Własność Baire’a – własność zbioru wskazująca na pewnego rodzaju jego regularność: można go uważać za zbiór prawie otwarty. Nazwa nadana dla uhonorowania René-Louisa Baire’a.
Zbiór przestrzeni topologicznej ma własność Baire’a, jeżeli można go przedstawić w postaci różnicy symetrycznej zbioru otwartego i mizernego równoważnie: różnica symetryczna zbioru i zbioru otwartego jest mizerna.
Przykłady
- Każdy zbiór borelowski ma własność Baire’a.
- Każdy zbiór mizerny ma własność Baire’a.
- W przestrzeniach polskich każdy zbiór analityczny ma własność Baire’a.
- Zarówno zbiory Vitalego, jak i zbiory Bernsteina nie mają własności Baire’a.
Własności
- W dowolnej przestrzeni topologicznej, zbiory o własności Baire’a tworzą σ-ciało podzbiorów tej przestrzeni. Jest to najmniejsze σ-ciało zawierające zarówno zbiory otwarte, jak i zbiory mizerne.
- Jeśli podzbiór przestrzeni polskiej ma własność Baire’a, to odpowiednia gra Banacha-Mazura jest zdeterminowana.
- Polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus wykazali, że aksjomat determinacji pociąga własność Baire’a wszystkich podzbiorów prostej[1].
Mierzalność
Własność Baire jest najczęściej rozważana dla podzbiorów przestrzeni polskich czy wręcz podzbiorów prostej rzeczywistej. W tym kontekście jest ona często porównywana do mierzalności w sense Lebesgue’a. Matematycy pracujący w teorii mnogości, topologii, czy też teorii miary są często zainteresowani odkrywaniem podobieństw, jak i przeciwieństw między tymi własnościami[2][3].
- Twierdzenie Kuratowskiego-Ulama mówi, że[4]
- jeśli są przestrzeniami polskimi i jest zbiorem o własności Baire’a,
- to jest zbiorem mizernym wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór
- nie jest mizerny w
- jest mizerny w (w istocie wystarczy założenie, że są Hausdorffa i ma przeliczalną π-bazę).
Powyższe twierdzenie jest uważane za topologiczny odpowiednik twierdzenia Fubiniego dla miary.
- Niech będzie przestrzenią polską i Wówczas można znaleźć zbiór mający własność Baire’a i taki, że
- jeśli ma własność Baire’a, to jest mizerny.
Ten wynik jest często podawany jako topologiczny odpowiednik miary zewnętrznej.
- W 1970, Robert M. Solovay udowodnił, że zakładając istnienie liczby nieosiągalnej, istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue’a i mają własność Baire’a[5].
- W 1984 Saharon Szelach wykazał, że[6]
- model, w który wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire’a, może być otrzymany bez użycia liczb nieosiągalnych, ale
- mierzalność zbiorów rzutowych implikuje, że jest liczbą nieosiągalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Kurta Gödla).
Ten wynik Shelaha był jednym z pierwszych istotnych przykładów asymetrii pomiędzy własnością Baire’a a mierzalnością w sensie Lebesgue’a.
- Randall Dougherty, Matthew Foreman[7] udowodnili, że jest możliwy paradoksalny rozkład kuli na kawałki które mają własność Baire’a. (Części rozkładu paradoksalnego muszą być niemierzalne).
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Jan Mycielski, Hugo Steinhaus: A mathematical axiom contradicting the axiom of choice, „Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys.” 10 (1962), s. 1–3.
- ↑ John C. Oxtoby, Measure and category. A survey of the analogies between topological and measure spaces, Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 2. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980, ISBN 0-387-90508-1.
- ↑ Tomek Bartoszyński, Haim Judah, Set theory. On the structure of the real line, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995, ISBN 1-56881-044-X.
- ↑ Kazimierz Kuratowski, Stanisław Ulam: Quelques propriétés topologiques du produit combinatoire, „Fundamenta Mathematicae” 19 (1932), s. 247–251.
- ↑ Robert M. Solovay, A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable, „Ann. of Math.” 92 (1970), s. 1–56.
- ↑ Saharon Shelah, Can you take Solovay’s inaccessible away?, „Israel J. Math.” 48 (1984), s. 1–47.
- ↑ Randall Dougherty, Matthew Foreman: Banach-Tarski decompositions using sets with the property of Baire, „J. Amer. Math. Soc.” 7 (1994), no. 1, s. 75–124.