Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. pewna skończona liczba zbiorów pokrycia tworzy pokrycie)^[1].

Zbiorem zwartym nazywa się podzbiór przestrzeni topologicznej, który traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni) jest przestrzenią zwartą.

W niektórych źródłach (np. Engelking 1989 ↓ ) w definicji zwartości dodatkowo wymaga się, aby przestrzeń zwarta była przestrzenią Hausdorffa^[2], a przestrzenie zdefiniowane z pominięciem tego warunku nazywa się przestrzeniami quasi-zwartymi^[3].

Idea zwartości

Z punktu widzenia topologii przestrzenie zwarte mają pewne pożądane własności, np.

1. funkcja ciągła rzeczywista określona na przestrzeni zwartej jest ograniczona i osiąga swoje kresy,
2. funkcja ciągła rzeczywista lub zespolona na przestrzeni metrycznej zwartej jest jednostajnie ciągła,
3. każda przestrzeń metryczna zwarta jest zupełna,
4. w przestrzeni zwartej własność ${\displaystyle p}$ spełniana lokalnie jest też spełniana globalnie, tzn. jeżeli jakiekolwiek zbiory otwarte ${\displaystyle V,U}$ mają własność ${\displaystyle p,}$ to również ich suma ${\displaystyle V\cup U}$ ma tę własność.

Zwartość jest jednym z podstawowych pojęć topologicznych.

Przykłady zbiorów zwartych i niezwartych

(1) Tw. 1. Przedział ${\displaystyle (0,1)\subset \mathbb {R} }$ nie jest zbiorem zwartym.

Dowód: Rodzina zbiorów otwartych

${\displaystyle \left\{\left({\frac {1}{n}},\;{\frac {2}{n}}\right):n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2\right\}=\left\{\left({\frac {1}{2}},\;1\right),\;\left({\frac {1}{3}},\;{\frac {2}{3}}\right),\;\left({\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{2}}\right),\;\left({\frac {1}{5}},\;{\frac {2}{5}}\right),\dots \right\}}$

jest pokryciem tego przedziału (każdy punkt odcinka należy do któregoś ze zbiorów tej postaci), ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby cały przedział ${\displaystyle (0,1).}$

(2) Tw. 2. Przedział ${\displaystyle (-\infty ,\infty )=\mathbb {R} }$ nie jest zbiorem zwartym.

Dowód: Rodzina zbiorów otwartych

${\displaystyle \{(n,\;n+2):n\in \mathbb {Z} \}=\{\dots (-3;-1),\;(-2;0),\;(-1;1),\;(0;2),\;(1;3),\dots \}}$

jest pokryciem zbioru ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

(3) Tw. 3. Przedział ${\displaystyle [0,1]\subset \mathbb {R} }$ jest zwarty.

Dowód: Niech ${\displaystyle \sigma }$ będzie pokryciem odcinka ${\displaystyle [0,1].}$ Zdefiniujmy zbiór

${\displaystyle Z=\{x:0\leqslant x\leqslant 1}$ i odcinek ${\displaystyle [0,x]}$ można pokryć skończoną podrodziną rodziny ${\displaystyle \sigma \}}$

Oczywiście ${\displaystyle 0\in Z,}$ bo przedział ${\displaystyle [0,0]=\{0\}}$ jest pokryty pewnym elementem rodziny ${\displaystyle \sigma .}$ Zbiór ${\displaystyle Z}$ jest więc niepusty i ograniczony z góry. Ma więc kres górny ${\displaystyle z}$  i   ${\displaystyle z\in [0,1].}$

Zauważmy, że ${\displaystyle z>0,}$ bo biorąc jakieś otoczenie ${\displaystyle A\in \sigma }$ punktu ${\displaystyle 0,}$ znajdziemy pewien przedział ${\displaystyle [0;\epsilon ]\subset A,\,\epsilon >0,}$ a stąd ${\displaystyle \epsilon \in Z,}$ czyli ${\displaystyle z\geqslant \epsilon >0.}$

Przypuśćmy, że ${\displaystyle z<1}$ i niech ${\displaystyle z\in A\in \sigma }$ dla pewnego przedziału otwartego ${\displaystyle A,}$ istnieje wówczas przedział ${\displaystyle [z-\epsilon ;z+\epsilon ]\subset A,\,\epsilon >0,}$ Ponieważ ${\displaystyle z}$ jest kresem górnym zbioru ${\displaystyle Z,}$ więc w przedziale ${\displaystyle (z-\epsilon ;z]}$ istnieje punkt ${\displaystyle z_{1}\in Z.}$ Istnieje więc skończona podrodzina ${\displaystyle \sigma _{1}\subset \sigma }$ pokrywająca przedział ${\displaystyle [0;z_{1}].}$ A stąd przedział ${\displaystyle [0;z+{\tfrac {\epsilon }{2}}]=[0;z_{1}]\cup [z-\epsilon ;z+{\tfrac {\epsilon }{2}}]}$ jest pokryty przez skończoną rodzinę ${\displaystyle \sigma _{1}\cup \{A\}.}$ Oznacza to, że ${\displaystyle z+{\tfrac {\epsilon }{2}}\in Z}$ i ${\displaystyle z}$ nie jest kresem górnym zbioru ${\displaystyle Z.}$ Sprzeczność ta pokazuje, że ${\displaystyle z=1.}$

