Paradoks Banacha-Tarskiego

Paradoks Banacha-Tarskiego: Kula może być pocięta na skończenie wiele kawałków, z których można złożyć dwie kule identyczne z kulą wyjściową

Paradoks Banacha-Tarskiego (paradoks Hausdorffa-Banacha-Tarskiego, paradoksalny rozkład kuli) – paradoksalne twierdzenie teorii miary sformułowane i udowodnione przez Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w 1924 roku.

Twierdzenie głosi, że trójwymiarową kulę można „rozciąć” na skończoną liczbę części (wystarczy ich pięć), a następnie używając wyłącznie przesunięć i obrotów można złożyć z tych części dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej.

Paradoksalne jest to, że z jednej strony w wyniku operacji rozcinania, przesunięcia, obracania i składania następuje podwojenie objętości kuli, z drugiej użyte operacje przesunięcia i obrotu są izometriami i zachowują objętość brył.

Źródło paradoksu tkwi w tym, że części, na które dzielona jest kula, są zbiorami niemierzalnymi (w sensie Lebesgue’a), tj. nie mają objętości i nie stosuje się do nich addytywność miary, zgodnie z którą suma miar rozłącznych zbiorów mierzalnych jest miarą sumy mnogościowej tych zbiorów.

Twierdzenie Banacha-Tarskiego i pokrewne wyniki uświadamiają ograniczenia możliwych rozszerzeń miary Lebesgue’a, które miałyby pozostać niezmiennicze względem pewnych przekształceń przestrzeni euklidesowych^[1].

Paradoks Banacha-Tarskiego ma swoją popularną wersję: ziarnko grochu może być podzielone na skończenie wiele części, z których (przez izometrie) można złożyć kulę wielkości Słońca.

W jednej z książek dotyczących paradoksu Banacha-Tarskiego zamieszczone jest motto^[1] wskazujące jeden ze sposobów rozwiązania problemu delijskiego:

Delijczycy: W jaki sposób możemy uwolnić się od zarazy?

Wyrocznia delficka: Powiększcie dwukrotnie objętość ołtarza Apolla zachowując jego kształt sześcianu!

Banach i Tarski: Czy możemy użyć aksjomatu wyboru?

Rys historyczny

1905: Giuseppe Vitali podaje przykład zbioru niemierzalnego na okręgu jednostkowym, który to zbiór jest podstawą rozkładu σ-paradoksalnego okręgu^[2]. (Zobacz sekcja poniżej.)
1914: polscy matematycy Stefan Mazurkiewicz i Wacław Sierpiński publikują przykład paradoksalnego podzbioru płaszczyzny $\mathbb {R} ^{2}$ ^[3].
1915: Felix Hausdorff publikuje twierdzenie, że po usunięciu przeliczalnie wielu punktów ze sfery jednostkowej można otrzymać zbiór, który jest paradoksalny ze względu na grupę obrotów $SO_{3}$ ^[4].
1924: praca Banacha i Tarskiego przedstawiająca dowód ich twierdzenia ukazuje się w druku^[5].
1991: wrocławski matematyk Janusz Pawlikowski wykazuje, że zakładając aksjomaty Zermela-Fraenkla i twierdzenie Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego^[6].
1994: Randall Dougherty i Matthew Foreman dowodzą, że jest możliwy paradoksalny rozkład kuli na kawałki, które mają własność Baire’a^[7], a więc porządnych z topologicznego punktu widzenia.

Wstępne przykłady

W zasadzie już Galileusz^[8] zauważył, że zbiór liczb naturalnych $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,5,\dots \}$ może być podzielony na dwie części, z których każda może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na cały zbiór $\mathbb {N} .$ Rozważmy na przykład zbiór liczb parzystych $P=\{0,2,4,6,\dots \}$ i jego dopełnienie, czyli zbiór liczb nieparzystych $N=\{1,3,5,\dots \}.$ Funkcja $f_{P}\colon P\to \mathbb {N} \colon k\mapsto k/2$ jest bijekcją z $P$ na $\mathbb {N}$ oraz funkcja $f_{N}\colon N\to \mathbb {N} \colon k\mapsto (k-1)/2$ jest bijekcją z $N$ na $\mathbb {N} .$

Każde dwa nietrywialne odcinki na prostej rzeczywistej są równoliczne (w ZF) i funkcja ustalająca równoliczność jest bardzo porządna (np. w przypadku dwóch przedziałów otwartych może to być funkcja liniowa). Zatem każdy nietrywialny odcinek może być podzielony na dwie rozłączne części (odcinki) i każda z tych części może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na odcinek wyjściowy. Podobna obserwacja ma miejsce w odniesieniu do prostokątów, prostopadłościanów i wielu innych figur geometrycznych.

