Twierdzenie cosinusów, wzór cosinusów, twierdzenie Carnota, uogólnione twierdzenie Pitagorasa^{[uwaga 1]} – twierdzenie określające związek między kątem i bokami w trójkącie.

Twierdzenie

W dowolnym trójkącie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.

Używając oznaczeń z rysunku obok^[1]:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .}$

W szczególnym przypadku, gdy trójkąt jest prostokątny i ${\displaystyle \gamma }$ jest kątem prostym, twierdzenie to sprowadza się do twierdzenia Pitagorasa, ponieważ cosinus kąta prostego jest równy zeru, czyli

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}.}$

Wnioskiem z twierdzenia cosinusów jest też twierdzenie Dijkstry.

Dowód 1

Z wierzchołka przy boku ${\displaystyle c}$ opuśćmy wysokość na bok ${\displaystyle b.}$ Podzieli ona bok ${\displaystyle b}$ na części ${\displaystyle b_{1},b_{2}.}$ Prawdziwe są zatem założenia:

${\displaystyle b=b_{1}+b_{2}}$

${\displaystyle c^{2}=b_{1}^{2}+h^{2}}$

${\displaystyle h^{2}=a^{2}-b_{2}^{2}}$

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {b_{2}}{a}}.}$

Łącząc wzory z twierdzenia Pitagorasa, uzyskamy:

${\displaystyle c^{2}=b_{1}^{2}+h^{2}=(b-b_{2})^{2}+(a^{2}-b_{2}^{2})}$

ze wzoru skróconego mnożenia:

${\displaystyle c^{2}=(b-b_{2})^{2}+(a^{2}-b_{2}^{2})=b^{2}-2bb_{2}+\not {b_{2}^{2}}+a^{2}-\not {b_{2}^{2}}=a^{2}+b^{2}-2bb_{2}.}$

Aby doprowadzić do przekształcenia ${\displaystyle -2bb_{2}}$ do ${\displaystyle -2ab\cos \gamma }$ musimy użyć wzoru ${\displaystyle b_{2}=a\cdot \cos \gamma {:}}$

${\displaystyle -2bb_{2}=-2b(a\cdot \cos \gamma )=-2ab\cos \gamma .}$

Zatem:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2bb_{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .}$

Dowód niewiele się zmieni, jeśli spodek wysokości znajdzie się na przedłużeniu boku ${\displaystyle b.}$

Dowód 2

Lemat

Dla dowolnego trójkąta o bokach o długości: ${\displaystyle a,b,c}$ i kątach leżących naprzeciw nich odpowiednio: ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ zachodzą zależności:

${\displaystyle a=c\cdot \cos \beta +b\cdot \cos \gamma ,}$

${\displaystyle b=c\cdot \cos \alpha +a\cdot \cos \gamma ,}$

${\displaystyle c=b\cdot \cos \alpha +a\cdot \cos \beta .}$

Dowód lematu

Udowodnimy np. drugą z powyższych zależności. Rzeczywiście, opuszczając wysokość na bok ${\displaystyle b,}$ dostaniemy:

${\displaystyle b=b_{1}+b_{2}=c{\frac {b_{1}}{c}}+a{\frac {b_{2}}{a}}=c\cdot \cos \alpha +a\cdot \cos \gamma .}$

Dowód twierdzenia

Trzy udowodnione w lemacie równości mnożymy obustronnie: pierwszą przez ${\displaystyle a,}$ drugą przez ${\displaystyle b,}$ trzecią przez ${\displaystyle -c{:}}$

${\displaystyle a^{2}=ac\cdot \cos \beta +ab\cdot \cos \gamma }$

${\displaystyle b^{2}=bc\cdot \cos \alpha +ab\cdot \cos \gamma }$

${\displaystyle -c^{2}=-bc\cdot \cos \alpha -ac\cdot \cos \beta .}$

Dodając stronami, dostaniemy:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=2ab\cdot \cos \gamma .}$

Twierdzenie cosinusów w przestrzeniach unitarnych

W przestrzeniach unitarnych (rzeczywistych) dowodzi się twierdzenia, które również nazywa się twierdzeniem cosinusów ze względu na formalne podobieństwo do twierdzenia klasycznego. Jeśli mianowicie dla wektorów a, b, c przyjmiemy:

${\displaystyle c=a-b,}$

to korzystając z aksjomatów iloczynu skalarnego i definicji ${\displaystyle |x|={\sqrt {(x,x)}}}$ łatwo dostaniemy:

${\displaystyle |c|^{2}=(c,c)=(a-b,a-b)=(a,a)+(b,b)-2(a,b)=|a|^{2}+|b|^{2}-2(a,b).}$

W celu wzmocnienia formalnego podobieństwa do twierdzenia klasycznego wprowadza się jeszcze jedną definicję. Kątem (tzn. miarą kąta) ${\displaystyle \measuredangle (x,y)}$ między (niezerowymi) wektorami ${\displaystyle x,y}$ jest wyrażenie:

${\displaystyle \measuredangle (x,y)=\operatorname {acos} {\tfrac {(x,y)}{|x|\cdot |y|}}.}$

Dostaniemy wówczas

${\displaystyle |c|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-2(a,b)=|a|^{2}+|b|^{2}-2|a|\cdot |b|\cdot \cos \gamma \quad \gamma =\measuredangle (a,b).}$

W przestrzeni unitarnej (rzeczywistej) można zdefiniować takie pojęcia, jak

• prosta, płaszczyzna (warstwy względem podprzestrzeni),
• odcinek, półprosta, półpłaszczyzna (porządek ciała skalarów),
• odległość (norma różnicy wektorów) itd.

