Równoważność masy i energii – koncepcja, według której masa (bezwładna) obiektu lub układu jest miarą zawartej w nim energii. Koncepcja ta wywodzi się ze szczególnej teorii względności^[1], przy czym idea ta oznacza faktycznie dwa^[2][3][4]  odmienne pojęcia.

• Równoważność masy spoczynkowej i energii spoczynkowej.

Każdej niezerowej masie spoczynkowej odpowiada „ukryta” energia (spoczynkowa).

• Równoważność masy relatywistycznej i energii całkowitej.

Każdej energii (spoczynkowej, kinetycznej, potencjalnej) odpowiada pewna „masa”, w szczególności energii całkowitej obiektu (układu) fizycznego odpowiada masa relatywistyczna.

Równoważność masy spoczynkowej i energii spoczynkowej

Pewne obiekty fizyczne (tzw. ciała fizyczne) i układy fizyczne (niekoniecznie złożone z ciał fizycznych np. chmura fotonów^{[uwaga 1]}), o niezerowej masie spoczynkowej, mają niezerową tzw. energię spoczynkową. Energia spoczynkowa stanowi część ich energii, obok energii kinetycznej, związanej z ruchem obiektu (układu) jako całości (tzn. traktowanego jako punkt materialny położony w środku masy układu) i energii potencjalnej, związanej z jego oddziaływaniem z innymi obiektami (układami). Energia spoczynkowa pozostaje niezerową (w przeciwieństwie do energii kinetycznej obiektu (układu) jako całości) w spoczynku, czyli w układzie odniesienia, w którym środek masy danego obiektu (układu) fizycznego spoczywa, tzn. pęd obiektu (układu) jest zerowy (tzw. układ środka masy lub środka pędu)^{[uwaga 2]}. Pozostaje też niezerową (w przeciwieństwie do energii potencjalnej oddziaływań z innymi obiektami) w odosobnieniu, czyli przy braku takich oddziaływań.

Masa spoczynkowa i energia spoczynkowa są różnymi wielkościami fizycznymi^[5][6][7].

Masa spoczynkowa to wartość bezwzględna (długość wektora) czteropędu obiektu (układu) fizycznego, pozostająca stałą we wszystkich układach odniesienia, nie tylko w spoczynku – niezmiennik relatywistyczny.

Energia spoczynkowa to energia obiektu (układu) fizycznego odosobnionego – składowa czasowa jego czteropędu – mierzona w szczególnym układzie odniesienia, związanym z obiektem (układem) – układzie jego środka masy (układzie spoczynkowym, układzie własnym).

Jedynie w układzie środka masy, energia obiektu (układu) fizycznego odosobnionego jest równa jego masie spoczynkowej (z dokładnością do czynnika, czyli ze współczynnikiem proporcjonalności ${\displaystyle c^{2}}$)^{[uwaga 3]}.

Stwierdzenie istnienia niezerowej energii spoczynkowej (tzn. energii w układzie własnym) obiektu (układu) odosobnionego (swobodnego) i jej równości z masą spoczynkową było istotnym odkryciem naukowym.

Wielkości te związane są wzorem:

${\displaystyle E_{0}=m_{0}c^{2},}$

gdzie:

${\displaystyle E_{0}}$ – energia spoczynkowa,

${\displaystyle c}$ – prędkość światła w próżni (w tej koncepcji nawet przyjęcie układu jednostek miar, w którym ${\displaystyle c}$ równa się 1 (np. układ Plancka), nie czyniłoby masy spoczynkowej i energii spoczynkowej tą samą wielkością fizyczną, ${\displaystyle c}$ jest tylko współczynnikiem),

${\displaystyle m_{0}}$ – masa spoczynkowa.

Zwolennicy poglądu, że jedyną wielkością fizyczną, „dziedziczącą” w szczególnej teorii względności rolę masy newtonowskiej jest masa spoczynkowa, nazywają ją po prostu „masą”, oznaczają ${\displaystyle m}$ i piszą ${\displaystyle E_{0}=mc^{2}.}$ Według tej koncepcji nazwa „masa” (bez przymiotnika) powinna być związana z niezmiennikiem relatywistycznym, nawet jeśli (w przeciwieństwie do poglądu Newtona) wielkość tak nazwana nie jest addytywna, i nie jest współczynnikiem proporcjonalności między prędkością i pędem (${\displaystyle p}$ nie równa się ${\displaystyle m_{0}v}$)^{[8][9][10][11]}.