Rozważmy zbiór Vitalego na okręgu jednostkowym. Najwygodniej jest ten zbiór opisać, jeśli zinterpretujemy punkty płaszczyzny jako liczby zespolone. Nasz okrąg to zbiór $O=\{e^{2\pi ri}:r\in \mathbb {R} \}=\{e^{2\pi ri}:r\in [0,1)\}.$ Określmy na tym zbiorze relację równoważności $\cong$ przez warunek

e^{2\pi ri}\cong e^{2\pi si}

wtedy i tylko wtedy gdy

r-s

jest liczbą wymierną.

Zakładając aksjomat wyboru, możemy znaleźć zbiór

M\subseteq O,

który jest selektorem klas abstrakcji relacji

\cong .

Zatem zbiór

M

spełnia następujące dwa warunki:

(a)

(\forall s,t\in M)(s\neq t\ \Rightarrow \ s\not \cong t)

oraz

(b)

(\forall s\in O)(\exists t\in M)(s\cong t).

Przedstawmy zbiór liczb wymiernych w przedziale

[0,1)

jako sumę

\mathbb {Q} \cap [0,1)=A\cup B

dwóch zbiorów nieskończonych. Wówczas każdy ze zbiorów

A,

B

jest równoliczny ze zbiorem

\mathbb {Q} \cap [0,1),

a więc możemy wybrać funkcje wzajemnie jednoznaczne

f_{A}\colon A\to \mathbb {Q} \cap [0,1)

i

f_{B}\colon B\to \mathbb {Q} \cap [0,1).

Rozważmy zbiory

M_{A}=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\ \wedge \ q\in A\}

i

M_{B}=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\ \wedge \ q\in B\}.

Wówczas

O=M_{A}\cup M_{B},

M_{A}\cap M_{B}=\emptyset

oraz funkcje

\varphi _{A}\colon M_{A}\to O:e^{2\pi qi}\cdot t\mapsto e^{2\pi f_{A}(q)i}\cdot t

i

\varphi _{B}\colon M_{B}\to O:e^{2\pi qi}\cdot t\mapsto e^{2\pi f_{B}(q)i}\cdot t

są bijekcjami.

W powyższych przykładach użyte funkcje wzajemnie jednoznaczne, nawet jeśli są bardzo porządne, jednak nie zachowują odległości punktów (czyli nie są izometriami). Zatem przykłady te nie wzbudzają żadnego zdziwienia: odpowiednie zbiory są powiększone/rozdmuchane przez odpowiadające im funkcje. Można jednak zapytać, czy istnieją podobne rozkłady z dodatkową własnością, taką że funkcje ustalające równoliczność kawałków z wyjściowym zbiorem są izometriami (ze względu na metryki naturalne).

Zbiór Vitalego, dyskutowany wcześniej, pozwala zbudować przykład podziału na przeliczalnie wiele części, tak że z dowolnych nieskończenie wielu kawałków można złożyć okrąg wyjściowy, używając tylko obrotów. Niech zbiór $M$ będzie wybrany jak powyżej. Dla $q\in \mathbb {Q} \cap [0,1)$ połóżmy $M^{q}=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\}.$ Wówczas $\{M^{q}:q\in \mathbb {Q} \cap [0,1)\}$ jest przeliczalną rodziną parami rozłącznych podzbiorów okręgu $O.$ Przypuśćmy, że $A\subseteq \mathbb {Q} \cap [0,1)$ jest zbiorem nieskończonym. Ustalmy bijekcję $f_{A}\colon A\to \mathbb {Q} \cap [0,1)$ i zauważmy, że

O=\bigcup \limits _{q\in A}F_{q}[M^{q}],

gdzie

F_{q}\colon O\to O\colon e^{2\pi ri}\mapsto e^{2\pi (r+f_{A}(q)-q)i}

jest obrotem o kąt

(f_{A}(q)-q)\cdot 2\pi .

Mazurkiewicz i Sierpiński podali w 1914 następujący przykład paradoksalnego (ze względu na izometrie) podzbioru płaszczyzny. Jak wcześniej, utożsamiamy płaszczyznę ze zbiorem liczb zespolonych. Niech

Z=\{a_{0}+a_{1}e^{i}+a_{2}e^{2i}+\ldots +a_{k}e^{ki}:k\in \mathbb {N} \ \wedge \ a_{0},\dots ,a_{k}\in \mathbb {N} \},

Z_{0}=\{a_{1}e^{i}+a_{2}e^{2i}+\ldots +a_{k}e^{ki}:k\in \mathbb {N} \setminus \{0\}\wedge \ a_{1},\dots ,a_{k}\in \mathbb {N} \},

Z_{+}=\{a_{0}+a_{1}e^{i}+a_{2}e^{2i}+\ldots +a_{k}e^{ki}:k\in \mathbb {N} \ \wedge \ a_{0},\dots ,a_{k}\in \mathbb {N} \ \wedge \ a_{0}>0\}.

