Prędkość w różnych układach odniesienia

1. Układ odniesienia..

Każdy opis ruchu ciał materialnych wymaga uprzedniego wyboru układu odniesienia. Przez wyb6r układu odniesienia rozurniemy wybór jednego lub kilku ciał, które umownie przyjmujemy za nieruchome i z którymi wiążemy pewien układ współrzędnych, na przykład prostokątny (kartezjański). Tak, więc, chcąc opisać ruch zachodzący na Ziemi, przyjmujemy za ,,ciało odniesienia” powierzchnię Ziemi. Osie OX i OY prostokątnego układu współrzędnych umieszczamy przy tym zazwyczaj w płaszczyźnie horyzontu, zaś oś OZ skierowujemy pionowo. Czasami początek układu współrzędnych wygodnie jest umieścić w środku Ziemi; jedną z osi układu współrzędnych skierowujemy wtedy wzdłuż osi obrotu Ziemi. Do opisu ruchu ciał niebieskich wybiera się układ odniesienia związany ze Słońcem lub też z gwiazdami stałymi.
Ruchem ciał nazywamy zmiany ich położenia względem obranego uprzednio układu odniesienia.

1. Prędkość względna

Rozważamy zależność między prędkością przedmiotu określoną przez jednego obserwatora S (układ odniesienia S) a prędkością tego samego przedmiotu określoną przez innego obserwatora S’ (układ odniesienia S’) poruszającego się względem pierwszego. Przypuśćmy, że obserwator S jest związany z Ziemią, a więc jego układem odniesienia jest Ziemia. Drugi obserwator S’ porusza się względem Ziemi; może to być na przykład pasażer jadącego pociągu. Jego układem odniesienia jest więc pociąg. Obaj obserwują ruch tego samego przedmiotu, powiedzmy samochodu jadącego po szosie, czy człowieka spacerującego po wagonie. Każdy obserwator notuje przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie obserwowanego przedmiotu, mierzone względem swojego własnego układu odniesieni. Jak można porównać te pomiary? Rozważymy jedynie przypadek, gdy drugi układ porusza się względem pierwszego ze stała prędkością u.























Na rysunku 4-11 układ odniesienia S nieruchomy względem Ziemi reprezentują osie x i y. Obszar zacieniony należy do drugiego układu odniesienia S’ reprezentowanego przez osie x’ i y’. Układ S’ porusza się wzdłuż osi x ze stałą, mierzoną względem układu S prędkością U; można sobie wyobrazić na przykład, te jest on narysowany na podłodze wagonu towarowego.
W chwili początkowej przedmiot (powiedzmy piłka leżąca na podłodze wagonu) zajmuje położenie oznaczone w układzie S literą A, a w układzie S’ 1iterią A’. Po upływie czasu t wagon i związany z nim układ S’ oddalił się na odległość ut w prawo, a przedmiot przesunoł się do punktu B. W układzie S przemieszczenie przedmiotu z jego początkowego położenia dane jest wektorem r, narysowanym od punktu A do B. W układzie S’ przemieszczenie przedmiotu z jego początkowego położenia przedstawia wektor r’ łączący punkt A’ z punktem B. Wektory te różnią się od siebie, ponieważ punkt odniesienia A’ w poruszającym się układzie w czasie ruchu przedmiotu przesunął się na odległość ut wzdłuż osi x.
Widzimy że różni obserwatorzy, poruszający się względem siebie, przypisują temu samemu przedmiotowi różne prędkości. Prędkości te zawsze różnią się o prędkość względną tych dwóch obserwatorów, która tutaj jest prędkością stalą. Stąd wniosek, że jeżeli prędkość przedmiotu zmienia się, zmiana prędkości jest taka sama dla obu obserwatorów. Każdy z nich mierzy więc to samo przyspieszenie przedmiotu. Przyspieszenie przedmiotu jest takie samo we wszystkich układach odniesienia poruszających się względem siebie ze stałymi prędkościami; tzn. a = a’.

