Twierdzenie Dijkstry o trójkątach

Twierdzenie Dijkstry o trójkątach – twierdzenie określające związek między kątami i bokami w trójkącie. Sformułowane przez Edsgera Dijkstrę w okólniku EWD975 z 1986 roku^[1]^[2].

W epilogu okólnika autor pisze: „Znajduję się w paradoksalnej sytuacji. Jestem przekonany, że spośród osób znających twierdzenie Pitagorasa, niemal nikt nie jest w stanie przeczytać powyższego nie zaskoczywszy się choć raz. Co więcej, uważam te wszystkie zaskoczenia za istotne (ponieważ świadczą o ich [roli w] kształceniu rozumowania). Mimo to nie znam żadnego szanowanego periodyku, w którym mógłbym podjąć ten daremny trud”, przy czym ostatnie sformułowanie odnosi się do pozornie bezowocnego zajmowania się twierdzeniem Pitagorasa^[1]^[2].

Twierdzenie

Jeżeli w dowolnym trójkącie naprzeciw boków długości $a,b$ i $c$ znajdują się odpowiednio kąty $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ to zachodzi równość:

\operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(a^{2}+b^{2}-c^{2}),

gdzie $\operatorname {sgn}$ oznacza funkcję signum.

Dowód

Jest to trywialny wniosek z twierdzenia cosinusów:

\operatorname {sgn}(a^{2}+b^{2}-c^{2})=\operatorname {sgn}(a^{2}+b^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cos \gamma )=\operatorname {sgn}(2ab\cos \gamma )=\operatorname {sgn}(\cos \gamma ),

z drugiej strony

\operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(\alpha +\beta +\gamma -2\gamma )=\operatorname {sgn}(180^{\circ }-2\gamma )=\operatorname {sgn}(90^{\circ }-\gamma ).

Równość znaków wyrażeń

\cos \gamma ,\quad 90^{\circ }-\gamma

wynika natomiast z własności funkcji $\cos$ ^[2]^[3].

Przypisy

1 2 Edsger W.E.W. Dijkstra Edsger W.E.W., On the theorem of Pythagoras, JoelJ. Hockey (red.), obieg prywatny, 1986 [dostęp 2019-05-30] (ang.).
1 2 3 Klaas Pieter Hart. On the theorem of Pythagoras. „Nieuw Archief voor Wiskunde”. 2 (5/10), s. 94–98, 2009-06-02. (niderl. • ang.).
↑ Alexander Bogomolny: E.W. Dijkstra’s Proof of the Pythagorean Theorem. cut-the-knot.org. [dostęp 2019-04-24]. (ang.).

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[EWD-1] 1 2 Edsger W.E.W. Dijkstra Edsger W.E.W., On the theorem of Pythagoras, JoelJ. Hockey (red.), obieg prywatny, 1986 [dostęp 2019-05-30] (ang.).

[NAW-2] 1 2 3 Klaas Pieter Hart. On the theorem of Pythagoras. „Nieuw Archief voor Wiskunde”. 2 (5/10), s. 94–98, 2009-06-02. (niderl. • ang.).

[CTK-3] Alexander Bogomolny: E.W. Dijkstra’s Proof of the Pythagorean Theorem. cut-the-knot.org. [dostęp 2019-04-24]. (ang.).

[1]

[2]

[3]