcją ciągłą na przedziale , zaś jest funkcją określoną na przedziale , odwzorowującą ten przedział na przedział , mającą na tym przedziale ciągłą pochodną i przyjmującą wartości z przedziału , przy czym , to

Jeżeli na przedziale są określone funkcje ciągłe f i g oraz na tym przedziale spełniona jest nierówność , to pole obszaru ograniczonego wykresami tych funkcji prostymi jest równe
WYKŁAD 8

FUNKCJA GÓRNEJ GRANICY CAŁKOWANIA
Załóżmy, że funkcja jest całkowalna na przedziale . Wówczas dla każdej liczby istnieje całka oznaczona

Tw. 1 Funkcja jest funkcją ciągłą w każdym punkcie przedziału . Ponadto w każdym punkcie , w którym funkcja f jest ciągła, funkcja F posiada pochodną oraz .

Wniosek. Każda funkcja f ciągła na przedziale ma na tym przedziale funkcję pierwotną (całkę nieoznaczoną) w postaci całki oznaczonej (1). Funkcję F nazywamy funkcją górnej granicy całkowania.

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego: Jeżeli jest dowolną funkcją pierwotną funkcji ciągłej w przedziale , to


CAŁKA NIEWŁAŚCIWA
Załóżmy, że funkcja jest określona w przedziale i całkowalna w każdym przedziale domkniętym , gdzie . Istnieje zatem dla takich całka

Punkt b nazywać będziemy punktem osobliwym funkcji f, jeżeli lub gdy b jest liczbą skończoną lecz funkcja f jest nieograniczona dla .

Jeżeli b jest punktem osobliwym funkcji f istnieje skończona granica , to nazywamy ją całką niewłaściwą funkcji f i oznaczamy . Zatem

Jeżeli ta granica nie istnieje lub jest niewłaściwa, to całkę nazywamy rozbieżną

Analogicznie określamy całkę niewłaściwą, gdy a jest punktem osobliwym
WYKŁAD 9
ALGEBRA MACIERZY

Macierzą o m wierszach i n kolumnach nazywamy każdą funkcję rzeczywistą, określoną na zbiorze opisanych wyżej par liczb naturalnych.

WYKŁAD 10
WYZNACZNIKI

Wyznacznikiem: tej macierzy nazywamy liczbę det A, określoną następująco: (definicja indukcyjna względem stopnia n macierzy)
1. Jeżeli (tzn. ), to przyjmujemy, że det A =
2. Jeżeli to wyznacznik macierzy stopnia n definiujemy jako liczbę

gdzie oznacza wyznacznik, który powstaje z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i pierwszej kolumny.

Minorem macierzy: A (niekoniecznie kwadratowej) nazywamy wyznacznik, który powstaje z tej macierzy przez skreślenie pewnej ilości wierszy i kolumn.
Liczbę nazywamy algebraicznym dopełnieniem elementu .

Tw. Laplace’a. :Wyznacznik macierzy A jest równy sumie wszystkich iloczynów każdego elementu dowolnej kolumny (dowolnego wiersza) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego,
tzn. lub

Własności wyznaczników:
• Jeżeli w wyznaczniku elementy jakiegoś wiersza (lub kolumny) są równe zero, to wyznacznik jest równy 0.
• Przestawienie dwóch wierszy (kolumn) macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika.
• Wyznacznik o dwóch jednakowych wierszach (kolumnach) jest równy 0.
• Wspólny czynnik wszystkich elementów danego wiersza (kolumny) można wyłączyć przed wyznacznik.
• Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie, jeżeli do elementów dowolnego wiersza (kolumny) dodamy elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę rzeczywistą.
• Wyznacznik o dwóch proporcjonalnych wierszach (kolumnach) jest równy 0.
• Wyznacznik macierzy transponowanej jest równy wyznacznikowi tej macierzy
• Tw. Cauchy’ego. Wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych tego samego stopnia jest równy iloczynowi wyznaczników tych macierzy, czyli

Rzędem macierzy prostokątnej A nazywamy najwyższy stopień różnych od zera podwyznaczników (minorów) tej macierzy. Rząd macierzy A oznaczamy rz A.

Tw. 1 Rząd macierzy nie ulegnie zmianie, jeżeli:
• elementy pewnego wiersza (pewnej kolumny) pomnożymy przez liczbę różną od zera.
• elementy pewnego wiersza (pewnej kolumny) pomnożymy przez liczbę rzeczywistą i dodamy do elementów innego wiersza (innej kolumny)
• usuniemy z macierzy wiersz (kolumnę) złożoną z samych zer.
• skreślimy jeden z dwóch proporcjonalnych wierszy (jedną z dwóch proporcjonalnych kolumn).
• przestawimy dwa wiersze (dwie kolumny).
Uwagi:
• Jeżeli rz A=r, to znaczy, że istnieje co najmniej jeden różny od zera minor macierzy A stopnia r oraz że wszystkie minory stopnia wyższego niż r (o ile istnieją) są równe 0.
•
• Jeżeli A jest macierzą kwadratową stopnia n, to rz wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A jest nieosobliwa.
• Jeżeli A jest macierzą trójkątną, to rz A jest równy liczbie różnych od zera elementów głównej przekątnej.
WYKŁAD 11

TW. KRONECKERA-CAPELLIEGO, METODA GAUSSA


Tw. Kroneckera-Capelliego
• Układ równań liniowych posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
• Jeżeli , to układ jest oznaczony.
• Jeżeli , to układ jest nieoznaczony, przy czym rozwiązania zależą od n – r parametrów przebiegających zbiór liczb rzeczywistych.