3. Opis ruchu z punktu widzenia obserwatorów w różnych układach odniesienia

Zajmowa1iśmy się dotychczas wielkościami służącymi do opisu ruchu punktu względem ustalonego układu odniesienia. Wartość i kierunek wektora położenia punktu zależą od wyboru początku układu współrzędnych; współrzędne tego wektora zależą dodatkowo od wyboru kierunków osi prostokątnego układu współrzędnych. Skoro tak, to wszystkie wielkości kinematyczne charakteryzujące ruch ciała zależą od wyboru układu odniesienia, w którym opisujemy ruch tego ciał. Ten oczywisty fakt stawia przed kinematyką dodatkowe zadanie zbadania i opisu różnic między wielkościami kinematycznymi przypisywanymi ruchowi tego samego punktu przez obserwatorów w różnych układach odniesienia. Ukiad odniesienia używany przez obserwatora 1 będziemy nazywać układem U; początek tego układu oznaczymy przez 0, a jego osie przez x, y, z. Ukiad używany przez obserwatora 2 nazwiemy U’; początek tego układu oznaczymy przez 0’, a osie przez x’, y’, z’.
Wektor opisujący położenie punktu 0’ w układzie U oznaczmy przez r0 (rys. 2.10); kąty, jakie tworzą z osiami x, y, z osie x’, y’, z’, oznaczmy przez r0, a, g.
Jeżeli układy U i U’ spoczywają względem siebie, wielkości r0, a i g są stale i nie zalet4 od czasu. Jeżeli wielkości r0, a, lub g zależą od czasu, obserwator 1 stwierdza,















że układ U’ porusza się względem układu U. Obserwator 2 powiedziałby, że to układ U porusza się względem układu U’. W niniejszym paragrafie będziemy reprezentowali zdanie obserwatora 1, choć równie dobrze moglibyśmy opisywać wszystko z punktu widzenia obserwatora 2.
Taki ruch układów U i U’ względem siebie, w którym zmienia się tylko wektor r0, natomiast kąty r0, a, lub g są stałe, nazywamy ruchem postępowym. Ruch, w którym zmieniają się kąty między osiami obu układów, natomiast wektor r0 jest stały, nazywamy ruchem obrotowym. Dowolny ruch układów U i U’ względem siebie jest złożeniem ruchu postępowego i obrotowego.
Zajmijmy się początkowo przypadkiem, gdy układ U’ porusza się względem układu U ruchem postępowym. Z takim ruchem mamy do czynienia na przykład wtedy, gdy obserwator 1 opisuje swoje spostrzeżenia w układzie spoczywającym względem Ziemi, a obserwator 2 względem jadącego po prostoliniowym torze wagonu kolejowego. Porównajmy spostrzeżenia obu obserwatorów śledzących ruch tego samego punktu P. Położenie punktu P w układzie U opisuje wektor r o początku w punkcie 0 i końcu w punkcie P. W układzie U’ tę samą rolę odgrywa wektor r’ o początku w punkcie 0’ i końcu w punkcie P. Oba wektory w każdej chwili spełniają związek (rys. 2.10)

r = r0+r’. (2.44)

Prędkość v dr/dt punktu P w układzie U oraz prędkość v’ = dr’/dt punktu P w układzie U’ można także łatwo powiązać ze sobą; obliczając pochodną obu stron równości (2.44) względem czasu otrzymujemy
v = vpost+v. (2.45)

Wektor vpost jest to wektor prędkości punktu 0’ w układzie U, czyli prędkość ruchu postępowego układu U’ względem układu U. Obliczając pochodną równości (2.45) względem czasu otrzymujemy związek miedzy przyspieszeniem a = dy/dt punktu P w układzie U i przyspieszeniem a’ = dv’/dt punktu P w układzie U’

a = apost+a’. (2.46)

Wektor apost określa przyspieszenie ruchu postępowego układu U’ wzglądem układu U.
Jeżeli osie uklad6w U i U’ są równoległe, to ze związków (2.44), (2.45) i (2.46) otrzymujemy proste związki pomiędzy współrzędnymi wektorów położenia, prędkości i przyspieszenia w obu układach:









