Relacja podzielności wprowadza częściowy porządek w zbiorze liczb naturalnych; można go przedstawić przez diagram Hassego.

Dzielnik – dwuznaczne pojęcie arytmetyczne:

• drugi, prawy argument dzielenia – jeśli ${\displaystyle a:b=q,}$ to ${\displaystyle a}$ nazywa się dzielną, ${\displaystyle b}$ – dzielnikiem, a ${\displaystyle q}$ – ilorazem^[1]. Tak rozumiany dzielnik odpowiada mianownikowi ułamka;

• liczba całkowita, która dzieli bez reszty daną liczbę całkowitą^[1]. To, że liczba ${\displaystyle a}$ dzieli liczbę ${\displaystyle b}$ oznacza, że iloraz ${\displaystyle b:a}$ jest całkowity; zapisuje się to^[2]: ${\displaystyle a|b.}$ Formalnie:

${\displaystyle a|b\Leftrightarrow b:a\in \mathbb {Z} .}$

Innymi słowy druga z tych liczb jest iloczynem tej pierwszej i jakiejś innej całkowitej:

${\displaystyle a|b\Leftrightarrow \exists q\in \mathbb {Z} :b=qa.}$

Dzielnik liczby to każda liczba, której wielokrotnością jest ta zadana; relacja bycia dzielnikiem – czyli podzielność – to relacja odwrotna do bycia wielokrotnością. Ta definicja jest nieco szersza – dzielenie przez zero nie jest określone, przez co zero nie może być dzielnikiem w pierwszym znaczeniu^[1]; z drugiej strony zero ma wielokrotność – równą jemu samemu, przez co w dalszej części artykułu przyjęto, że zero dzieli samo siebie ${\displaystyle (0|0).}$

Relacja podzielności to jeden z fundamentów arytmetyki, zarówno elementarnej, jak i teoretycznej (teorii liczb). Przez podzielność definiuje się podstawowe typy liczb naturalnych jak liczba parzysta, pierwsza czy złożona, działania jak największy wspólny dzielnik (NWD) oraz inne relacje jak względna pierwszość i przystawanie (kongruencja). O podzielności liczb mówią niektóre twierdzenia jak lemat Euklidesa.

Pojęcie dzielnika wprowadza się też w bardziej ogólnych strukturach algebraicznych jak półgrupy, zwłaszcza pierścienie.

Przykłady i odmiany

Liczby dodatnich dzielników kolejnych liczb naturalnych – ciąg ten jest znany jako funkcja tau (τ).

Liczba ${\displaystyle 3}$ dzieli liczbę ${\displaystyle 18,}$ ponieważ ${\displaystyle 18=3\cdot 6.}$ Poniższa tabela przedstawia podzielność jednocyfrowych liczb naturalnych – wypełnienie komórki oznacza, że liczba z początku wiersza (po lewej) dzieli liczbę z początku kolumny (na górze):

Każda liczba całkowita dzieli się przez samą siebie, liczbę do niej przeciwną, jedynkę i minus jedynkę. Te dzielniki są znane jako trywialne, a pozostałe jako nietrywialne. Liczba ${\displaystyle 10}$ ma osiem dzielników: ${\displaystyle \{-10,-5,-2,-1,1,2,5,10\},}$ przy czym cztery z nich ${\displaystyle \{-10,-1,1,10\}}$ są trywialne. Jedynka i liczby pierwsze mają wyłącznie trywialne dzielniki, za to zero i liczby złożone mają też inne (nietrywialne).

Liczbę wszystkich dzielników dodatnich liczby określa funkcja tau ${\displaystyle (\tau );}$ przykładowo ${\displaystyle \tau (10)=4.}$

Dzielnik właściwy liczby to każdy dodatni różny od niej samej^[3][4]; liczba ${\displaystyle 10}$ ma trzy dzielniki właściwe ${\displaystyle \{1,2,5\}.}$ Liczby pierwsze można zdefiniować jako takie, które mają dokładnie jeden dzielnik właściwy: jedynkę.

Dalsze własności

Krata dodatnich dzielników liczby 60.