Czyli można wymodelować całą klasyczną, aksjomatycznie wprowadzoną geometrię. Każda taka definicja wymaga jednak dowodu zgodności własności definiowanego pojęcia z aksjomatyką klasycznej geometrii. Aby móc w pełni kojarzyć powyższy wzór cosinusów z klasycznym twierdzeniem cosinusów należy o wyrażeniu ${\displaystyle \operatorname {acos} {\tfrac {(x,y)}{|x|\cdot |y|}}}$ udowodnić co najmniej:

• funkcja istnieje, tzn. ${\displaystyle -1\leqslant {\tfrac {(x,y)}{|x|\cdot |y|}}\leqslant 1}$ (nierówność Schwartza),
• ${\displaystyle \measuredangle (x,y)=0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x,y}$ są liniowo zależne,
• jest addytywna dla trzech wektorów liniowo zależnych. Jeśli ${\displaystyle y}$ leży „między” wektorami ${\displaystyle x,z}$ to miara sumy kątów jest sumą miar. ${\displaystyle y=t_{1}x+t_{2}z\quad dla\quad t_{i}>0\Rightarrow \measuredangle (x,z)=\measuredangle (x,y)+\measuredangle (y,z),}$
• warunek ${\displaystyle {\tfrac {(x,y)}{|x|\cdot |y|}}=0}$ odpowiada prostopadłości prostych (np. każde dwa kąty proste są przystające, przez dowolny punkt przechodzi dokładnie jedna prosta prostopadła do danej, prostopadła do prostopadłej jest równoległa itd.),
• funkcja ${\displaystyle {\tfrac {(x,y)}{|x|\cdot |y|}}}$ jest niezmiennikiem izometrii przestrzeni unitarnej (to jest łatwe) i odwrotnie – równość tej funkcji dla dwóch par wektorów (z dokładnością do ich normy) gwarantuje istnienie izometrii.

Dodajmy jeszcze, że w przestrzeni afinicznej skojarzonej przestrzenią unitarną przybrałoby to dla pewnych punktów ${\displaystyle A,B,C}$ następującą postać:

${\displaystyle |{\overrightarrow {AB}}|^{2}=|{\overrightarrow {CB}}|^{2}+|{\overrightarrow {CA}}|^{2}-2|{\overrightarrow {CB}}|\cdot |{\overrightarrow {CA}}|\cdot \cos \gamma \quad \gamma =\measuredangle ({\overrightarrow {CB}},{\overrightarrow {CA}}).}$

Wzory cosinusów w geometriach nieeuklidesowych

Omawiane wyżej twierdzenie cosinusów jest twierdzeniem geometrii euklidesowej, czyli tzw. geometrii płaskiej. W geometriach nieeuklidesowych ma ono swoje odpowiedniki w postaci dwóch dualnych względem siebie wzorów. Ich dualność polega na tym, że jeden z nich można otrzymać z drugiego przez zamianę miary kąta na miarę dualnego (przeciwległego) boku i odwrotnie.

W geometrii eliptycznej mamy wzory:

${\displaystyle \cos c=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma ,}$

${\displaystyle \cos \gamma =-\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c.}$

Tutaj a, b, c są długościami odcinków sferycznych, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Dowód pierwszego wzoru znajduje się w następnej sekcji (przeprowadzony jest w jednym z możliwych modeli tej geometrii). Może ten dowód posłużyć także do wykazania wzoru drugiego – wystarczy przeprowadzić go na trójkącie dualnym, jeśli dualność zrealizujemy dopełnienieniem ortogonalnym.

Powyższe dwa wzory obowiązują np. dla trójkątów sferycznych. Wiążą one długości boków dowolnego trójkąta sferycznego z kątami między tymi bokami. Można więc zastosować je także dla trzech półprostych o wspólnym początku umieszczonych w przestrzeni celem badania kątów między nimi i między płaszczyznami wyznaczonymi przez każde dwie z nich.