Gdy osie układów U i U’ nie są równoległe, związki między współrzędnymi wektorów w obu układach komplikują się; równości (2.44), (2.45), (246) są jednak w dalszym ciągu spełnione.
Przejdźmy teraz do przypadku, gdy układy U i U’ poruszają się względem siebie ruchem obrotowym. Jeżeli układ U’ porusza się względem układu U ruchem obrotowym, to okazuje się, że w układzie U’ można zawsze wyróżnić prostą ,,spoczywającą” w danej chwili wzglądem układu U. Prostą tę nazywamy chwilową osią obrotu układu U’ względem układu U. W najogólniejszym ruchu obrotowym kierunek chwilowej osi obrotu w przestrzeni może się zmieniać w miarę upływu czasu.
Stosunkowo prostym, ale bardzo ważnym praktycznie przypadkiem n4rchu obrotowego jest ruch obrotowy wokół osi o ustalonym kierunku w przestrzeni. Podczas takiego ruchu wszystkie punkty układu U’, poza punktami położonymi na osi, poruszając się z jednakową prędkością kątową w i jednakowym przyspieszeniem kątowym e po okręgach w płaszczyznach prostopadłych do osi obrotu. Promienie tych okręgów równe są odległością punktów układu U’ od osi obrotu. Taki ruch obrotowy możemy w pełni scharakteryzować podając kierunek osi obrotu oraz przebieg ruchu po okręgu dla jednego dowolnie wybranego punktu układu U’.
Porównanie spostrzeżeń obserwator6w w układach U I U’, poruszających się względem siebie ruchem obrotowym, jest trudne nawet wtedy, gdy mamy do czynienia z ruchem wokół ustalonej osi obrotu. Jeżeli np. punkt P spoczywa w układzie U’, obserwator 2 przypisuje mu stale położenie r’, prędkość v’ = 0 i przyspieszenie a’ = 0. Tymczasem względem układu U punkt P porusza się po okręgu o promieniu d równym odległości punktu P od osi obrotu. Prędkość vs punktu P w układzie U jest równa vs =dw, przyspieszenie styczne jest równe
vs =de, a przyspieszenie dośrodkowe jest równe vs =d2w. Spostrzeżenia obu obserwatorów są więc drastycznie różne. Wzorów wiążących położenia, prędkości i przyspieszenia przypisywane temu samemu punktowi przez obserwatcr6w w układach U i U’ nie będzie podawać ze względu na ich skomplikowaną postać matematyczną.
Na podstawie tego rodzaju wzorów oraz podanych przez nas wzorów, wiążących spostrzeżenia obserwatorów w układach poruszających się względem siebie ruchem postępowym, można udowodnić następujące ważne twierdzenie:
Na to, aby obserwatorzy w dwóch różnych układach odniesienia przypisywali ruchowi tego samego ciała w każdej chwili czasu identyczne wektory przyspieszenia potrzeba i wystarcza, aby układy te poruszały się wzglądem siebie ruchem postępowym jednostajnym prostoliniowym.
Czytelnik zechce sam wykazać, że jeśli dwa układy poruszają się wzglądem trzeciego ruchem postępowym jednostajnym prostoliniowym, to również względem siebie poruszają się one ruchem postępowym jednostajnym prostoliniowym; prędkość ich ruchu względnego jest różnicą (wektorową) prędkości ich ruchu postępowego względem układu trzeciego. Powyższa uwaga oraz podane wyżej twierdzenie pozwalają podzielić wszystkie możliwe układy odniesienia na rozłączne klasy układów. Do jednej klasy zaliczymy te wszystkie układy odniesienia, w których obserwatorzy przypisują temu samemu poruszającemu się ciału jednakowe przyspieszenia. Należą do niej wszystkie układy odniesienia, poruszające się względem siebie ruchem postępowym jednostajnym prostoliniowym. Układy odniesienia należące do jednej klasy nazywamy układami dynamicznie równoważnymi. Uzasadnienie tej nazwy poznamy w rozdziale poświeconym dynamice.
Podsumowując rozważania tego paragrafu widzimy, te tor, prędkość i przyspieszenie punk/u są wielkościami zależnymi od wyboru układu odniesienia. Różni obserwatorzy w różnych układach odniesienia będą na ogól przypisywali temu samemu punktowi poruszającego się ciała różne tory, prędkości i przyspieszenia. Znając jednak ruch ciała w jednym układzie odniesienia U i znając ruch innego układu odniesienia U’ względem układu U, można znaleźć wszystkie charakterystyki kinematyczne, jakie temu ruchowi przypisuje obserwator w układzie U’. W świetle powyższego określając rodzaj ruchu (np. ruch jednostajny prostoliniowy, ruch jednostajnie zmienny po okręgu) należy zawsze powiedzieć, w jakim układzie odniesienia zachodzi ten ruch. W innym bowiem układzie odniesienia ruch ten wygląda na ogół zupełnie inaczej.


