Pierwsze prawo

Elipsę można opisać na kilka sposobów, w astronomii najczęściej opisuje się elipsy, podając ich wielką półoś ${\displaystyle (a)}$ oraz mimośród ${\displaystyle (e),}$ który określa stopień wydłużenia elipsy (im ${\displaystyle e}$ bliższe zeru, tym elipsa bliższa jest okręgowi). Mimośród elipsy ${\displaystyle e}$ jest równy stosunkowi długość odcinka ${\displaystyle c}$ między środkiem a jednym z ognisk do długości wielkiej półosi:

${\displaystyle e={\frac {c}{a}}.}$

Mimośrody orbit planet w naszym układzie są w większości niewielkie. Poza Merkurym, dla którego mimośród przekracza nieco wartość 0,2, mimośrody orbit pozostałych planet są poniżej 0,1. Na przykład mimośród elipsy orbity Ziemi wynosi 0,0167, co oznacza, że wielka oś elipsy orbity Ziemi jest dłuższa od krótkiej osi niewiele więcej niż 1% jej długości.

Drugie prawo

Graficzna interpretacja II prawa Keplera

Opisuje to wyrażenie:

${\displaystyle {\frac {\Delta A}{\Delta t}}={\text{const}}.}$

Wynika stąd, że w peryhelium (w pobliżu Słońca) planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od Słońca), czyli planeta w ciągu takiego samego czasu przebywa dłuższą drogę ${\displaystyle (\Delta S)}$ w pobliżu peryhelium, niż w pobliżu aphelium.

Na przykład dla orbity Ziemi (mimośród ${\displaystyle e}$ = 0,01672) prędkość liniowa Ziemi w peryhelium wynosi 30,3 km/s, zaś w aphelium 29,3 km/s, dlatego lato (aphelium około 3 lipca) jest trochę dłuższe od zimy (peryhelium około 3 stycznia).

Trzecie prawo

Można to zapisać wzorem:

${\displaystyle {\frac {T_{1}^{2}}{a_{1}^{3}}}={\frac {T_{2}^{2}}{a_{2}^{3}}}={\text{const}},}$

gdzie:

${\displaystyle T_{1},T_{2}}$ – okresy obiegu dwóch planet,

${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ – wielkie półosie orbit tych planet.

Z prawa tego wynika, że im większa orbita, tym dłuższy okres obiegu, oraz że prędkość liniowa na orbicie jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka promienia orbity (dla orbity kołowej).

Pierwsze prawo Keplera

Każde z dwóch ciał porusza się po krzywej stożkowej, w ognisku której znajduje się środek masy całego układu. Ze środkiem tym jest związany inercjalny układ odniesienia, co wynika z zasady zachowania pędu i właśnie w tym układzie krzywa ma kształt pewnej stożkowej.

W szczególnie ważnym przypadku, gdy m<<M, jeden z parametrów stożkowej można wyznaczyć z zależności:

${\displaystyle a=-{\frac {GMm}{2U}},}$

gdzie:

${\displaystyle a}$ – wielka półoś stożkowej (dla paraboli jest to ${\displaystyle \infty ,}$ dla hiperboli jest to połowa odległości między wierzchołkami obu gałęzi wzięta z minusem),

${\displaystyle M,m}$ – masy obu ciał,

${\displaystyle G}$ – stała grawitacji,

${\displaystyle U}$ – całkowita energia orbitalna, tj. suma energii kinetycznej ${\displaystyle E_{k}}$ i potencjalnej ${\displaystyle E_{p}}$ ciała mniejszego w układzie związanym ze środkiem masy układu. Ponieważ ${\displaystyle E_{p}}$ jest ujemne, więc można wartość całkowitej energii wyrazić jako ${\displaystyle U=|E_{k}|-|E_{p}|.}$

Z analizy powyższego równania wynika, że

• jeśli ${\displaystyle a>0,}$ czyli ${\displaystyle U<0,}$ to ciało porusza się po elipsie o półosi równej ${\displaystyle a,}$
• jeśli ${\displaystyle a=\infty ,}$ czyli ${\displaystyle U=0,}$ to ciało porusza się po paraboli,
• jeśli ${\displaystyle a<0,}$ czyli ${\displaystyle U>0,}$ to ciało porusza się po hiperboli o półosi równej ${\displaystyle -a.}$

Oznacza to, że jeśli energia orbitalna jest nieujemna, tj. ${\displaystyle U\geqslant 0,}$ to mniejsze ciało porusza się na tyle szybko, że zbliży się do drugiego ciała tylko jednokrotnie.

