Paradoks Banacha-Tarskiego (paradoks Hausdorffa-Banacha-Tarskiego, paradoksalny rozkład kuli) – paradoksalne twierdzenie teorii miary sformułowane i udowodnione przez Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w 1924 roku.
Twierdzenie głosi, że trójwymiarową kulę można „rozciąć” na skończoną liczbę części (wystarczy ich pięć), a następnie używając wyłącznie przesunięć i obrotów można złożyć z tych części dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej.
Paradoksalne jest to, że z jednej strony w wyniku operacji rozcinania, przesunięcia, obracania i składania następuje podwojenie objętości kuli, z drugiej użyte operacje przesunięcia i obrotu są izometriami i zachowują objętość brył.
Źródło paradoksu tkwi w tym, że części, na które dzielona jest kula, są zbiorami niemierzalnymi (w sensie Lebesgue’a), tj. nie mają objętości i nie stosuje się do nich addytywność miary, zgodnie z którą suma miar rozłącznych zbiorów mierzalnych jest miarą sumy mnogościowej tych zbiorów.
Twierdzenie Banacha-Tarskiego i pokrewne wyniki uświadamiają ograniczenia możliwych rozszerzeń miary Lebesgue’a, które miałyby pozostać niezmiennicze względem pewnych przekształceń przestrzeni euklidesowych[1].
Paradoks Banacha-Tarskiego ma swoją popularną wersję: ziarnko grochu może być podzielone na skończenie wiele części, z których (przez izometrie) można złożyć kulę wielkości Słońca.
W jednej z książek dotyczących paradoksu Banacha-Tarskiego zamieszczone jest motto[1] wskazujące jeden ze sposobów rozwiązania problemu delijskiego:
- Delijczycy: W jaki sposób możemy uwolnić się od zarazy?
- Wyrocznia delficka: Powiększcie dwukrotnie objętość ołtarza Apolla zachowując jego kształt sześcianu!
- Banach i Tarski: Czy możemy użyć aksjomatu wyboru?
Rys historyczny
- 1905: Giuseppe Vitali podaje przykład zbioru niemierzalnego na okręgu jednostkowym, który to zbiór jest podstawą rozkładu σ-paradoksalnego okręgu[2]. (Zobacz sekcja poniżej.)
- 1914: polscy matematycy Stefan Mazurkiewicz i Wacław Sierpiński publikują przykład paradoksalnego podzbioru płaszczyzny [3].
- 1915: Felix Hausdorff publikuje twierdzenie, że po usunięciu przeliczalnie wielu punktów ze sfery jednostkowej można otrzymać zbiór, który jest paradoksalny ze względu na grupę obrotów [4].
- 1924: praca Banacha i Tarskiego przedstawiająca dowód ich twierdzenia ukazuje się w druku[5].
- 1991: wrocławski matematyk Janusz Pawlikowski wykazuje, że zakładając aksjomaty Zermela-Fraenkla i twierdzenie Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego[6].
- 1994: Randall Dougherty i Matthew Foreman dowodzą, że jest możliwy paradoksalny rozkład kuli na kawałki, które mają własność Baire’a[7], a więc porządnych z topologicznego punktu widzenia.
Wstępne przykłady
- W zasadzie już Galileusz[8] zauważył, że zbiór liczb naturalnych może być podzielony na dwie części, z których każda może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na cały zbiór Rozważmy na przykład zbiór liczb parzystych i jego dopełnienie, czyli zbiór liczb nieparzystych Funkcja jest bijekcją z na oraz funkcja jest bijekcją z na
- Każde dwa nietrywialne odcinki na prostej rzeczywistej są równoliczne (w ZF) i funkcja ustalająca równoliczność jest bardzo porządna (np. w przypadku dwóch przedziałów otwartych może to być funkcja liniowa). Zatem każdy nietrywialny odcinek może być podzielony na dwie rozłączne części (odcinki) i każda z tych części może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na odcinek wyjściowy. Podobna obserwacja ma miejsce w odniesieniu do prostokątów, prostopadłościanów i wielu innych figur geometrycznych.
- Rozważmy zbiór Vitalego na okręgu jednostkowym. Najwygodniej jest ten zbiór opisać, jeśli zinterpretujemy punkty płaszczyzny jako liczby zespolone. Nasz okrąg to zbiór Określmy na tym zbiorze relację równoważności przez warunek
- wtedy i tylko wtedy gdy jest liczbą wymierną.
- Zakładając aksjomat wyboru, możemy znaleźć zbiór który jest selektorem klas abstrakcji relacji Zatem zbiór spełnia następujące dwa warunki:
- (a) oraz
- (b)
- Przedstawmy zbiór liczb wymiernych w przedziale jako sumę dwóch zbiorów nieskończonych. Wówczas każdy ze zbiorów jest równoliczny ze zbiorem a więc możemy wybrać funkcje wzajemnie jednoznaczne i Rozważmy zbiory
- i
- Wówczas oraz funkcje
- i
- są bijekcjami.
W powyższych przykładach użyte funkcje wzajemnie jednoznaczne, nawet jeśli są bardzo porządne, jednak nie zachowują odległości punktów (czyli nie są izometriami). Zatem przykłady te nie wzbudzają żadnego zdziwienia: odpowiednie zbiory są powiększone/rozdmuchane przez odpowiadające im funkcje. Można jednak zapytać, czy istnieją podobne rozkłady z dodatkową własnością, taką że funkcje ustalające równoliczność kawałków z wyjściowym zbiorem są izometriami (ze względu na metryki naturalne).