Niech ${\displaystyle 1\in A\in \sigma }$ dla pewnego zbioru otwartego ${\displaystyle A}$ i rozważmy przedział ${\displaystyle [1-\epsilon ;1]\subset A,\,\epsilon >0.}$ Podobnie jak wyżej, ${\displaystyle 1}$ jest kresem górnym zbioru ${\displaystyle Z,}$ więc w przedziale ${\displaystyle (1-\epsilon ;1]}$ istnieje punkt ${\displaystyle z_{1}\in Z.}$ Istnieje więc skończona podrodzina ${\displaystyle \sigma _{1}\subset \sigma }$ pokrywająca przedział ${\displaystyle [0;z_{1}].}$ A stąd przedział ${\displaystyle [0;1]=[0;z_{1}]\cup [1-\epsilon ;1]}$ jest pokryty przez skończoną rodzinę ${\displaystyle \sigma _{1}\cup \{A\},}$ cnd.

Własności

Tw. 4. Ciągły obraz przestrzeni zwartej jest zwarty.

Dowód: Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią zwartą, a ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ odwzorowaniem ciągłym. Udowodnimy, że obraz ${\displaystyle f(X)}$ jest zwarty. W tym celu weźmy dowolne otwarte pokrycie ${\displaystyle \{V_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}$ zbioru ${\displaystyle f(X).}$ Wtedy ${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{f^{-1}(V_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }}$ jest otwartym pokryciem ${\displaystyle X.}$ Istotnie, otwartość elementów rodziny ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ od razu wynika z ciągłości ${\displaystyle f.}$ Ponadto dla dowolnego ${\displaystyle x\in X}$ istnieje zbiór ${\displaystyle V_{\lambda '},}$ taki że ${\displaystyle f(x)\in V_{\lambda '}.}$ Dlatego też ${\displaystyle x\in f^{-1}(V_{\lambda '}).}$ Na mocy zwartości ${\displaystyle X}$ istnieje skończona rodzina zbiorów ${\displaystyle \{f^{-1}(V_{\lambda _{1}}),f^{-1}(V_{\lambda _{2}}),\dots ,f^{-1}(V_{\lambda _{n}})\}}$ będąca pokryciem ${\displaystyle X.}$ Zatem rodzina ${\displaystyle \{V_{\lambda _{1}},V_{\lambda _{2}},\dots ,V_{\lambda _{n}}\}}$ jest otwartym, skończonym pokryciem ${\displaystyle f(X).}$ Oznacza to, że z dowolnego otwartego pokrycia ${\displaystyle f(X)}$ można wybrać skończone podpokrycie, co oznacza, że zbiór ${\displaystyle f(X)}$ jest zwarty, cnd.

Tw. 5. (Twierdzenie Weierstrassa)

Funkcja ciągła na przestrzeni zwartej o wartościach w ${\displaystyle \mathbb {R} }$ jest ograniczona i przyjmuje swoje kresy.

Dowód: Niech ${\displaystyle f\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$ będzie ciągłą funkcją na przestrzeni zwartej ${\displaystyle X.}$ Wówczas ${\displaystyle f(X)}$ jest zwarty jako ciągły obraz przestrzeni zwartej. Na mocy Tw. Heinego-Borela ${\displaystyle f(X)}$ jest domknięty i ograniczony. Ograniczoność ${\displaystyle f(X)}$ oznacza, że ${\displaystyle f}$ jest ograniczona. Z definicji supremum i infimum, na mocy domkniętości ${\displaystyle f(X)}$ wynika że ${\displaystyle \inf f(X)\in f(X)}$ oraz ${\displaystyle \sup f(X)\in f(X).}$ Zatem ${\displaystyle f}$ przyjmuje swoje kresy, cnd.

Tw. 6. (Twierdzenie Tichonowa)

(a) Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych (z topologią produktową) jest zwarty.

(b) Zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa jest domknięty.

Dowód: Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią Hausdorffa, a ${\displaystyle A\subset X}$ jej zwartym podzbiorem. Aby udowodnić, że ${\displaystyle A}$ jest domknięty uzasadnimy, że ${\displaystyle X\setminus A}$ jest otwarty. Wystarczy zatem udowodnić, że dla dowolnego ${\displaystyle x\in X\setminus A}$ istnieje otoczenie, które nie zawiera punktów ze zbioru ${\displaystyle A.}$
Niech ${\displaystyle x\in X\setminus A,}$ ${\displaystyle y\in A.}$ Wówczas na mocy aksjomatu Hausdorffa istnieją otoczenie ${\displaystyle V_{y}}$ punktu ${\displaystyle x}$ oraz otoczenie ${\displaystyle U_{y}}$ punktu ${\displaystyle y}$ takie że ${\displaystyle V_{y}\cap U_{y}=\emptyset .}$
Rodzina ${\displaystyle \{U_{y}\}_{y\in A}}$ stanowi otwarte pokrycie ${\displaystyle A.}$ Na mocy zwartości ${\displaystyle A}$ istnieje skończone podpokrycie ${\displaystyle \{U_{y_{1}},U_{y_{2}},\dots ,U_{y_{n}}\}.}$ Każdy zbiór ${\displaystyle U_{y_{i}}}$ jest rozłączny z odpowiednim zbiorem ${\displaystyle V_{y_{i}}.}$ Zatem przekrój ${\displaystyle V=\bigcap _{i=1}^{n}V_{i}}$ jest rozłączny z każdym ze zbiorów ${\displaystyle U_{y_{i}}.}$ Więc ${\displaystyle V}$ jest otoczeniem ${\displaystyle x,}$ które jest rozłączne z ${\displaystyle A.}$ Z dowolności ${\displaystyle x}$ wynika, że zbiór ${\displaystyle A}$ jest domknięty, cnd.