Analogicznie w geometrii hiperbolicznej, przyjąwszy tzw. metrykę naturalną dostaniemy:

${\displaystyle \cosh c=\cosh a\cdot \cosh b-\sinh a\cdot \sinh b\cdot \cos \gamma ,}$

${\displaystyle \cos \gamma =-\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cosh c.}$

Tutaj a, b, c są długościami odcinków, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Jak widać, jeśli argumentem jest długość odcinka, to zamiast funkcji trygonometrycznej używamy odpowiedniej funkcji hiperbolicznej. Dowód pierwszego wzoru znajdujący się w^[2] jest przeprowadzony nie w modelu, ale bezpośrednio z aksjomatów geometrii hiperbolicznej (wewnątrz teorii).

Z ostatniego z tych wzorów można wyciągnąć ciekawy wniosek – wystarczy ten wzór zastosować do trójkąta prostokątnego z jednym wierzchołkiem w „nieskończoności”, czyli spełniającego: ${\displaystyle \gamma =0,\ \beta =\pi /2.}$ Dostaniemy wówczas zależność ${\displaystyle 1=\sin \alpha \cosh \mathbf {c} ,}$ którą można przekształcić do równoważnej postaci ${\displaystyle \alpha =2\cdot \operatorname {atan} (e^{-c})}$ znanej jako funkcja Łobaczewskiego.

Zauważmy, że drugi wzór z geometrii eliptycznej i drugi z geometrii hiperbolicznej oferują coś, co jest niemożliwe w geometrii euklidesowej – pozwalają one wyliczyć długość dowolnego boku trójkąta na podstawie znajomości jedynie kątów tego trójkąta.

Spostrzeżenie, że ${\displaystyle \cos(ix)=\cosh(x),\sin(ix)=i\cdot \sinh(x)}$ umożliwia bardziej spójne spojrzenie na temat. Otóż, jeśli K oznacza krzywiznę Gaussa powierzchni oraz ${\displaystyle k={\sqrt {K}},}$ to otrzymamy następujący wzór:

${\displaystyle \cos(kc)=\cos(ka)\cdot \cos(kb)+\sin(ka)\cdot \sin(kb)\cdot \cos \gamma .}$

• Dla K>0 mamy trygonometrię na sferze o promieniu ${\displaystyle {\tfrac {1}{k}}.}$
• Dla K<0 mamy trygonometrię na pseudosferze o promieniu równym ${\displaystyle {\tfrac {1}{|k|}}.}$ Ponieważ ${\displaystyle {\tfrac {1}{k}}}$ jest tutaj urojony więc można też ten przypadek traktować jak sferę o promieniu urojonym ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {-|K|}}}={\tfrac {1}{i\cdot {\sqrt {|K|}}}}.}$ Niekiedy sugestywnie ujmuje się to następująco: trygonometria hiperboliczna jest trygonometrią sferyczną na sferze o promieniu urojonym.

Twierdzenie cosinusów dla sfery

Jeśli a,b,c oznaczają długości odcinków sferycznych, γ jest kątem między odcinkami-bokami a,b to zachodzi wzór

${\displaystyle \cos c=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma .}$

Twierdzenie cosinusów dla czworościanu

Jeśli w czworościanie o wierzchołkach a, b, c, d przez ${\displaystyle A,B,C,D}$ oznaczymy pola ścian leżących naprzeciw wierzchołków odpowiednio a, b, c, d, z kolei przez ${\displaystyle {\widehat {BC}},{\widehat {BD}},{\widehat {CD}}}$ oznaczymy kąty krawędziowe między odpowiednimi ścianami to

${\displaystyle A^{2}=B^{2}+C^{2}+D^{2}-2(BC\cdot \cos {\widehat {BC}}+BD\cdot \cos {\widehat {BD}}+CD\cdot \cos {\widehat {CD}})}$

Twierdzenie cosinusów dla kąta trójściennego

Jeśli ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ są kątami płaskimi przy wierzchołku S czworścianu SABC odpowiednio między ramionami: SB i SC, SA i SC, SA i SB, zaś ${\displaystyle \alpha ',\beta ',\gamma '}$ kątami dwuściennymi leżącymi naprzeciw nich, czyli kątami krawędziowymi SA, SB, SC. Wówczas zachodzą wzory (I twierdzenie cosinusów):

${\displaystyle \cos \alpha =\cos \beta \cos \gamma +\sin \beta \sin \gamma \cos \alpha ',}$

${\displaystyle \cos \beta =\cos \gamma \cos \alpha +\sin \gamma \sin \alpha \cos \beta ',}$

${\displaystyle \cos \gamma =\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma '}$

oraz wzory (II twierdzenie cosinusów):

${\displaystyle \cos \alpha '=-\cos \beta '\cos \gamma '+\sin \beta '\sin \gamma '\cos \alpha ,}$

${\displaystyle \cos \beta '=-\cos \gamma '\cos \alpha '+\sin \gamma '\sin \alpha '\cos \beta ,}$

${\displaystyle \cos \gamma '=-\cos \alpha '\cos \beta '+\sin \alpha '\sin \beta '\cos \gamma .}$

Zobacz też

• twierdzenie Dijkstry o trójkątach
• twierdzenie sinusów
• twierdzenie tangensów

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Law of Cosines, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].