Drugie prawo Keplera

Zgodnie z tym prawem prędkość polowa każdej planety jest stała. Wektorowo oznacza to, że dla dowolnej stożkowej:

${\displaystyle {\vec {v_{s}}}={\frac {d{\vec {S}}}{dt}}={\text{const}},}$

gdzie:

${\displaystyle {\vec {v_{s}}}}$ – prędkość polowa rozumiana jako wektor prostopadły do płaszczyzny stożkowej,

${\displaystyle d{\vec {S}}}$ – wektor powierzchni o wartości pola zakreślanego w czasie ${\displaystyle dt}$ przez promień wodzący o początku w ognisku stożkowej.

Stosując wzór na pole trójkąta: ${\displaystyle dS={\tfrac {1}{2}}Rds\sin \alpha ,}$ dostaniemy ${\displaystyle d{\vec {S}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {R}}\times d{\vec {s}},}$ gdzie ${\displaystyle \alpha }$ jest kątem między promieniem wodzącym a wektorem przesunięcia ${\displaystyle {\vec {ds}}}$ na orbicie. Stąd:

${\displaystyle {\vec {v_{s}}}={\frac {d{\vec {S}}}{dt}}={\frac {{\vec {R}}\times d{\vec {s}}}{2\cdot dt}}={\frac {{\vec {R}}\times {\vec {v}}}{2}}={\frac {1}{2}}R^{2}{\vec {\omega }}={\text{const}},}$

gdzie:

${\displaystyle d{\vec {s}}}$ – nieskończenie mały wektor przesunięcia w ruchu po orbicie,

${\displaystyle {\vec {R}}}$ – promień wodzący z ogniska,

${\displaystyle {\vec {v}}}$ – prędkość liniowa na orbicie,

${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ – prędkość kątowa wokół ogniska orbity.

Jednocześnie zachodzi

${\displaystyle {\vec {J}}=m{\vec {R}}\times {\vec {v}},}$

gdzie:

${\displaystyle {\vec {J}}}$ – moment pędu planety,

${\displaystyle m}$ – masa planety.

Stąd:

${\displaystyle {\frac {\vec {J}}{2m}}={\text{const}}.}$

Powyższą kinetyczną zależność można zinterpretować jako przejaw działania zasady zachowania momentu pędu planety. Siła grawitacyjna bowiem, jako oddziaływanie centralne, w układzie podwójnym nie wywołuje momentów sił, zatem moment pędu układu zostaje zachowany.

Trzecie prawo Keplera

Jeśli planeta porusza się w polu grawitacyjnym gwiazdy, ale jej masa jest na tyle duża, że nie można jej pominąć przy porównaniu z masą gwiazdy, natomiast pominie się oddziaływania z innymi ciałami, obowiązuje zależność zwana uogólnionym III prawem Keplera:

${\displaystyle d^{3}={\frac {G\left(M_{S}+m\right)}{4\pi ^{2}}}T^{2},}$

gdzie:

${\displaystyle d}$ – średnia odległość między środkami mas planety i obieganej gwiazdy w znaczeniu średniej arytmetycznej największej i najmniejszej odległości między tymi ciałami,

${\displaystyle G}$ – stała grawitacji,

${\displaystyle m}$ – masa danej planety,

${\displaystyle M_{S}}$ – masa gwiazdy,

${\displaystyle T}$ – okres obiegu planety wokół gwiazdy.

Z uogólnionego trzeciego prawa Keplera, pomijając masę planety, można wyprowadzić sformułowane przez Keplera prawo, gdy: ${\displaystyle M_{S}+m\to M_{S}.}$