Hipoteza ABC (hipoteza Oesterle-Massera) – zagadnienie z teorii liczb. Po raz pierwszy problem został przedstawiony przez Josepha Oesterlé i Davida Massera w 1985 roku[1].

Sformułowanie problemu

Przed sformułowaniem hipotezy wprowadzić należy kilka pojęć.

Niech dane będą względnie pierwsze liczby całkowite dodatnie spełniające równość

Zdefiniujemy następujące funkcje:

gdzie oznacza część bezkwadratową iloczynu czyli iloczyn wszystkich różnych liczb pierwszych będących dzielnikami liczb (na przykład: ponieważ w rozkładzie 12, 9 i 13 na czynniki pierwsze występują tylko 2, 3 i 13).

Wiadomym jest, że istnieje nieskończenie wiele takich trójek liczb że Hipoteza ABC jest natomiast przypuszczeniem, że

Dla każdej liczby istnieje co najwyżej skończenie wiele trójek liczb spełniających warunek

czyli, w szczególności, że istnieje skończenie wiele trójek spełniających itd.

Dowód

W sierpniu 2012 Shinichi Mochizuki opublikował na swojej stronie internetowej ponad 600-stronicową pracę, zawierającą dowód hipotezy ABC[2]. Dowód jest w trakcie weryfikacji[3][4]. W 2018 roku Peter Scholze i Jakob Stix, opublikowali raport ukazujący błędy dowodu. Mochizuki nie zgodził się z krytyką[5], 3 kwietnia 2020 na konferencji prasowej w Kioto ogłoszono, że praca ta została zaakceptowana do druku w czasopiśmie naukowym RIMS. Kontrowersje budzi jednak fakt, iż Mochizuki był jego redaktorem naczelnym. Prawdziwość dowodu wciąż zostaje niepotwierdzona, a zdania na temat jej autentyczności pozostaje sporna[6][5].

Poszukiwania

W 2006 roku na wydziale matematyki Uniwersytetu w Leiden, we współpracy z holenderskim instytutem nauki w Kennislink rozpoczęto projekt ABC@home oparty na przetwarzaniu rozproszonym w infrastrukturze BOINC. Celem projektu jest szukanie trójek spełniających nierówność

Konsekwencje

W czasie badania hipotezy odkryto wiele ciekawych przypadków w teorii liczb. Oto niektóre z nich:

  • rozwiązanie twierdzenia Rotha,
  • udowodnienie wielkiego twierdzenia Fermata (Andrew Wiles, 1993),
  • udowodnienie hipotezy Mordella (Gerd Faltings, 1983),
  • kontrprzykłady dla hipotezy Erdősa-Woodsa (z wyjątkiem liczb skończonych),
  • uogólnienie teorii Tijdemana,
  • rozwiązanie hipotezy Granville-Langevin,
  • rozwiązanie zmodyfikowanej hipotezy Szpiro[1],
  • w 1996 r. A. Dąbrowski wykazał, że z hipotezy ABC można wyprowadzić rozwiązanie równania Brocarda-Ramanujana[7] – jest to uogólnienie twierdzenia Overholta[8].

Przypisy

  1. 1 2 Joseph Oesterlé, Nouvelles approches du « théorème » de Fermat, Société Mathématique de France, 1988, s. 165–186, ISSN 0303-1179, OCLC 17422981.
  2. ↑ Shinichi Mochizuki: Inter-Universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations. 2012-08.
  3. ↑ Phillip Ball. Proof claimed for deep connection between primes. „Nature”, 2012-09-10.
  4. ↑ Barry Cipra. ABC Proof Could Be Mathematical Jackpot. „Science”, 2012-09-12.
  5. 1 2 The proof that wasn’t [online], Varsity Online [dostęp 2022-05-06] (ang.).
  6. ↑ Davide Castelvecchi, Mathematical proof that rocked number theory will be published, „Nature”, 2020, d41586–020–00998-2, DOI: 10.1038/d41586-020-00998-2, ISSN 0028-0836 [dostęp 2020-04-05] (ang.).
  7. ↑ A. Dąbrowski, On the diophantine equation Neuw Arch. Wisk. 14 (1996), no. 206, 931-939.
  8. ↑ M. Overholt, The diophantine equation Bull. London Math. Soc. 25 (1993), 104.

Bibliografia

  • Wiktor Bartol, Witold Sadowski, O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty, Warszawa 2005.

Linki zewnętrzne

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.