Czasoprzestrzeń Minkowskiego – przestrzeń liniowa, na której zdefiniowano iloczyn skalarny (dokładniej: pseudoskalarny), rozważana w fizyce i matematyce. Przestrzeń ta traktuje czas jako jeden z wymiarów czterowymiarowej przestrzeni, w którą włącza także trzy wymiary trójwymiarowej przestrzeni fizycznej. Z punktu widzenia geometrii czasoprzestrzeń Minkowskiego jest 4-wymiarową przestrzenią pseudoeuklidesową, w której nie są spełnione prawa geometrii euklidesowej.

Powstały stąd formalizm matematyczny umożliwia zapis równań szczególnej teorii względności Einsteina w sposób jawnie relatywistycznie niezmienniczy, niezależny od wyboru inercjalnego układu współrzędnych (dokładniej omówiono to niżej).

Nazwę czasoprzestrzeni nadano na cześć niemieckiego matematyka Hermanna Minkowskiego, który opisał ją w 1907.

Definicja iloczynu pseudoskalarnego

Niech:

(1) ${\displaystyle V}$ jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} .}$

(2) ${\displaystyle f\colon V\times V\to \mathbb {K} }$ jest funkcjonałem na ${\displaystyle V,}$ takim że dowolnym wektorom ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}$ przyporządkowuje liczbę ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\equiv \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle \in \mathbb {K} .}$

Definicja:

Funkcję ${\displaystyle f\colon V\times V\to \mathbb {K} }$ nazywa się iloczynem pseudoskalarnym, jeżeli dla dowolnych wektorów ${\displaystyle \mathbf {x} ,\,\mathbf {y} }$ spełnia następujące warunki:

• warunek symetrii

  ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {y} ,\,\mathbf {x} \rangle ,}$

• warunek liniowości ze względu na pierwszą i drugą zmienną, tj.

  ${\displaystyle \langle \alpha \mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {w} \rangle =\alpha \langle \mathbf {x} ,\mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {w} \rangle ,}$ gdzie ${\displaystyle \alpha }$ – dowolna liczba rzeczywista,

• warunek nieosobliwości

  jeśli ${\displaystyle \forall _{y\in V}}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0,}$ to ${\displaystyle \mathbf {x} =0.}$

Warunek 3. jest osłabieniem warunku dodatniej określoności

• warunek dodatniej określoności, tj.

${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle \geqslant 0.}$

(Funkcjonał dodatnio określony, spełniający warunki 1 i 2, jest standardowym iloczynem skalarnym, wprowadzanym w przestrzeni Euklidesa).

Definicja czasoprzestrzeni

Czasoprzestrzenią Minkowskiego nazywa się parę ${\displaystyle (V,\eta _{\mu \nu })}$ złożoną z przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ nad ciałem liczb rzeczywistych (można przyjąć ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{4}}$), w której zdefiniowany jest iloczyn pseudoskalarny wektorów za pomocą tensora Minkowskiego ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ – jest to tensor metryczny określony jest przez macierz:

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},}$

taki że:

${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\,\mathbf {y} \rangle =\sum _{\mu ,\nu =0}^{3}\eta _{\mu \nu }x^{\mu }y^{\nu },}$

czyli

${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\,\mathbf {y} \rangle =x^{0}y^{0}-x^{1}y^{1}-x^{2}y^{2}-x^{3}y^{3},}$

gdzie:

${\displaystyle \mathbf {x} =[x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}],}$

${\displaystyle \mathbf {y} =[y^{0},y^{1},y^{2},y^{3}],}$

przy czym punktami czasoprzestrzeni fizycznej ${\displaystyle V}$ są tzw. zdarzenia czasoprzestrzenne, które tworzą 4 liczby: czas zajścia zdarzenia i 3 współrzędne miejsca zajścia zdarzenia.

Uwagi:

1) Tensor powyżej zdefiniowany ma sygnaturę ${\displaystyle (+,---).}$

2) Alternatywnie niektórzy definiują tensor ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ z przeciwnymi znakami, czyli o sygnaturze ${\displaystyle (-,+++).}$

(Tensor ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ jest równocześnie macierzą Grama tej przestrzeni).

Znaczenie iloczynu pseudoskalarnego

Iloczyn pseudoskalarny pozwala zdefiniować pseudonormę wektorów (miarę długości wektorów) oraz pseudometrykę (miarę odległości wektorów w przestrzeni). W ten sposób iloczyn skalarny pozwala zdefiniować wszystkie wielkości geometryczne w czasoprzestrzeni, jak np. długości krzywych, kąty między nimi, pola powierzchni, objętości; dalej – pozwala to definiować operacje na polach wektorowych i ogólnie tensorowych (por. tensor energii-pędu, tensor pola elektromagnetycznego itp.), które są obecne w czasoprzestrzeni.

