Tensor metryczny – tensor drugiego rzędu (o dwóch indeksach), symetryczny, charakterystyczny dla danego układu współrzędnych. Jest podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej, znajduje zastosowanie np. w elektrodynamice, w ogólnej teorii względności i innych teoriach, korzystających z geometrii różniczkowej.

Tensor metryczny można zdefiniować na dwa sposoby:

• za pomocą iloczynu skalarnego,
• za pomocą elementu liniowego.

W artykule opisano oba sposoby.

Wektory bazowe

Niech ${\displaystyle x^{i},i=1,2,\dots ,n}$ oznaczają współrzędne (na ogół krzywoliniowe), zdefiniowane na rozmaitości ${\displaystyle M,}$ przy czym ${\displaystyle n}$ jest wymiarem rozmaitości. Wektory styczne do linii współrzędnych oblicza się ze wzoru

${\displaystyle e_{i}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial x^{i}}},\quad i=1,2,\dots ,n,}$

gdzie ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x^{1},\dots ,x^{n})}$ jest wektorem wodzącym punktu na rozmaitości. Wektory te definiują lokalną bazę, określoną dla przestrzeni stycznej ${\displaystyle TM_{x}}$ w punkcie ${\displaystyle x}$ rozmaitości ${\displaystyle M.}$ (Odtąd będziemy skrótowo mówić „punkt ${\displaystyle x}$” zamiast „punkt o wektorze wodzącym ${\displaystyle x}$”. Zauważmy jednak, że wektor wodzący zależy od przyjętego początku układu współrzędnych, punkt zaś jest niezależnym od tego wyboru elementem rozmaitości.) Dla każdego punktu rozmaitości da się określić lokalną, unikalną bazę.

Tensor metryczny

Niech dana będzie n-wymiarowa rozmaitość różniczkowa ${\displaystyle M}$ ze zdefiniowanym w niej iloczynem skalarnym. Iloczyn skalarny jest symetrycznym, dodatnio określonym funkcjonałem dwuliniowym^[1] ${\displaystyle \varphi \colon M\times M\to K,}$ gdzie ${\displaystyle K=R}$ lub ${\displaystyle K=C}$ (ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych).

Tensor metryczny rozmaitości definiuje się poprzez iloczyny skalarne wektorów bazy układu współrzędnych (w ogólności współrzędnych krzywoliniowych), tj.:

${\displaystyle g_{ij}=e_{i}e_{j},\quad i,j=1,2,\dots ,n.}$

Tensor ten ma więc ${\displaystyle n\times n}$ elementów. Jest to postać kowariantna (o dolnych indeksach) tensora.

Postać kontrawariantną (o górnych indeksach) otrzymuje się jako macierz odwrotną z macierzy ${\displaystyle (g_{ij}),}$ czyli:

${\displaystyle (g^{ij})=(g_{ij})^{-1}.}$

Współrzędne ${\displaystyle g_{ij}}$ tensora metrycznego są więc równe iloczynom skalarnym wektorów bazowych ${\displaystyle e_{i},e_{j}}$ lokalnego układu współrzędnych^[2].

Obniżanie/podnoszenie wskaźników

Aby obniżyć wskaźniki dowolnego wektora trzeba pomnożyć go przez tensor metryczny ${\displaystyle g_{ij}}$

${\displaystyle A_{i}=g_{ij}A^{j}}$

– przy czym sumuje się po powtarzającym się indeksie ${\displaystyle j=1,\dots ,n.}$

Aby podwyższyć wskaźniki, trzeba wykorzystać tensor ${\displaystyle g^{ij}{:}}$

${\displaystyle A^{i}=g^{ij}A_{j}.}$

Iloczyn skalarny dowolnych wektorów

Iloczyn skalarny dowolnych dwóch wektorów wyraża się przez tensor metryczny i współrzędne wektorów w jeden z trzech równoważnych sposobów:

• ${\displaystyle A\cdot B=g_{ij}A^{i}B^{j},}$
• ${\displaystyle A\cdot B=A^{i}B_{i},}$
• ${\displaystyle A\cdot B=A_{i}B^{i},}$

gdzie:

${\displaystyle g_{ij}}$ – tensor metryczny,

${\displaystyle A^{i},B^{i}}$ – współrzędne kontrawariantne (o górnych indeksach) wektorów ${\displaystyle A,B,}$

${\displaystyle A_{i},B_{i}}$ – współrzędne kowariantne (o dolnych indeksach) wektorów ${\displaystyle A,B.}$

Dla przestrzeni euklidesowej mamy: ${\displaystyle g_{ii}=1,}$ ${\displaystyle g_{ij}=0.}$ Wtedy współrzędne kowariantne równe są kontrawariantnym oraz

${\displaystyle A\cdot B=A^{i}B^{i}=A^{i}B_{i}=A_{i}B^{i}.}$

Dowód:

• ${\displaystyle e_{i}e_{j}=g_{ij}}$ – wartość iloczynu skalarnego wektorów bazy ${\displaystyle e_{i},e_{j},}$
• ${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{n}A^{i}e_{i},}$ ${\displaystyle B=\sum _{j=1}^{n}B^{j}e_{j}}$ – zapis wektorów ${\displaystyle A,B}$ w bazie ${\displaystyle \{e_{i}\}.}$

Stąd otrzymamy:

${\displaystyle A\cdot B=\left(\sum _{i=1}^{n}A^{i}e_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}B^{j}e_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\ e_{i}e_{j}A^{i}B^{j}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}A^{i}B^{j}.}$

Stosując konwencję sumacyjną oraz zasady podwyższania/obniżania wskaźników, otrzymamy:

${\displaystyle A\cdot B=g_{ij}A^{i}B^{j}=A_{j}B^{j}=A^{i}B_{i},}$ c.n.d.