Energia obiektu (układu) fizycznego, o niezerowej masie spoczynkowej (ciała fizycznego), odosobnionego (swobodnego), mierzona w innym niż spoczynkowy układzie odniesienia, związana jest z energią spoczynkową wzorem ${\displaystyle E=E_{0}\gamma ,}$ gdzie ${\displaystyle \gamma }$ – czynnik Lorentza. Jest zawsze większa od energii spoczynkowej, więc też większa od masy spoczynkowej; zwiększenie prędkości względem układu odniesienia zwiększa energię; przy prędkości dążącej do prędkości światła w próżni, energia obiektu fizycznego o niezerowej masie spoczynkowej dąży do nieskończoności^{[uwaga 4]}.

Istnieją obiekty fizyczne (np. fotony), poruszające się względem każdego układu odniesienia z prędkością ${\displaystyle c}$ (w próżni), o zerowej masie spoczynkowej i energii spoczynkowej^{[uwaga 5]}, lecz niezerowej, skończonej i stałej energii całkowitej (cała ich energia jest energią kinetyczną)^{[uwaga 6]}.

Równoważność masy relatywistycznej i energii całkowitej

Wszystkie obiekty (układy) fizyczne, o niezerowej energii całkowitej (czyli w ogóle wszystkie, gdyż nie istnieją obiekty fizyczne o zerowej energii), w tym także obiekty (układy) o zerowej masie spoczynkowej np. fotony, mają niezerową tzw. masę relatywistyczną.

Masa relatywistyczna i energia całkowita obiektu (układu) fizycznego są tą samą wielkością fizyczną^{[8][9][10][11]}.

Zarówno masa relatywistyczna, jak i energia całkowita obiektu (układu) fizycznego to składowa czasowa jego czteropędu, która nie jest niezmiennikiem relatywistycznym.

W każdym układzie odniesienia wielkości te są sobie tożsamościowo równe (z dokładnością do czynnika, czyli ze współczynnikiem proporcjonalności ${\displaystyle c^{2}}$), choć wartość ich zmienia się przy zmianie tego układu^{[uwaga 9]}.

Stwierdzenie równości energii całkowitej obiektu (układu) fizycznego i jego masy relatywistycznej to konwencja terminologiczna (mogąca być przyczyną nieporozumień, wynikłych z nazwania jednej wielkości fizycznej dwiema nazwami).

Wielkości te związane są wzorem:

${\displaystyle E=m_{r}c^{2}}$

gdzie:

${\displaystyle E}$ – energia całkowita,

${\displaystyle c}$ – prędkość światła w próżni (W tej koncepcji nawet przyjęcie układu jednostek miar, w którym ${\displaystyle c}$ nie równa się 1 (np. układ SI), nie czyni masy relatywistycznej i energii całkowitej różnymi wielkościami, ${\displaystyle c}$ jest tylko współczynnikiem.),

${\displaystyle m_{r}}$ – masa relatywistyczna.

Zwolennicy poglądu, że jedyną wielkością fizyczną, „dziedziczącą” w szczególnej teorii względności rolę masy newtonowskiej, jest masa relatywistyczna, nazywają ją po prostu „masą”, oznaczają ${\displaystyle m}$ i piszą ${\displaystyle E=mc^{2}.}$ Według tej koncepcji nazwa „masa” (bez przymiotnika) powinna być związana z wielkością addytywną, współczynnikiem proporcjonalności między prędkością i pędem (${\displaystyle p}$ równa się ${\displaystyle m_{r}v}$), nawet jeśli (w przeciwieństwie do poglądu Newtona) wielkość tak nazwana nie jest niezmiennikiem relatywistycznym^{[14][15][16][17]}.

