Zasada zachowania momentu pędu – jedna z zasad zachowania w mechanice.

Treść zasady:

W przypadku bryły sztywnej zasadę tę można sformułować następująco:

co można zapisać wzorem

${\displaystyle \operatorname {const} {\vec {L}}}$

lub

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}=0,}$

przy czym wzór ten można traktować jako szczególny przypadek równania wyrażającego zależność momentu pędu od momentu siły ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {M}}.}$

Konsekwencje

Z zasady zachowania momentu pędu i definicji momentu pędu

${\displaystyle {\vec {L}}=I{\vec {\omega }}}$

(przykład definicji momentu pędu dla ustalonej osi) wynika, że prędkość kątowa ${\displaystyle \omega }$ rośnie, gdy maleje moment bezwładności ${\displaystyle I.}$

Jedną z konsekwencji zasady zachowania momentu pędu są znaczne prędkości kątowe gwiazd neutronowych, dochodzące do kilkuset obrotów na minutę (pulsary milisekundowe) uzyskiwane na skutek kolapsu grawitacyjnego i zmniejszenia momentu bezwładności.

Dowód poprawności

Zasada zachowania momentu pędu wynika z niezmienności hamiltonianu względem obrotów w przestrzeni.

Moment pędu układu ${\displaystyle N}$ cząstek można zapisać

${\displaystyle {\vec {L}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times (m_{i}{\dot {\vec {r_{i}}}}).}$

Różniczkując po czasie powyższe wyrażenie, otrzymujemy

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i=1}^{N}{\dot {\vec {r_{i}}}}\times (m_{i}{\dot {\vec {r_{i}}}})+\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times (m_{i}{\ddot {\vec {r_{i}}}}).}$

Ponieważ iloczyn wektorowy ${\displaystyle {\dot {\vec {r_{i}}}}\times {\dot {\vec {r_{i}}}}=0}$ oraz ${\displaystyle m_{i}{\ddot {\vec {r_{i}}}}={\vec {F_{i}}},}$ to pozostaje tylko obliczyć iloczyn ${\displaystyle {\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}.}$

W tym celu rozbijemy siłę działającą na każdą cząstkę na składową pochodzącą z oddziaływań z innymi cząstkami (człony ${\displaystyle {\vec {F}}_{ij}}$) oraz składową pochodzącą z zewnątrz układu

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}=\sum _{i=1}^{N}({\vec {r_{i}}}\times (\sum _{i\neq j}^{N}{\vec {F_{ij}}}+{\vec {F_{i}}}'))=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}'.}$

Ponieważ

${\displaystyle {\vec {F_{ij}}}=-{\vec {F_{ji}}},}$

to

${\displaystyle {\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{ij}}}=-{\vec {r_{j}}}\times {\vec {F_{ji}}},}$

a dla każdej siły

${\displaystyle {\vec {F_{ij}}}}$

występuje siła

${\displaystyle {\vec {F_{ji}}}.}$

Stąd suma wszystkich momentów sił oddziaływania jest równa 0.

Zatem

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}'.}$

Jeżeli układ jest odosobniony, to

${\displaystyle {\vec {F}}_{i}'=0,}$

czyli

${\displaystyle \operatorname {const} {\vec {L}}.}$

Zobacz też

• zasada zachowania pędu