- Zbiór Vitalego, dyskutowany wcześniej, pozwala zbudować przykład podziału na przeliczalnie wiele części, tak że z dowolnych nieskończenie wielu kawałków można złożyć okrąg wyjściowy, używając tylko obrotów. Niech zbiór będzie wybrany jak powyżej. Dla połóżmy Wówczas jest przeliczalną rodziną parami rozłącznych podzbiorów okręgu Przypuśćmy, że jest zbiorem nieskończonym. Ustalmy bijekcję i zauważmy, że
- gdzie jest obrotem o kąt
- Mazurkiewicz i Sierpiński podali w 1914 następujący przykład paradoksalnego (ze względu na izometrie) podzbioru płaszczyzny. Jak wcześniej, utożsamiamy płaszczyznę ze zbiorem liczb zespolonych. Niech
- Można łatwo sprawdzić, że (przypomnijmy, że jest liczbą przestępną) oraz
- gdzie jest obrotem, a
- gdzie jest przesunięciem.
Rozkłady paradoksalne
Definicje
Przypuśćmy, że grupa działa na zbiorze
- Powiemy, że zbiór jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G, jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory (gdzie ) oraz elementy grupy takie że
- oraz
Intuicyjnie, jest paradoksalny ze względu na działanie grupy jeśli można podzielić zbiór na skończenie wiele kawałków, z których można złożyć dwie kopie zbioru używając bijekcji wyznaczonych przez elementy grupy
- Zbiór jest σ-paradoksalny ze względu na działanie grupy G, jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory oraz elementy grupy takie że
- oraz
- Niech Powiemy, że zbiory i są kawałkami -równoważne, jeśli można wybrać oraz tak że
- (a) dla
- (b)
- (c) dla każdego
Przykłady
- Zakładając aksjomat wyboru, okrąg jednostkowy jest σ-paradoksalny ze względu na grupę obrotów okręgu. (Zobacz dyskusję zbioru Vitalego wcześniej.)
- Zbiór podany przez Mazurkiewicza i Sierpińskiego (dyskutowany wcześniej) jest paradoksalny ze względu na grupę izometrii płaszczyzny.
- Rozważmy grupę wolną o dwóch generatorach i działającą na sobie przez mnożenie z lewej strony. (Tak więc elementowi odpowiada bijekcja ) Dla niech będzie zbiorem wszystkich elementów grupy (słów w formie nieskracalnej) które zaczynają się od Zauważmy, że
- i zbiory występujące w tej sumie są rozłączne, oraz
- i
- Zatem jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy
Twierdzenia
W poniższych stwierdzeniach zakładamy aksjomat wyboru (tzn. są to twierdzenia ZFC).
- Przypuśćmy, że
- (a) grupa działa na zbiorze w taki sposób że żadne z odwzorowań nie ma punktów stałych (dla ),
- (b) jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy (przez mnożenie z lewej strony).
- Wówczas zbiór jest paradoksalny ze względu na działanie grupy
- Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli grupa wolna działa na zbiorze w taki sposób, że żadne z odwzorowań nie ma punktów stałych (dla ), to zbiór jest paradoksalny ze względu na działanie grupy
- Istnieje przeliczalny podzbiór sfery jednostkowej taki, że zbiór jest paradoksalny ze względu na działanie grupy obrotów
- Jeśli jest przeliczalny, to zbiory i kawałkami -równoważne.
Bezpośrednio z dwóch powyższych twierdzeń możemy wywnioskować twierdzenie Banacha-Tarskiego:
- Sfera jednostkowa jest paradoksalna ze względu na działanie grupy obrotów
Kolejne wyniki są wnioskami z powyższego twierdzenia. Niech będzie grupą izometrii przestrzeni
- Każda kula w jest paradoksalna ze względu na działanie grupy Również sama przestrzeń jest paradoksalna ze względu na działanie tej grupy.
- Jeśli są zbiorami ograniczonymi o niepustych wnętrzach, to zbiory są kawałkami -równoważne.
Zobacz też
Przypisy
- 1 2 Wagon, Stan: The Banach-Tarski paradox, w: „Encyclopedia of Mathematics and its Applications”, 24. Cambridge University Press, Cambridge, 1985. ISBN 0-521-30244-7.
- ↑ Vitali, Giuseppe: Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. Bologna: Gamberini e Parmeggiani, 1905.
- ↑ Mazurkiewicz, Stefan; Sierpiński, Wacław: Sur un ensemble superposable avec chacune de ses deux parties. „C. R. Acad. Sci. Paris”. 158 (1914), s. 618–619.
- ↑ Hausdorff, Felix: Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen. „Math. Ann.” 75 (1915), s. 428–433.
- ↑ Banach, Stefan; Tarski, Alfred: Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, „Fundamenta Mathematicae” 6 (1924), s. 244–277. Dostępna w formacie pdf tutaj.
- ↑ Pawlikowski, Janusz: The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. „Fundamenta Mathematicae” 138 (1991), s. 21–22.
- ↑ Dougherty, Randall; Foreman, Matthew. Banach-Tarski decompositions using sets with the property of Baire. „J. Amer. Math. Soc.” 7 (1994), s. 75–124.
- ↑ Galileo Galilei. Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze, 1638.
Linki zewnętrzne
- Joanna Jaszuńska , O kul rozmnażaniu, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, kwiecień 2017, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-07-19] (pol.).
- Eric W. Weisstein , Banach-Tarski Paradox, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
- Artykuł o paradoksie na PlanetMath. planetmath.org. [zarchiwizowane z tego adresu (2006-05-11)]. (ang.).
- Michael Stevens, The Banach–Tarski Paradox, kanał Vsauce na YouTube, 1 sierpnia 2015 [dostęp 2021-03-15]. (ang.)