Można łatwo sprawdzić, że

Z=Z_{0}\cup Z_{+},

Z_{0}\cap Z_{+}=\emptyset

(przypomnijmy, że

e^{i}

jest liczbą przestępną) oraz

F_{0}[Z_{0}]=Z

gdzie

F_{0}\colon z\mapsto e^{-i}\cdot z

jest obrotem, a

F_{+}[Z_{+}]=Z

gdzie

F_{+}\colon z\mapsto z-1

jest przesunięciem.

Rozkłady paradoksalne

Definicje

Przypuśćmy, że grupa $G$ działa na zbiorze $X.$

Powiemy, że zbiór $A\subseteq X$ jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G, jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory $B_{0},\dots ,B_{n},C_{0},\dots ,C_{m}\subseteq A$ (gdzie $n,m\in \mathbb {N}$ ) oraz elementy $g_{0},\dots ,g_{n},h_{0},\dots ,h_{m}$ grupy $G,$ takie że

A=\bigcup \limits _{i=0}^{n}g_{i}[B_{i}]

oraz

A=\bigcup \limits _{j=0}^{m}h_{j}[C_{j}].

Intuicyjnie, $A$ jest paradoksalny ze względu na działanie grupy $G,$ jeśli można podzielić zbiór $A$ na skończenie wiele kawałków, z których można złożyć dwie kopie zbioru $A,$ używając bijekcji wyznaczonych przez elementy grupy $G.$

Zbiór $A\subseteq X$ jest σ-paradoksalny ze względu na działanie grupy G, jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory $B_{0},B_{1}\dots ,C_{0},C_{1}\ldots \subseteq A$ oraz elementy $g_{0},g_{1},\dots ,h_{0},h_{1}\ldots$ grupy $G,$ takie że

A=\bigcup \limits _{i=0}^{\infty }g_{i}[B_{i}]

oraz

A=\bigcup \limits _{j=0}^{\infty }h_{j}[C_{j}].

Niech $A,B\subseteq X.$ Powiemy, że zbiory $A$ i $B$ są kawałkami $G$ -równoważne, jeśli można wybrać $A_{0},A_{1},\dots ,A_{n}\subseteq A,$ $B_{0},B_{1},\dots ,B_{n}\subseteq B,$ $n\in \mathbb {N} ,$ oraz $g_{0},g_{1},\dots ,g_{n}\in G,$ tak że

(a)

A_{i}\cap A_{j}=\emptyset =B_{i}\cap B_{j}

dla

i<j\leqslant n,

(b)

A=\bigcup _{i=0}^{n}A_{i},

B=\bigcup _{i=0}^{n}B_{i}

(c)

g_{i}(A_{i})=B_{i}

dla każdego

i\leqslant n.

Przykłady

Zakładając aksjomat wyboru, okrąg jednostkowy jest σ-paradoksalny ze względu na grupę obrotów $SO_{2}$ okręgu. (Zobacz dyskusję zbioru Vitalego wcześniej.)
Zbiór $Z$ podany przez Mazurkiewicza i Sierpińskiego (dyskutowany wcześniej) jest paradoksalny ze względu na grupę izometrii płaszczyzny.

Zbiory

S(a^{-1})

i

aS(a^{-1})

zaznaczone na grafie Cayleya grupy wolnej

F_{2}

Animacja dowodu twierdzenia Banacha-Tarskiego za pomocą grafu Cayleya opartego na fraktalu

Rozważmy grupę wolną $F_{2}$ o dwóch generatorach $a$ i $b$ działającą na sobie przez mnożenie z lewej strony. (Tak więc elementowi $g\in F_{2}$ odpowiada bijekcja $F_{2}\ni h\mapsto gh\in F_{2}.$ ) Dla $x\in \{a,a^{-1},b,b^{-1}\}$ niech $S(x)$ będzie zbiorem wszystkich elementów grupy $F_{2}$ (słów w formie nieskracalnej) które zaczynają się od $x.$ Zauważmy, że

F_{2}=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})

i zbiory występujące w tej sumie są rozłączne, oraz

F_{2}=aS(a^{-1})\cup S(a)

i

F_{2}=bS(b^{-1})\cup S(b).

Zatem

F_{2}

jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy

F_{2}.

Twierdzenia

W poniższych stwierdzeniach zakładamy aksjomat wyboru (tzn. są to twierdzenia ZFC).

Przypuśćmy, że

(a) grupa

G

działa na zbiorze

X

w taki sposób że żadne z odwzorowań

X\ni x\mapsto g(x)\in X

nie ma punktów stałych (dla

g\in G

),

(b)

G

jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy

G

(przez mnożenie z lewej strony).