Długość 4-wektora. Niezmiennik

Iloczyn pseudoskalarny pozwala zdefiniować kwadrat długości wektora:

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|^{2}:=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }$^{[uwaga 1]}.

W ten sposób czasoprzestrzeń staje się przestrzenią pseudounitarną.

Niezmiennikiem geometrii nie jest odległość punktów w przestrzeni, ale interwał czasoprzestrzenny: jest to wielkość, która jest niezmiennicza ze względu na transformacje Poincarégo, tzn. nie zmienia się, przy przejściu do innego układu współrzędnych.

Współrzędne w czasoprzestrzeni

W czasoprzestrzeni ${\displaystyle V}$ wprowadza się układ współrzędnych ortogonalnych.

Wektory w czasoprzestrzeni nazywa się czterowektorami.

Punkt ${\displaystyle P}$ czasoprzestrzeni utożsamia się z 4-wektorem o czterech współrzędnych ${\displaystyle \mathbf {x} =[x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}].}$ W skrócie 4-wektor zapisuje się w postaci ${\displaystyle x^{\mu },}$ gdzie domyślnie ${\displaystyle \mu =0,1,2,3.}$

${\displaystyle \mathbf {x} =x^{\mu }\mathbf {e} _{\mu },}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {e} _{\mu }}$ są czterema liniowo niezależnymi wektorami jednostkowymi. Powtarzający się wskaźnik oznacza sumowanie po nim od 0 do 3 (tzw. umowa sumacyjna Einsteina).

(6) Kwadrat długości dowolnego wektora jest wyrażony wzorem

${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|^{2}=\langle x^{\mu }\mathbf {e} _{\mu },x^{\nu }\mathbf {e} _{\nu }\rangle =\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu },}$

gdzie ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ jest tensorem metrycznym zdefiniowanym przez wszystkie formy (iloczyny pseudoskalarne) dla wektorów jednostkowych

${\displaystyle \mathrm {\eta } _{\mu \nu }=\langle \mathbf {e} _{\mu },\mathbf {e} _{\nu }\rangle .}$

(7) Odległość między dwoma punktami o współrzędnych ${\displaystyle (\mathbf {x} +d\mathbf {x} )^{\mu }}$ i ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mu }}$ określa interwał czasoprzestrzenny, którego kwadrat wynosi

${\displaystyle d\mathbf {s} ^{2}=\mathrm {\eta } _{\mu \nu }d\mathbf {x} ^{\mu }d\mathbf {x} ^{\nu }.}$

(8) W jawnej postaci kwadrat długości wektora ${\displaystyle \mathbf {x} }$ to

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|^{2}=(x^{0})^{2}-(x^{1})^{2}-(x^{2})^{2}-(x^{3})^{2}.}$

(9) Wektor ${\displaystyle \mathbf {x} }$ nazywa się:

• czasopodobnym, jeżeli ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|^{2}>0,}$
• przestrzennopodobnym, jeżeli ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|^{2}<0,}$
• światłopodobnym lub zerowym, jeżeli ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|^{2}=0.}$

(10) W przestrzeni tej może istnieć więcej niż jeden wektor zerowy. Zbiór wektorów zerowych tworzy stożek świetlny: jest to zbiór punktów czasoprzestrzeni, które można połączyć promieniem świetlnym, ${\displaystyle \mathbf {x} ^{0}=ct,}$ gdzie ${\displaystyle c}$ jest prędkością światła w próżni, poprzez nadanie warunku, iż wartość interwału czasoprzestrzennego wynosi zero (mimo że w przestrzeni trójwymiarowej dzieli je pewna odległość). Widoczność obiektu oznacza, że znajduje się on we wnętrzu stożka świetlnego obserwatora.

Grupa transformacji Poincarégo

(1) Żąda się, aby odległość punktów w czasoprzestrzeni była niezmiennicza względem transformacji Poincarégo danej wzorem

${\displaystyle x^{\mu }\mapsto {x'}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }x^{\nu }+a^{\mu },}$

przy czym w skład transformacji wchodzą:

a) obroty w czasoprzestrzeni, dane za pomocą macierzy obrotu ${\displaystyle \Lambda ,}$ takie że

${\displaystyle x^{\mu }\to {x'}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }x^{\nu }.}$

Zachowanie odległości między punktami w czasoprzestrzeni przy wykonywaniu transformacji Lorentza narzuca warunki

