Konstrukcje

Pierwsza „szkolna” metoda korzysta z własności geometrii płaszczyzny (przestrzeni) euklidesowej, kolejne dwie są poprawne również w geometrii afinicznej.

Sposób I (symetralna)

Skonstruować symetralną odcinka. Jego środek wyznaczony jest jako punkt przecięcia odcinka i jego symetralnej.

Sposób II (twierdzenie Talesa)

Zgodnie z rysunkiem obok:

• zaznaczyć punkt ${\displaystyle C}$ nienależący do odcinka ${\displaystyle AB,}$
• oznaczyć różny od ${\displaystyle A}$ punkt ${\displaystyle D}$ będący punktem przecięcia prostej ${\displaystyle AC}$ i okręgu ${\displaystyle o(C,AC),}$
• nakreślić prostą ${\displaystyle BD}$ i równoległą do niej prostą przechodzącą przez ${\displaystyle C,}$
• oznaczyć punkt przecięcia ${\displaystyle C'}$ odcinka ${\displaystyle AB}$ i prostej ${\displaystyle CC'.}$

Punkt ${\displaystyle C'}$ jest szukanym środkiem odcinka ${\displaystyle AB.}$

Sposób III (przecięcie przekątnych równoległoboku)

Zgodnie z oznaczeniami na rysunku:

• nakreślić dwie równoległe proste ${\displaystyle p,q}$ przechodzące odpowiednio przez punkty ${\displaystyle A,B,}$
• nakreślić dwie inne równoległe proste ${\displaystyle p',q'}$ przechodzące odpowiednio przez punkty ${\displaystyle A,B,}$
• wyznaczyć różną od ${\displaystyle AB}$ przekątną powstałego równoległoboku.

Punkt przecięcia przekątnych równoległoboku jest szukanym środkiem odcinka ${\displaystyle AB.}$

Geometrie metryczne

W tradycyjnym rozumieniu środek odcinka jest pojęciem metrycznym, dlatego można go definiować nie tylko w geometrii euklidesowej, ale także w innych metrycznych geometriach, takich jak geometria hiperboliczna czy eliptyczna, przy czym w tej drugiej każdy odcinek (rozumiany jako para różnych punktów) ma dwa środki. We wspomnianych trzech geometriach pojęcie to ma ścisły związek z symetralną odcinka.

Geometria afiniczna

Konstrukcje II i III pokazują, że środek odcinka można postrzegać jako pojęcie geometrii afinicznej. Mimo iż związek środka odcinka z jego symetralną zanika, to każdy odcinek posiada dokładnie jeden środek, ponieważ każda prosta jest przestrzenią metryczną.

W zamian środek ma silny związkiem z równoległobokiem i jego fundamentalną własnością wyrażaną popularnie jako „przekątne równoległoboku połowią się”, a ściśle

Twierdzenie

Czworobok ${\displaystyle ABCD}$ jest równoległobokiem (odcinki ${\displaystyle AB,CD}$ są równoległe i równej długości) wtedy i tylko wtedy, gdy punkty przecięcia odcinka ${\displaystyle AD}$ i ${\displaystyle BC}$ pokrywają się.

Powyższa równoważność oznacza, że pojęcie środka można zdefiniować za pomocą pojęcia równoległości i odwrotnie.

Własności i uwagi

Z podanych aksjomatów dla dowolnych ${\displaystyle a,b,c,x,x^{'}\in G}$ wynikają następujące własności:

• samorozdzielność,

  ${\displaystyle (a\oplus b)\oplus c=(a\oplus c)\oplus (b\oplus c),}$

• środkiem punktu (odcinka zdegenerowanego) jest on sam,
• ${\displaystyle a\oplus b=a\Rightarrow a=b,}$
• środek odcinka wyznaczony jest jednoznacznie,
• ${\displaystyle x\oplus a=x^{'}\oplus a\Rightarrow x=x^{'}.}$

Niezmienniczość operacji środka względem przekształcenia afinicznego ${\displaystyle f}$ (odpowiednio zdefiniowanego w algebrze środka) ma postać

${\displaystyle f(a\oplus b)=f(a)\oplus f(b),}$

co oznacza, że przekształcenia afiniczne są homomorfizmami przestrzeni afinicznych.

Relacja

Relacja określona na ${\displaystyle G\times G}$ wzorem

${\displaystyle ab\equiv cd\Leftrightarrow a\oplus d=b\oplus c}$

jest relacją równoważności. Klasy abstrakcji względem tej relacji tworzą grupę przemienną, której elementy można traktować jak grupę wektorów swobodnych. Do tego, aby ${\displaystyle G}$ była przestrzenią afiniczną brakuje tylko mnożenia przez skalar.