Nazewnictwo

Równanie równoważności masy i energii – notatka Einsteina (1912)

Równanie ${\displaystyle E=mc^{2}}$ bywa określane jako „wzór Einsteina”^[18], który został sformułowany w roku 1905. Jednak równanie to nie było owocem jednej pracy. W roku 1905, w pracy „Czy bezwładność ciała zależy od zawartej w nim energii?” Einstein używał symbolu ${\displaystyle V}$ dla oznaczenia prędkości światła w próżni i symbolu ${\displaystyle L}$ dla oznaczenia energii traconej przez ciało w formie promieniowania. Wobec tego, zasada równoważności masy i energii nie została początkowo zapisana jako równanie ${\displaystyle E=mc^{2},}$ ale jako zdanie w języku niemieckim, które znaczyło „jeśli ciało oddaje energię ${\displaystyle L}$ w formie promieniowania, to jego masa zmniejsza się o ${\displaystyle L/V^{2}}$”^[19].

Ponad ostatnim równaniem w tej pracy Einstein umieścił uwagę o jednej z przyczyn, dla których jego zdaniem zasada równoważności miała charakter przybliżony, wskazując na konieczność odrzucenia wyrazów czwartego rzędu i wyższych rozwinięcia pierwiastka w szereg^[20]. W roku 1907, einsteinowska zasada równoważności masy i energii została zapisana jako ${\displaystyle M_{0}=E_{0}/c^{2}}$ przez Maxa Plancka^[21]. Następnie, w tym samym roku Johannes Stark podał interpretację kwantową zasady równoważności masy i energii^[22], zakładając jej poprawność i ważność (Gültigkeit) do realizacji celu, który sobie wyznaczył. Celem tym było obliczenie minimalnej ilości energii zawartej w elektronie w stanie spoczynku. Stark zapisał jednak swoje równanie jako ${\displaystyle e_{0}=m_{0}c^{2},}$ co wciąż różniło się obecnie najbardziej popularnej wersji równania.

W roku 1912 Einstein dostał zamówienie na tekst, który miał wejść w skład książki jako kilka rozdziałów poświęconych teorii względności. Einstein napisał 72 strony rękopisu, który jest najstarszym zachowanym rękopisem teorii względności. Na skutek wybuchu I wojny światowej książka nigdy nie została wydana. W rękopisie tego nieopublikowanego tekstu Einstein przekreślił symbol lagranżjanu L, zastępując go literą E.

W roku 1924, Louis de Broglie założył poprawność wyrażenia „énergie=masse ${\displaystyle c^{2}}$”, które umieścił na stronie 31 swojej pracy Recherches sur la théorie des quanta (opublikowanej w roku 1925), ale on również nie napisał ${\displaystyle E=mc^{2}.}$ Jednak Albert Einstein powrócił do tematu po drugiej wojnie światowej i tym razem napisał ${\displaystyle E=mc^{2}}$ w tytule swojego artykułu^[23], którego celem było wyjaśnienie i uświadomienie problemu przez analogię, w sposób zrozumiały dla czytelnika niebędącego specjalistą^[24]. Tytuł artykułu w wersji opublikowanej w języku angielskim w „Science Illustrated” powstał z wzoru ${\displaystyle E=mc^{2},}$ który Einstein umieścił w tytule oryginału i z tłumaczenia ostatnich słów tekstu najbardziej naglący (najpilniejszy) problem naszych czasów^[25].

Historia

Chociaż Albert Einstein był pierwszym, który wydedukował sformułowanie równoważności masy i energii w formie uważanej dzisiaj za poprawną, nie był on pierwszym, który powiązał masę z energią. Niemniej jednak niemal wszyscy poprzedzający go autorzy uważali, że energia wchodząca w skład masy ma postać pola elektromagnetycznego^{[26][27][28][29]}.

Wyprowadzenie wzoru

Pierwszego wyprowadzenia wzoru ${\displaystyle E=mc^{2}}$ Einstein dokonał w 1905 roku w oparciu o emisję płaskich fal świetlnych o energii ${\displaystyle {\frac {L}{2}}}$ przez ciało w dwóch przeciwnych kierunkach w dwóch układach współrzędnych ${\displaystyle (x,y,z)}$ i ${\displaystyle (\xi ,\eta ,\zeta )}$^[44].