4. Inercjalny i nieinercjalny układ odniesienia
Inercjalny układ jest to układ odniesienia, w którym jest spełniona zasada bezwładności (zasady dynamiki Newtona), czyli taki, w którym ciała nie podlegające działaniu żadnych sił lub podlegające działaniu sił o wypadkowej równej zeru spoczywają lub poruszają się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Każdy układ odniesienia, poruszający się ze stałą prędkością względem układu inercjalnego i nie obracający się względem niego, jest też inercjalny. Pojęcie układu inercjalnego jest pojęciem wyidealizowanym - w praktyce stosuje się układy mające właściwości układów inercjalnych tylko w przybliżeniu lub tylko w ograniczonym obszarze przestrzeni lub czasie; np. układ związany z jakimś punktem na powierzchni Ziemi można traktować jako układ inercjalny dla zjawisk trwających tak krótko, że można uważać Ziemię w tym czasie za nieruchomą. W przeciwnym razie należy przyjąć inny układ odniesienia jako inercjalny, np. związany ze Słońcem. Związek między współrzędnymi przestrzennymi i czasowymi zdarzeń w różnych układach inercjalnych, przy małych prędkościach ruchu względnego układów, określają przekształcenia Galileusza, gdy prędkości te są duże (porównywalne z prędkością światła w próżni) - przekształcenia Lorentza. W nieinercjalnych układach odniesienia prawa dynamiki są słuszne dopiero po dołączeniu do sił rzeczywistych sił pozornych (siła bezwładności). W ogólnej teorii względności pojęcie układu inercjalnego zostało wyeliminowane; w ramach tej teorii nie ma, w poszczególnych punktach przestrzeni, różnicy między siłami grawitacji i siłami bezwładności.
Nieinercjalny układ odniesienia, fizyczny układ odniesienia, w którym nie jest spełniona I zasada dynamiki Newtona: np. układ związany z obracającym się ciałem (w szczególności układ związany z Ziemią) lub ciałem poddanym przyspieszeniom liniowym. Przeciwieństwo układu odniesienia inercjalnego. W nieinercjalnym układzie odniesienia obserwuje się np. siłę Coriolisa, siłę odśrodkową, inne siły bezwładności.

5. Przekształcenie Galileusza
Jeżeli ruch układu odniesienia U2 względem układu U1 jest ruchem postępowym prostoliniowym o stałej prędkości V, to najwygodniej jest wybrać osie x obu układów wzdłuż tej samej prostej, wyznaczonej przez wektor V, a początki obu układów wybrano w chwili t=0 w tym samym punkcie. Przy takim wyborne unoszenie będzie opisane równaniem: R = Vt. Współrzędne wektora R mają wtedy postać x = Vt, y=0. W tej sytuacji wektory położenia r1 i r2 dowolnego punktu względem układów U1 i U2 łączy związek: r1=Vt+ r2, który zapisany w postaci współrzędnych wektor6w ma postać:




Układ równań, wiążących współrzędne punktu w dwóch układach odniesienia, poruszających się względem siebie ruchem jednostajnym prostoliniowym nosi nazwę przekształcenia Galileusza. Układ opisany wyżej jest szczeg6lnym przypadkiem przekształcenia Galileusza przy odpowiednim wyborze kierunków osi obu uklad6w i skali czasu.
Przekształcenie Galileusza oraz przekonam, że czas ma ten sam sens i może mieć stale jednakową wartość w obu układach odniesienia, stanowiły podstawę mechaniki aż do początku XX w.

Bibliografia:
D. Halliday, Fizyka, wyd 9
J,. Blinowski, W. Zielicz, Fizyka i astronomia, cz. 1, WsiP, Warszawa 2002
http://www.wiem.onet.pl/