Podstawy teoretyczne eksperymentu

Ścieżka światła w doświadczeniu Kennedy’ego-Thorndike’e, przeprowadzonego z użyciem ramion prostopadłych.

Chociaż skrócenie Lorentza-FitzGeralda jest wystarczające od interpretacji wyników doświadczenia Michelsona-Morleya, nie wystarcza jednak, aby wytłumaczyć wynik eksperymentu Kennedy’ego-Thorndike’a. Skrócenie Lorentza-FitzGeralda dane jest wzorem:

${\displaystyle L=L_{0}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}=L_{0}/{\gamma (v)}}$

gdzie:

${\displaystyle L_{0}}$ – długość właściwa (długością obiektu w układzie spoczywającym)

${\displaystyle L}$ – długość obserwowana przez obserwatora poruszającego się względem obiektu

${\displaystyle v}$ – prędkość względna pomiędzy obiektem a obserwatorem, czyli pomiędzy hipotetycznym eterem a poruszającym się obiektem

${\displaystyle c}$ – prędkość światła w próżni

czynnik Lorentza dany jest jako ${\displaystyle \gamma (v)\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}$

Ilustracja 2 pokazuje interferometr Kennedy’ego-Thorndike’a o prostopadłych ramionach oraz zakłada prawdziwość skrócenia Lorentza^{[uwaga 1]}. Jeżeli urządzenie jest nieruchome względem hipotetycznego eteru, różnica w czasie przelotu obu promieni wzdłuż ramion dana jest przez:

${\displaystyle T_{L}-T_{T}={\frac {2(L_{L}-L_{T})}{c}}}$

Czas, jaki zajmuje światłu przelot w tę i z powrotem wzdłuż skróconego lorentzowsko ramienia, wynosi:

${\displaystyle T_{L}=T_{1}+T_{2}={\frac {L_{L}/\gamma (v)}{c-v}}+{\frac {L_{L}/\gamma (v)}{c+v}}={\frac {2L_{L}/\gamma (v)}{c}}{\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}={\frac {2L_{L}\gamma (v)}{c}}}$

gdzie:

${\displaystyle T_{1}}$ – czas w kierunku ruchu

${\displaystyle T_{2}}$ – w przeciwnym kierunku

${\displaystyle v}$ – komponent ruchu względem eteru światłonośnego

${\displaystyle c}$ – prędkość światła w próżni

${\displaystyle L_{L}}$ – długość podłużnego ramienia interferometru.

Czas przelotu światła wzdłuż prostopadłego ramienia wynosi:

${\displaystyle T_{T}={\frac {2L_{T}}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={\frac {2L_{T}}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {2L_{T}\gamma (v)}{c}}.}$

Różnica wynosi więc:

${\displaystyle T_{L}-T_{T}={\frac {2(L_{L}-L_{T})\gamma (v)}{c}}}$

Ponieważ ${\displaystyle \Delta L=c(T_{L}-T_{T}),}$ dane są następujące (${\displaystyle \Delta L_{A}}$ jest początkową różnicą długości, a ${\displaystyle v_{A}}$ początkową prędkością urządzenia, zaś ${\displaystyle \Delta L_{B}}$ i ${\displaystyle v_{B}}$ są odpowiednimi wielkościami po obrocie lub zmianie prędkości Ziemi na skutek obrotu wokół osi lub też obrotu wokół Słońca)^[3]:

${\displaystyle \Delta L_{A}={\frac {2\left(L_{L}-L_{T}\right)}{\sqrt {1-v_{A}^{2}/c^{2}}}},\qquad \Delta L_{B}={\frac {2\left(L_{L}-L_{T}\right)}{\sqrt {1-v_{B}^{2}/c^{2}}}}.}$

Aby otrzymać ujemny wynik doświadczenia, zmiana długości powinna równać się zero ${\displaystyle (\Delta L_{A}-\Delta L_{B}=0).}$ Niemniej jednak widać, że oba wyrażenia znoszą się tylko wtedy, gdy prędkości są takie same. Eksperyment Michelsona-Morleya jest niewrażliwy na zmiany prędkości, gdyż różnica między ${\displaystyle L_{L}}$ a ${\displaystyle L_{T}}$ jest zerowa. Zatem eksperyment Michelsona-Morleya testuje jedynie prędkość światła w zależności od orientacji urządzenia. Ponieważ w eksperymencie Kennedy’ego-Thorndike’a długości ${\displaystyle L_{L}}$ i ${\displaystyle L_{T}}$ są różne, można zmierzyć również zależność prędkości światła od prędkości urządzenia^[2].

Zgodnie z poprzednim wyrażeniem różnica w długości tras ${\displaystyle \Delta L_{A}-\Delta L_{B},}$ a w konsekwencji spodziewane przesunięcie prążków interferencyjnych ${\displaystyle \Delta N,}$ dane jest przez (${\displaystyle \lambda }$ jest długością fali):

${\displaystyle \Delta N={\frac {\Delta L_{A}-\Delta L_{B}}{\lambda }}={\frac {2\left(L_{L}-L_{T}\right)}{\lambda }}\left({\frac {1}{\sqrt {1-v_{A}^{2}/c^{2}}}}-{\frac {1}{\sqrt {1-v_{B}^{2}/c^{2}}}}\right).}$

Rozwijając w szereg i zaniedbując wartości o rzędzie wyższym od 2:

${\displaystyle \approx {\frac {L_{L}-L_{T}}{\lambda }}\left({\frac {v_{A}^{2}-v_{B}^{2}}{c^{2}}}\right).}$

Dla stałego ${\displaystyle \Delta N,}$ czyli dla przesunięcia prążków niezależnego od orientacji oraz prędkości urządzenia, konieczna jest modyfikacja częstotliwości, a więc i długości fali ${\displaystyle \lambda ,}$ o czynnik Lorentza. To jest właśnie miejsce, gdzie wchodzi w grę wpływ dylatacji czasu na częstotliwość. Zatem do wyjaśnienia ujemnego wyniku eksperymentu Kennedy’ego-Thorndike’a, potrzebne jest zarówno skrócenie długości, jak i dylatacja czasu.

Istotność dla teorii względności

W 1905 roku Henri Poincaré oraz Albert Einstein wykazali, że transformacja Lorentza musi tworzyć grupę, aby spełnić zasadę względności. Wymaga to istnienia zarówno skrócenia długości, jak i dylatacji czasu. Kennedy i Thorndike argumentowali, że teraz mogą wyprowadzić pełną transformację Lorentza wyłącznie na podstawie danych doświadczalnych. Jednak nie jest to do końca prawda, jako że skrócenie długości i dylatacja czasu są wystarczające, ale nie niezbędne, do wyjaśnienia wyników obu eksperymentów. W rzeczywistości ujemny wynik wymaga odpowiedniego stosunku długości pomiędzy poprzecznym a podłużnym ramieniem, odpowiadającemu czynnikowi Lorentza – co obejmuje nieskończenie wiele kombinacji długości. W eksperymencie Kennedy’ego-Thorndike’a dotyczy to również dylatacji czasu, gdyż jej wyliczenie jest zależne od stopnia skrócenia długości. Dlatego w celu wyprowadzenia pełnej transformacji Lorentza, potrzebny jest jeszcze trzeci eksperyment, jakim jest doświadczenie Ivesa-Stillwella^[2].