Później pojawiły kolejne wyprowadzenia tego wzoru^[45]:

• obliczenie pracy prowadzące do energii kinetycznej (1905)
• emisja dwóch fotonów widziana w dwóch układach odniesienia (efekt Dopplera) (1905)
• emisja i absorpcja jednego fotonu (1906)
• czwarta składowa czterowektora pędu (1935)

Wzór ${\displaystyle E=mc^{2}}$ został wyprowadzony już eksperymentalnie przez Lebiediewa (1900), a potwierdzony z dużą dokładnością przez Nicholsa i Hulla (1901) na podstawie twierdzenia Poytinga (1884) – jednak wtedy nie znano teorii względności i mechaniki kwantowej – jest więc to twierdzenie wyprowadzone na gruncie fizyki klasycznej^[46].

Poniżej zaprezentowano inny przykład wyprowadzenia tego wzoru opierającego się na fizyce klasycznej (ściślej – na II zasadzenie dynamiki Newtona)^[47]:

${\displaystyle F={\frac {dp}{dt}}={\frac {d(mv)}{dt}}.}$

Gdy prędkość ciała jest bliska prędkości światła, masa nie jest stała:

${\displaystyle F=v{\frac {dm}{dt}}+m{\frac {dv}{dt}}.}$

Mnożąc obydwie strony przez ${\displaystyle ds{:}}$

${\displaystyle Fds=vdm{\frac {ds}{dt}}+mv{\frac {ds}{dt}}=v^{2}dm+mvdv.}$

Różniczkując wzór na masę relatywistyczną:

${\displaystyle m(v)=v{\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}$

${\displaystyle {\frac {dm(v)}{dv}}=v{\frac {mv}{c^{2}-v^{2}}},}$

${\displaystyle dm=v{\frac {mv}{c^{2}-v^{2}}}dv,}$

otrzymujemy:

${\displaystyle E=Fds=dm(c^{2}-v^{2})+v^{2}dm=c^{2}dm=d(mc^{2}).}$

Konsekwencje

Przejawem tej równoważności jest tzw. deficyt masy (niedobór masy) pojawiający się zawsze, gdy układ oddaje energię; widoczny szczególnie, gdy zmiany energii przypadające na jednostkę masy są duże, np. w:

• w reakcjach jądrowych:
  • w reakcji fuzji (syntezy jądrowej),
  • w reakcji rozszczepienia jądra atomowego,
• w różnicy pomiędzy masą jądra atomowego a sumą mas nukleonów

wchodzących w jego skład (energia wiązania jądra atomowego).

Wszystkie procesy fizyczne oddające energię tracą masę, np.:

• reakcja termojądrowa – źródło energii gwiazd,
• rozszczepienie jąder atomowych – źródło energii w elektrowniach atomowych i bombach atomowych,
• rozpady promieniotwórcze – jedno ze źródeł energii ogrzewającej ziemię (od wewnątrz),
• kreacja par – źródło materii we wszechświecie,
• anihilacja,
• promieniowanie elektromagnetyczne (cieplne i widzialne) Słońca.

Słońce oddając energię w postaci promieniowania elektromagnetycznego traci masę w tempie: ${\displaystyle m=L/c^{2}=4\cdot 10^{9}\ \mathrm {kg/s} .}$

Zobacz też

• zasada zachowania energii
• zasada zachowania masy

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

Książki

• R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands: Feynmana wykłady z fizyki. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007.
• A. Szymacha: Szczególna teoria względności. 1985.
• E.F. Taylor, J.A. Wheeler: Fizyka czasoprzestrzeni. PWN, 1975.
• Andrzej Trautman: Względności teoria. W: Wielka encyklopedia powszechna PWN. Wyd. I. T. 12. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969, s. 585–586.
• W.A. Ugarow: Szczególna teoria względności. PWN, 1985.
• A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki. T. 1. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1984.

Strony internetowe

• FranciscoF. Fernflores FranciscoF., The Equivalence of Mass and Energy, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, Winter 2017 Edition, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 6 lutego 2012, ISSN 1095-5054 [dostęp 2018-01-30] [zarchiwizowane z adresu 2017-12-21]  (ang.).???

Linki zewnętrzne

• Albert Einstein: Elementarne wyprowadzenie równoważności masy i energii. miesięcznik „Delta”, 2005-06. [dostęp 2017-07-12]. – polskie tłumaczenie artykułu z 1946 roku.
• Don Lincoln, Why E=mc² is wrong (ang.), kanał Fermilabu na YouTube, 28 listopada 2017 [dostęp 2023-05-31].