• Wspomniany fakt, że każda liczba dzieli siebie samą, nazywa się zwrotnością podzielności.
• Podzielność jest przechodnia: ${\displaystyle a|b\land b|c\Rightarrow a|c.}$
• Relacje o tych dwóch cechach – zwrotne i przechodnie – nazywa się praporządkami.
• Liczby wzajemnie podzielne mają równy moduł (wartość bezwzględną) – są sobie równe lub przeciwne: ${\displaystyle (a|b\land b|a)\Rightarrow (a=b\lor a=-b).}$
• W szczególności oznacza to, że wzajemnie podzielne liczby naturalne są sobie równe; relacje o tej własności nazywa się antysymetrycznymi.
• Antysymetryczne praporządki są znane jako porządek częściowy; parę ${\displaystyle (\mathbb {N} ,|)}$ zalicza się do struktur zwanych posetami. Ten konkretny należy do krat, ponieważ dla każdej pary liczb naturalnych istnieją największy wspólny dzielnik (NWD) oraz najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW), pełniące role kresów – odpowiednio dolnego (infimum) i górnego (supremum).
• Zbiór dodatnich dzielników danej liczby też tworzy kratę.
• Dzielnik dwóch liczb jest też dzielnikiem ich sumy^[5]: ${\displaystyle (a|b\land a|c)\Rightarrow a|(b+c).}$ Co więcej, ${\displaystyle a|(mb+nc)}$ dla dowolnych liczb całkowitych ${\displaystyle m}$ oraz ${\displaystyle n}$. Twierdzenie odwrotne nie zachodzi: ${\displaystyle 2|(3+3),}$ ale dwójka nie dzieli żadnego z tych składników.
• Istnieją sposoby, żeby sprawdzić podzielność dwóch liczb bez całej procedury dzielenia z resztą. Metody te opierają się na cechach podzielności – warunkach równoważnych tej własności; przykładowo dla sprawdzenia podzielności przez 3 i 9 wystarczy znać sumę cyfr liczby w zapisie dziesiętnym.

Uogólnienia

Podwielokrotnością liczby ${\displaystyle n}$ nazywa się każdą taką liczbę ${\displaystyle a,}$ dla której ${\displaystyle n:a}$ jest liczbą naturalną, w ten sposób ${\displaystyle n}$ jest wielokrotnością ${\displaystyle a.}$ W przeciwieństwie do podwielokrotności, od dzielnika wymaga się zwykle, by był on liczbą naturalną.

Ogólnie definicję precyzuje się niekiedy dodatkowymi warunkami, np.:

• iloraz powinien być określony jednoznacznie (czego wymaga się zwykle w teorii pierścieni), z tego powodu przyjmuje się ${\displaystyle b\neq 0}$ (zob. dzielenie przez zero). Wtedy dzielnik jest synonimem podwielokrotności będącej liczbą całkowitą. W ten sposób w dowolnym ciele (np. liczb wymiernych; jest to prawdą w pierścieniu bez dzielników zera) jedynym dzielnikiem zera jest zero.
• dla uproszczenia rozważa się niekiedy wyłącznie dzielniki dodatnie, dodaje się wtedy warunek ${\displaystyle b>0,}$ dzięki czemu można przykładowo założyć, że liczba pierwsza jest liczbą o dokładnie dwóch dzielnikach (zob. uogólnienia).

Definicję dzielnika można rozszerzyć na dziedziny całkowitości; dział teorii pierścieni zajmujący się badaniem podzielności w pierścieniach nazywa się teorią podzielności. Jeżeli ${\displaystyle x|y}$ i ${\displaystyle y|x,}$ to elementy ${\displaystyle x}$ oraz ${\displaystyle y}$ nazywa się stowarzyszonymi. Relacja stowarzyszenia zdefiniowana wzorem

${\displaystyle x\sim y\iff x|y\land y|x}$

jest relacją równoważności. Można to wyrazić również następująco:

${\displaystyle x\sim y\iff x=cy,}$

gdzie ${\displaystyle c}$ jest elementem odwracalnym (jednością; w istocie są to dzielniki jedynki), tzn. intuicyjnie: elementy stowarzyszone „różnią się” o czynnik odwracalny. Jest to równoważne stwierdzeniu, iż jeżeli ${\displaystyle x|y,}$ to dla dowolnej liczby ${\displaystyle w}$ takiej, że ${\displaystyle w\sim x}$ zachodzi również ${\displaystyle w|y.}$ Jest to powód dla którego wyróżnia się tradycyjnie w zbiorze dzielników pewne elementy (np. liczby dodatnie wśród liczb całkowitych): wtedy jeden z dzielników reprezentuje inne z nim stowarzyszone (w liczbach całkowitych odwracalne są wyłącznie ${\displaystyle 1}$ oraz ${\displaystyle -1}$). W ten sposób dzielniki właściwe można opisać jako dzielniki, które nie stowarzyszone z daną liczbą i niebędące przy tym jednościami. Dzielniki nierozkładalne to dzielniki niebędące jednością, który nie ma dzielników właściwych.

Największy dzielnik elementu ${\displaystyle x,}$ który jest równocześnie dzielnikiem ${\displaystyle y}$ nazywa się największym wspólnym dzielnikiem tych elementów, przy czym jest on określony z dokładnością do stowarzyszenia.

Relację podzielności można zdefiniować w dowolnej półgrupie. Jeżeli ma ona element zerowy, to każdy element jest dzielnikiem zera (w szczególności w liczbach całkowitych ${\displaystyle 0}$ jest wielokrotnością dowolnej liczby i każda liczba jest jej dzielnikiem).

Zobacz też

• czynnik pierwszy
• liczby doskonałe

Przypisy

Bibliografia

• Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Z języka angielskiego przełożyli Piotr Chrząstowski, Artur Czumaj, Leszek Gąsieniec, Marek Raczunas. Wyd. 4. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 83-01-14764-4.

Literatura dodatkowa

• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, 2003, s. 121. ISBN 83-7469-189-1.
• Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Wyd. 7. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1974.brak strony w książce