${\displaystyle \mathrm {g} _{\mu \nu }\Lambda _{\rho }^{\mu }\Lambda _{\tau }^{\nu }=\mathrm {g} _{\rho \tau }.}$

Stąd można znaleźć postać transformacji Lorentza współrzędnych czasu i przestrzeni, zadanych macierzą ${\displaystyle \Lambda .}$

b) translacje w przestrzeni, zadane za pomocą wektora przesunięcia ${\displaystyle \mathbf {a} ,}$ takie że

${\displaystyle x^{\mu }\to {x'}^{\mu }=x^{\mu }+a^{\mu }.}$

(2) Zbiór transformacji parametryzowany za pomocą macierzy ${\displaystyle \Lambda }$ i wektora translacji ${\displaystyle \mathbf {a} }$ tworzy grupę Poincarégo. Transformacje Lorentza tworzą grupę Lorentza, która jest podgrupą grupy Poincarégo. Podobnie translacje tworzą osobną podgrupę. Wszystkie transformacje są ciągłe (tzn. wyrażają się za pomocą parametrów, które należą do zbioru liczb rzeczywistych; np. obrót, translacja wyraża się dowolnymi liczbami rzeczywistymi) i tworzą razem grupę Liego.

Grupa translacji parametryzowana jest przez cztery parametry rzeczywiste, a grupa Lorentza przez sześć. Symetrie te zgodnie z twierdzeniem Noether prowadzą do odpowiednich praw zachowania układu izolowanego: zachowania czterowektora całkowitego pędu-energii i czterowektora całkowitego momentu pędu.

Co oznacza jawna niezmienniczość równań?

Formalizm matematyczny czasoprzestrzeni umożliwia zapis równań szczególnej teorii względności Einsteina w sposób jawnie relatywistycznie niezmienniczy. Jawność ta wyraża się w tym, że wszystkie wielkości występujące w równaniach maja postać obiektów geometrycznych przestrzeni 4-wymiarowej, tj. są to albo skalary (liczby) albo czterowektory (czyli tensory rzędu 1-go) albo tensory wyższego rzędu, zdefiniowane na przestrzeni 4-wymiarowej.

Jeżeli zapisze się równania np. Maxwella za pomocą tensora pola elektromagnetycznego, to równania te poddane transformacjom z grupy Lorentza (i ogólniej – grupy Poincarégo) przyjmą nową postać, w której pojawią się współrzędne tensorów w nowym układzie współrzędnych. Jednak związki między współrzędnymi będą wyrażały się dokładnie takimi samymi wyrażeniami algebraicznymi, jak pierwotnie. Oznacza to, że nie trzeba już sprawdzać, czy równanie jest niezmiennicze ze względu na te transformacje, jeśli jest zapisane za pomocą tensorów przestrzeni 4-wymiarowej. Taką postać równań nazywa się jawnie niezmienniczą. Oczywiście najpierw dowodzi się, że dany zespół wielkości jest tensorem.

Krzywa w przestrzeni n-wymiarowej

Zestawimy najpierw podstawowe wiadomości o krzywych w dowolnych przestrzeniach n-wymiarowych.

Krzywa w czasoprzestrzeni

Czterowektor pędu

(1) Czterowektor pędu ${\displaystyle p^{\mu }=(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3})=(p^{0},\mathbf {p} )}$ ciała definiuje się jako iloczyn masy i 4-prędkości ciała

${\displaystyle p^{\mu }=mu^{\mu },}$

gdzie ${\displaystyle m}$ – masa ciała (nie całkiem poprawnie zwana tzw. masą spoczynkową), oraz

${\displaystyle u^{\mu }={\Bigg (}\gamma ,\gamma {\frac {\mathbf {v} }{c}}{\Bigg )}.}$

(2) Część przestrzenna 4-wektora pędu ma postać

${\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \,{\frac {\mathbf {v} }{c}},}$

przy czym ${\displaystyle \gamma =\gamma (\mathbf {v} ).}$

(3) Jeżeli wprowadzi się tzw. masą relatywistyczną

${\displaystyle m(\mathbf {v} )=m\,\gamma (\mathbf {v} ).}$

to wyrażenie na wektor pędu przyjmie postać analogiczną jak fizyce nierelatywistycznej (z dokładnością do stałej ${\displaystyle c}$), tj.

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m(\mathbf {v} )\,\mathbf {v} }{c}}.}$

(4) Składowa czasowa 4-wektora pędu wynosi

${\displaystyle p^{0}=mu^{0}=m\,\gamma (\mathbf {v} ),}$

stąd mamy:

${\displaystyle E=m\,\gamma (\mathbf {v} )c^{2}=p^{0}c^{2}}$

– energia całkowita ciała poruszającego się swobodnie (tj. bez oddziaływania z innymi ciałami, polami).

