Dowód geometryczny

Proste przechodzące przez punkty ${\displaystyle A,B,C}$ równoległe odpowiednio do boków ${\displaystyle BC,CA,AB}$ trójkąta ${\displaystyle ABC}$ wyznaczają trójkąt ${\displaystyle \triangle A'B'C'.}$

Ponieważ ${\displaystyle AB'\parallel BC}$ oraz ${\displaystyle AB\parallel B'C,}$ to czworokąt ${\displaystyle ABCB'}$ jest równoległobokiem, skąd wynika, iż ${\displaystyle BC=AB'}$ i podobnie ${\displaystyle BC=AC'.}$

Zatem ${\displaystyle A}$ jest środkiem boku ${\displaystyle B'C'.}$ Analogicznie wykazuje się, że ${\displaystyle B}$ jest środkiem ${\displaystyle A'C',}$ a ${\displaystyle C}$ środkiem ${\displaystyle A'B'.}$ Rozpatrywane wysokości trójkąta ${\displaystyle \triangle ABC}$ są zarazem symetralnymi boków trójkąta ${\displaystyle \triangle A'B'C',}$ a więc przecinają się w jednym punkcie (zob. twierdzenie o symetralnych trójkąta).

Drugi dowód geometryczny

Niech ${\displaystyle {\color {red}A''},{\color {red}B''}}$ oznaczają spodki dwóch wysokości opuszczonych odpowiednio z wierzchołków ${\displaystyle A,B}$ trójkąta ${\displaystyle ABC,}$ a ${\displaystyle \color {red}H}$ – ich punkt przecięcia. Należy wykazać, że prosta ${\displaystyle CH}$ przecinająca bok ${\displaystyle AB}$ w punkcie ${\displaystyle \color {red}C''}$ jest do niego prostopadła.

Na czworokącie ${\displaystyle C{\color {red}A''}H{\color {red}B''}}$ można opisać okrąg, podobnie na czworokącie ${\displaystyle {\color {red}A''}BA{\color {red}B''}.}$ Stąd

${\displaystyle \sphericalangle {\color {red}A''}AB=\sphericalangle B{\color {red}B''A''}=\sphericalangle HC{\color {red}A''}.}$

Ponieważ ${\displaystyle \sphericalangle CH{\color {red}A''}=\sphericalangle {\color {red}C''}HA,}$ to ${\displaystyle \sphericalangle H{\color {red}A''}C=\sphericalangle H{\color {red}C''}A,}$ czyli ${\displaystyle \sphericalangle H{\color {red}C''}A=90^{\circ }.}$

Dowód wektorowy

Lemat

Dla dowolnych czterech punktów ${\displaystyle p,a,b,c}$ (niekoniecznie leżących we wspólnej płaszczyźnie) zachodzi tożsamość

${\displaystyle {\overrightarrow {ap}}\,{\overrightarrow {bc}}+{\overrightarrow {bp}}\,{\overrightarrow {ca}}+{\overrightarrow {cp}}\,{\overrightarrow {ab}}=0.}$

Rzeczywiście, ponieważ

${\displaystyle {\overrightarrow {bc}}={\overrightarrow {bp}}+{\overrightarrow {pc}},}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {ca}}={\overrightarrow {cp}}+{\overrightarrow {pa}}}$

oraz

${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}={\overrightarrow {ap}}+{\overrightarrow {pb}},}$

to

${\displaystyle {}\quad {\overrightarrow {ap}}({\overrightarrow {bp}}+{\overrightarrow {pc}})+{\overrightarrow {bp}}({\overrightarrow {cp}}+{\overrightarrow {pa}})+{\overrightarrow {cp}}({\overrightarrow {ap}}+{\overrightarrow {pb}})}$

${\displaystyle ={\overrightarrow {ap}}\,{\overrightarrow {bp}}+{\overrightarrow {ap}}\,{\overrightarrow {pc}}+{\overrightarrow {bp}}\,{\overrightarrow {cp}}+{\overrightarrow {bp}}\,{\overrightarrow {pa}}+{\overrightarrow {cp}}\,{\overrightarrow {ap}}+{\overrightarrow {cp}}\,{\overrightarrow {pb}}}$

${\displaystyle ={\overrightarrow {ap}}\,{\overrightarrow {bp}}-{\overrightarrow {ap}}\,{\overrightarrow {cp}}+{\overrightarrow {bp}}\,{\overrightarrow {cp}}-{\overrightarrow {bp}}\,{\overrightarrow {ap}}+{\overrightarrow {cp}}\,{\overrightarrow {ap}}-{\overrightarrow {cp}}\,{\overrightarrow {bp}}=0.}$

Dowód

Niech ${\displaystyle a,b,c}$ będą wierzchołkami trójkąta, a ${\displaystyle p}$ będzie punktem przecięcia dwóch wysokości; bez straty ogólności można założyć, że są one opuszczone z wierzchołków ${\displaystyle a,b.}$ Wówczas pierwsze dwa składniki tożsamości równe są zeru jako iloczyny skalarne wektorów ortogonalnych (prostopadłych), skąd wynika również, że i pozostały składnik jest równy zeru, a więc wektory ${\displaystyle {\overrightarrow {cp}}}$ oraz ${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}}$ są ortogonalne, a więc ${\displaystyle p}$ leży na wysokości opuszczonej z punktu ${\displaystyle c.}$

Szczególne przypadki

• W trójkącie ostrokątnym jego ortocentrum leży we wnętrzu trójkąta.
• W trójkącie prostokątnym ortocentrum leży w wierzchołku jego kąta prostego.
• W trójkącie rozwartokątnym proste zawierające jego wysokości przecinają się w punkcie nienależącym do tego trójkąta.
• W trójkącie równobocznym ortocentrum pokrywa się z punktami przecięcia: dwusiecznych kątów, symetralnych boków i środkowych boków tego trójkąta (czyli odpowiednio: środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie i środkiem masy trójkąta).