Zbiór ograniczony – termin używany na określenie zbiorów w pewnym sensie małych. Dokładna definicja tego pojęcia zależy od kontekstu w którym jest ono wprowadzane.
Np. na prostej rzeczywistej ograniczone są przedziały liczbowe, które zadane są przez liczby skończone, np. lub Nieograniczone zaś są np. i cała prosta.
Porządki częściowe
Niech będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Przypuśćmy też, że i Powiemy, że
- element jest ograniczeniem górnym zbioru jeśli
- element jest ograniczeniem dolnym zbioru jeśli [1].
Każdy element zbioru jest zarówno ograniczeniem dolnym, jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego.
Jeśli istnieje ograniczenie górne dla zbioru to mówimy iż zbiór ten jest ograniczony z góry, a jeśli istnieje ograniczenie dolne, to powiemy, że zbiór jest ograniczony z dołu.
Zbiory ograniczone to zbiory które mają obydwa ograniczenia, dolne i górne. Tak więc podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest on zawarty w pewnym przedziale.
W szczególności, podzbiór zbioru liczb rzeczywistych nazwiemy ograniczonym z góry (z dołu), jeżeli istnieje liczba większa (mniejsza) od wszystkich liczb tego zbioru, a jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest zawarty w pewnym skończonym przedziale.
Przestrzenie metryczne
Niech będzie przestrzenią metryczną. Podzbiór przestrzeni nazywany jest zbiorem ograniczonym (w ), jeżeli jest on zawarty w pewnej kuli[2]. Równoważnie, jeżeli
Przestrzenie liniowo-topologiczne
Niech będzie przestrzenią liniowo-topologiczną. Powiemy, że zbiór jest ograniczony w gdy dla każdego otoczenia zera istnieje że
Można wykazać, że jeśli jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to definicja ta jest równoważna definicji zbioru ograniczonego w sensie przestrzeni metrycznych.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, s. 121, seria: Biblioteka Matematyczna.
- ↑ zbiór ograniczony, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-10-07] .
Linki zewnętrzne
- Eric W. Weisstein , Bounded Set, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-10-09].