(4) Współrzędne kowariantne czterowektora pędu mają postać:

${\displaystyle (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3})=(p^{0},-p^{1},-p^{2},-p^{3})=(p^{0},-\mathbf {p} ).}$

(5) Długość wektora 4-pędu

${\displaystyle \|p\|={\sqrt {p^{\mu }p_{\mu }}}={\sqrt {(p^{0})^{2}-(\mathbf {p} )^{2}}}=m.}$

widać, że długość 4-pędu ma wymiar masy; jest to wielkość skalarna, identyczna wszystkich układach odniesienia.

(5) Stąd otrzymujemy związek

${\displaystyle p^{0}={\frac {E}{c^{2}}}={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}.}$

Uwaga: Nie należy mylić składowych 4-wektora pędu ${\displaystyle (p^{0},\mathbf {p} )}$ ze „zwykłym” wektorem pędu ${\displaystyle {\vec {p}}=\mathbf {p} c.}$ Podstawiając tę zależność do ostatniego wzoru, otrzyma się znany wzór

${\displaystyle E={\sqrt {{\vec {p}}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}.}$

Czas własny jako parametr niezmienniczy

(1) Krzywą, wzdłuż której porusza się ciało w czasoprzestrzeni Minkowskiego, można sparametryzować za pomocą parametru ${\displaystyle \tau }$ zwanego czasem własnym, który wiąże się z interwałem prostą zależnością

${\displaystyle cd\tau =ds.}$

Parametr ${\displaystyle \tau }$ jest czasem mierzonym za pomocą zegara, który porusza się wraz z ciałem.

Krzywą opisują wtedy równania

${\displaystyle x^{\mu }(\tau ),\quad \mu =0,1,2,3,}$

lub

${\displaystyle x^{\mu }(\tau )=(ct(\tau ),x^{1}(\tau ),x^{2}(\tau ),x^{3}(\tau )).}$

(2) Jeżeli w pewnym układzie ciało ma w chwili ${\displaystyle t}$ prędkość ${\displaystyle \mathbf {v} }$ oraz współrzędne opisane zależnością od czasu

${\displaystyle x^{\mu }(t)=(ct,x^{1}(t),x^{2}(t),x^{3}(t)),}$

to różniczkowy przyrost czasu ${\displaystyle \tau }$ wiąże się z różniczkowym przyrostem czasu ${\displaystyle t}$ wzorem:

${\displaystyle d\tau =dt{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {v} ^{2}}{c^{2}}}}}.}$

(3) Niektórzy definiują 4-prędkość jako pochodną 4-wektora położenia względem czasu własnego (zamiast względem interwału s); wtedy mamy:

${\displaystyle u^{\mu }:={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}=\left({\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {v} ^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {v} ^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {dx^{i}}{dt}}\right).}$

Wzór ten różni się od poprzedniej definicji współczynnikiem ${\displaystyle c.}$

Historia

Minkowski wprowadził pojęcie czasoprzestrzeni, którego używał w swoim opisie Einstein. Przyjął, że osie układu współrzędnych będą oznaczane symbolami ${\displaystyle x^{i},}$ gdzie ${\displaystyle i=0,1,2,3,}$

${\displaystyle x^{0}=ict,}$ ${\displaystyle x^{1}=x,}$ ${\displaystyle x^{2}=y,}$ ${\displaystyle x^{3}=z,}$

gdzie ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}.}$

Wtedy interwał czasoprzestrzenny przyjmował formalnie wyrażenie analogiczne do wyrażenia na odległość w trójwymiarowej przestrzeni:

${\displaystyle ds^{2}=(dx^{0})^{2}+(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}+(dx^{3})^{2}.}$

Przestrzeń Minkowskiego nie staje się jednak przez to przestrzenią rzeczywistą 4-wymiarową, bo współrzędna odpowiadająca czasowi jest wielkością urojoną. Zespolona współrzędna czasowa powoduje, że metryka czasoprzestrzeni jest pseudoeuklidesowa.

Zobacz też

• grupa Lorentza
• grupa Poincarégo
• przestrzeń metryczna
• przestrzeń pseudoriemannowska
• przestrzeń riemannowska
• przestrzeń unormowana

Inne:

• czterowektor
• wektor normalny
• wektor styczny

Uwagi

Bibliografia

• Grzegorz Białkowski, Mechanika klasyczna, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975.
• L.D. Landau, E.M. Lifszyc: Teoria pola. Warszawa: PWN, 2009.