Tw. Macierz rozszerzoną układu można sprowadzić do jednej z postaci bazowych (kanonicznych):

Z twierdzenia Kroneckera-Capelliego wynika, że w pierwszych dwóch przypadkach układ jest niesprzeczny – w pierwszym oznaczony, w drugim nieoznaczony. W pozostałych dwóch jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz jest macierzą zerową (i wtedy układ trzeci jest oznaczony, czwarty – nieoznaczony).

Układ jest układem Cramera, jeżeli oraz det A (tzn. macierz współczynników jest nieosobliwa)

Tw. Cramera: Układ Cramera jest układem oznaczonym, a jego jedyne rozwiązanie wyraża się wzorami: …,

Parametry nazywać będziemy inaczej zmiennymi niebazowymi.

Rozwiązania bazowe to takie rozwiązania, w których wszystkie zmienne niebazowe są równe zero.


WYKŁAD 12

MACIERZ ODWROTNA, RÓWNANIA MACIERZOWE

Macierzą odwrotną: do macierzy kwadratowej nazywamy taką macierz , która spełnia równości

Tw. 1 Macierz A jest macierzą odwracalną wtedy i tylko wtedy, gdy Wówczas
Macierz kwadratową o wyznaczniku różnym od zera nazywamy macierzą nieosobliwą, a mającą wyznacznik równy zero – macierzą osobliwą.

UKŁADY NIERÓWNOŚCI LINIOWYCH

Tw. 3 Stosując metodę eliminacji Gaussa do wierszy macierzy uzupełnionej możemy tę macierz przekształcić do jednej z postaci bazowych

Każdy układ nierówności, sprowadzony do jednej z pierwszych dwóch postaci bazowych jest niesprzeczny. Układy, sprowadzone do pozostałych postaci bazowych są niesprzeczne wtedy i tylko wtedy, gdy układ równań zmiennych o macierzy rozszerzonej posiada przynajmniej jedno rozwiązanie bazowe nieujemne.
W każdym rozwiązaniu zmienne są nieujemnymi parametrami, w dwóch ostatnich przypadkach ich zakres zmienności jest dodatkowo ograniczony, gdyż muszą one dodatkowo spełniać układ równań o macierzy rozszerzonej . Parametry, odpowiadające zmiennym , przybierają zawsze dowolne wartości rzeczywiste.

WYKŁAD 13

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Warstwicą funkcji dwóch zmiennych, odpowiadającą wartości c nazywamy zbiór



Funkcję f nazywać będziemy różniczkowalną na zbiorze A, jeżeli posiada na tym zbiorze wszystkie pochodne cząstkowe , ciągłe na A
Pochodną cząstkową drugiego rzędu funkcji f w punkcie P nazywamy każdą pochodną cząstkową pochodnej cząstkowej
Funkcję f nazywać będziemy funkcją dwukrotnie różniczkowalną na A, jeżeli posiada wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu , ciągłe na A.

Mówimy, że funkcja wielu zmiennych osiąga minimum lokalne (maksimum lokalne) w punkcie , jeżeli istnieje otoczenie U punktu , takie że dla każdego punktu spełniona jest nierówność

Warunek konieczny istnienia ekstremum: Jeżeli funkcja , określona w pewnym otoczeniu punktu i posiadająca w tym punkcie wszystkie pochodne cząstkowe, osiąga w tym punkcie ekstremum lokalne, to wszystkie pochodne cząstkowe w tym punkcie są równe 0, tzn.
Punkt P, dla którego są spełnione ostatnie równości nazywa się punktem stacjonarnym funkcji f.

Hesjanem dwukrotnie różniczkowalnej funkcji f nazywamy macierz utworzoną ze wszystkich pochodnych cząstkowych drugiego rzędu tej funkcji.

Warunek dostateczny istnienia ekstremum: Niech punkt będzie punktem stacjonarnym funkcji , mającej ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w pewnym otoczeniu tego punktu.
Jeżeli dla i=1,2,…,n spełnione są nierówności , to w punkcie funkcja osiąga minimum lokalne
Jeżeli dla i=1,2,…,n spełnione są nierówności , to w punkcie funkcja osiąga maksimum lokalne


WYKŁAD 15

CAŁKI PODWÓJNE


Jeżeli ciąg sum , odpowiadający każdemu normalnemu ciągowi podziałów jest zawsze zbieżny, i to do tej samej granicy, bez względu na dobór punktów , to granicę tę nazywamy całką podwójną funkcji f w prostokącie P i oznaczamy symbolem

a funkcję f nazywamy całkowalną w prostokącie P w sensie Riemanna.

Tw.1 Całka podwójna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy całka górna równa się całce dolnej.

Tw. 2 Każda funkcja ciągła w prostokącie domkniętym jest całkowalna.

Tw. 3 Jeżeli punkty nieciągłości funkcji ograniczonej na prostokącie P leżą na skończonej ilości krzywych postaci lub (funkcje te są obrazami ciągłymi pewnych odcinków), to funkcja f jest całkowalna na P.

Wprost z definicji wynikają następujące własności:



CAŁKI ITEROWANE
Załóżmy, że dla każdego ustalonego istnieje całka pojedyncza . Jeżeli funkcja jest całkowalna na przedziale , to całkę nazywamy całką iterowaną funkcji f w prostokącie P. Całkę tę zapisujemy również w postaci lub .

Analogicznie określamy drugą całkę iterowaną , inaczej .
Tw. 4 Jeżeli funkcja f jest ciągła w prostokącie P, to obie całki iterowane istnieją i są równe całce podwójnej
= =