Wówczas zbiór

X

jest paradoksalny ze względu na działanie grupy

G.

Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli grupa wolna $F_{2}$ działa na zbiorze $X$ w taki sposób, że żadne z odwzorowań $X\ni x\mapsto g(x)\in X$ nie ma punktów stałych (dla $g\in F_{2}$ ), to zbiór $X$ jest paradoksalny ze względu na działanie grupy $F_{2}.$
Istnieje przeliczalny podzbiór $D$ sfery jednostkowej $S_{2}$ taki, że zbiór $S_{2}\setminus D$ jest paradoksalny ze względu na działanie grupy obrotów $SO_{3}.$
Jeśli $D\subseteq S_{2}$ jest przeliczalny, to zbiory $S_{2}$ i $S_{2}\setminus D$ kawałkami $SO_{3}$ -równoważne.

Bezpośrednio z dwóch powyższych twierdzeń możemy wywnioskować twierdzenie Banacha-Tarskiego:

Sfera jednostkowa $S_{2}$ jest paradoksalna ze względu na działanie grupy obrotów $SO_{3}.$

Kolejne wyniki są wnioskami z powyższego twierdzenia. Niech $I_{3}$ będzie grupą izometrii przestrzeni $\mathbb {R} ^{3}.$

Każda kula w $\mathbb {R} ^{3}$ jest paradoksalna ze względu na działanie grupy $I_{3}.$ Również sama przestrzeń $\mathbb {R} ^{3}$ jest paradoksalna ze względu na działanie tej grupy.
Jeśli $A,B\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ są zbiorami ograniczonymi o niepustych wnętrzach, to zbiory $A,$ $B$ są kawałkami $I_{3}$ -równoważne.

Zobacz też

Przypisy

1 2 Wagon, Stan: The Banach-Tarski paradox, w: „Encyclopedia of Mathematics and its Applications”, 24. Cambridge University Press, Cambridge, 1985. ISBN 0-521-30244-7.
↑ Vitali, Giuseppe: Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. Bologna: Gamberini e Parmeggiani, 1905.
↑ Mazurkiewicz, Stefan; Sierpiński, Wacław: Sur un ensemble superposable avec chacune de ses deux parties. „C. R. Acad. Sci. Paris”. 158 (1914), s. 618–619.
↑ Hausdorff, Felix: Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen. „Math. Ann.” 75 (1915), s. 428–433.
↑ Banach, Stefan; Tarski, Alfred: Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, „Fundamenta Mathematicae” 6 (1924), s. 244–277. Dostępna w formacie pdf tutaj.
↑ Pawlikowski, Janusz: The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. „Fundamenta Mathematicae” 138 (1991), s. 21–22.
↑ Dougherty, Randall; Foreman, Matthew. Banach-Tarski decompositions using sets with the property of Baire. „J. Amer. Math. Soc.” 7 (1994), s. 75–124.
↑ Galileo Galilei. Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze, 1638.

Linki zewnętrzne

JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., O kul rozmnażaniu, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, kwiecień 2017, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-07-19] (pol.).
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Banach-Tarski Paradox, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
Artykuł o paradoksie na PlanetMath. planetmath.org. [zarchiwizowane z tego adresu (2006-05-11)]. (ang.).
Michael Stevens, The Banach–Tarski Paradox, kanał Vsauce na YouTube, 1 sierpnia 2015 [dostęp 2021-03-15]. (ang.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[WagonS-1] 1 2 Wagon, Stan: The Banach-Tarski paradox, w: „Encyclopedia of Mathematics and its Applications”, 24. Cambridge University Press, Cambridge, 1985. ISBN 0-521-30244-7.

[2] Vitali, Giuseppe: Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. Bologna: Gamberini e Parmeggiani, 1905.

[3] Mazurkiewicz, Stefan; Sierpiński, Wacław: Sur un ensemble superposable avec chacune de ses deux parties. „C. R. Acad. Sci. Paris”. 158 (1914), s. 618–619.

[4] Hausdorff, Felix: Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen. „Math. Ann.” 75 (1915), s. 428–433.

[5] Banach, Stefan; Tarski, Alfred: Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, „Fundamenta Mathematicae” 6 (1924), s. 244–277. Dostępna w formacie pdf tutaj.

[6] Pawlikowski, Janusz: The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. „Fundamenta Mathematicae” 138 (1991), s. 21–22.

[7] Dougherty, Randall; Foreman, Matthew. Banach-Tarski decompositions using sets with the property of Baire. „J. Amer. Math. Soc.” 7 (1994), s. 75–124.

[8] Galileo Galilei. Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze, 1638.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]