Definicja tensora metrycznego przez element liniowy

(1) Niech będą dane dwa układy współrzędnych w n-wymiarowej rozmaitości różniczkowej:

• kartezjański ${\displaystyle \{x^{i}\}_{i=1}^{n},}$
• krzywoliniowy ${\displaystyle \{q^{i}\}_{i=1}^{n}.}$

(2) Definiujmy element liniowy jako^[3] 

${\displaystyle ds^{2}=(dx^{1})^{2}+\ldots +(dx^{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(dx^{i})^{2}.}$

(3) Można przejść od układu współrzędnych kartezjańskich do układu współrzędnych krzywoliniowych za pomocą transformacji:

${\displaystyle x^{i}=x^{i}(q^{1},\dots ,q^{n}),\ i=1,2,\dots ,n,}$

gdzie ${\displaystyle x^{i}(q^{1},\dots ,q^{n})}$ – funkcje wyrażające współrzędne kartezjańskie przez krzywoliniowe.

(4) Jeżeli każda funkcja ${\displaystyle x^{i}(q^{1},\dots ,q^{n})}$ ma ciągłe pochodne względem wszystkich swoich argumentów, to ze wzoru na różniczkę zupełną otrzymamy

${\displaystyle dx^{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}dq^{j}.}$

(5) Wstawiając te różniczki do wzoru na element liniowy otrzymamy

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{n}(dx^{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}dq^{j}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}dq^{k}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}dq^{j}dq^{k}.}$

(6) Tensorem metrycznym nazywa się występujące w powyższym wzorze wielkości^[4] 

${\displaystyle g_{jk}\equiv \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}}$

(7) Wzór na element liniowy we współrzędnych krzywoliniowych przyjmie postać (przy czym zmieniono nazwy indeksów sumacyjnych)

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}dq^{i}dq^{j}.}$

(8) Stosując konwencję sumacyjną Einsteina, otrzymuje się uproszczony zapis

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}.}$

(9) Uwaga:

Powyżej wyprowadzony wzór na tensor metryczny

${\displaystyle g_{jk}\equiv \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}}$

jest równoważny definicji tensora metrycznego za pomocą iloczynów skalarnych wektorów bazy

${\displaystyle g_{jk}=e_{j}e_{k},\quad j,k=1,2,\dots ,n.}$

Dowód:

Korzystając z definicji wektorów ${\displaystyle e_{i},e_{j}}$ i rozkładając je w bazie kartezjańskiej mamy

${\displaystyle e_{j}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial q^{j}}}=\sum _{i}^{n}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\hat {x}}_{i}}$

${\displaystyle e_{k}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial q^{k}}}=\sum _{l}^{n}{\frac {\partial x_{l}}{\partial q^{k}}}{\hat {x}}_{l}}$

gdzie ${\displaystyle {\hat {x}}_{i},{\hat {x}}_{l}}$ – wersory układu kartezjańskiego, takie że ${\displaystyle {\hat {x}}_{i}{\hat {x}}_{l}=\delta _{i,l}.}$ Mnożąc powyższe wyrażenia przez siebie otrzyma się

${\displaystyle e_{j}e_{k}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial q^{k}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\hat {x}}_{i}\sum _{l=1}^{n}{\frac {\partial x_{l}}{\partial q^{k}}}{\hat {x}}_{l}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}}$

przy czym w ostatnim wzorze wykorzystano ortogonalność bazy kartezjańskiej, cnd.

Iloczyn skalarny wektora ${\displaystyle dx}$

Tensor metryczny pozwala obliczyć iloczyn skalarny dowolnych wektorów. W szczególności obliczymy iloczyn skalarny wektora nieskończenie małego przesunięcia. Niech:

• ${\displaystyle e_{i}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial x^{i}}},\,\,i=1,\dots ,n}$ – wektor bazy układu współrzędnych w kierunku współrzędnej ${\displaystyle x_{i}}$^[1],
• ${\displaystyle d\mathbf {x} =(dx^{1},\dots ,dx^{n})}$ – wektor nieskończenie małego przesunięcia w przestrzeni zapisany w tej bazie.

Ponieważ ${\displaystyle (dx^{1},\dots ,dx^{n})=\sum _{i=1}^{n}dx^{i}e_{i},}$ to kwadrat długości wektora ${\displaystyle d\mathbf {x} }$ wynosi:

${\displaystyle ds^{2}\equiv d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {x} \ d\mathbf {x} =,}$

${\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{n}dx^{i}e_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}dx^{j}e_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}e_{i}e_{j}\ dx^{i}dx^{j}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}dx^{i}dx^{j}.}$

Korzystając z konwencji sumacyjnej Einsteina mamy ostatecznie:

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}.}$

Własności tensora metrycznego

Przykłady tensorów metrycznych

Zobacz też

• sygnatura metryki
• symbole Christoffela
• teoria Kaluzy-Kleina

Przypisy

Bibliografia

• James B. Hartle: Grawitacja. Wprowadzenie do ogólnej teorii względności Einsteina. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2010. ISBN 978-83-2350476-4.
• P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1958.
• John Lighton Synge: Rachunek tensorowy. Warszawa: PWN, 1964.
• Grzegorz Białkowski, Mechanika klasyczna, Warszawa: PWN, 1975, s. 14–26.