Tw. 7. Ciągła bijekcja zwartej przestrzeni ${\displaystyle X}$ na przestrzeń Hausdorffa ${\displaystyle Y}$ jest homeomorfizmem.

Dowód: Wystarczy wykazać, że obrazami zbiorów domkniętych są zbiory domknięte. Niech ${\displaystyle A\subset X}$ będzie domknięty i niech ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ będzie ciągłą bijekcją zwartej przestrzeni ${\displaystyle X}$ w przestrzeń Hausdorffa ${\displaystyle Y.}$ Wówczas ${\displaystyle A}$ jest zwarty jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej. Stąd ${\displaystyle f(A)}$ jest zwarty jako ciągły obraz zbioru zwartego. Więc ${\displaystyle f(A)}$ jest domknięty jako zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa, cnd.

Tw. 8. Każdy domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty.

Dowód: Niech ${\displaystyle A\subset X}$ będzie domkniętym podzbiorem przestrzeni zwartej ${\displaystyle X.}$ Weźmy dowolne otwarte pokrycie ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ zbioru ${\displaystyle A.}$ Ponieważ ${\displaystyle A}$ jest domknięty, to jego dopełnienie jest otwarte i razem z ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ stanowi otwarte pokrycie przestrzeni ${\displaystyle X.}$ Ponieważ przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest zwarta, więc z jej pokrycia ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}\cup \{X\setminus A\}}$ możemy wybrać skończone podpokrycie ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ przestrzeni ${\displaystyle X.}$ Ale ${\displaystyle A\subset X,}$ więc ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ jest zarazem pokryciem zbioru ${\displaystyle A.}$ Zatem ${\displaystyle A}$ jest zwarty, cnd.

Tw. 9. Zwarta przestrzeń Hausdorffa jest normalna.

Zwartość w przestrzeniach metrycznych

Przedział ${\displaystyle A=(-\infty ,-2]}$ nie jest zwarty, bo nie jest ograniczony. Przedział ${\displaystyle C=(2,4)}$ nie jest zwarty, bo nie jest domknięty. Przedział ${\displaystyle B=[0,1]}$ jest zwarty, bo jest domknięty i ograniczony.

Tw. 10. Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią metryczną. Następujące warunki są równoważne:

• przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest zwarta,
• każdy ciąg ${\displaystyle (x_{n})}$ w tej przestrzeni zawiera podciąg ${\displaystyle (x_{n_{k}})}$ zbieżny do punktu należącego do tej przestrzeni (tzn. ${\displaystyle X}$ jest ciągowo zwarta),
• z każdego przeliczalnego pokrycia można wybrać podpokrycie skończone, tzn. ${\displaystyle X}$ jest przeliczalnie zwarta,
• dla każdej funkcji ciągłej ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ obraz ${\displaystyle f(X)}$ jest ograniczony, tzn. ${\displaystyle X}$ jest pseudozwarta.

Tw. 11. Zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest ograniczony.

Dowód: Niech ${\displaystyle A}$ będzie zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej ${\displaystyle (X,d).}$
Należy udowodnić, że ${\displaystyle \operatorname {diam} (A)=\sup\{d(x,y)\colon x,y\in A\}<\infty .}$
Wykorzystamy fakt, że metryka ${\displaystyle d\colon X\times X\rightarrow \mathbb {R} }$ jest ciągła. Obcięcie ${\displaystyle f=d|_{A}}$ jest ciągłe. Na mocy tw. Weierstrassa funkcja ${\displaystyle f}$ jest ograniczona. Zatem ${\displaystyle \sup\{f(x,y):x,y\in A\}<\infty .}$ Czyli ${\displaystyle \operatorname {diam} (A)<\infty .}$ Wykazaliśmy, że zbiór ${\displaystyle A}$ jest ograniczony, cnd.

(twierdzenie Heinego-Borela) Podzbiór przestrzeni euklidesowej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

Pseudozwartość

Przestrzeń topologiczną nazywamy pseudozwartą jeśli jest przestrzenią Tichonowa i każda ciągła funkcja o wartościach rzeczywistych jest ograniczona^[4]. Każda przestrzeń zwarta jest pseudozwarta, jednak istnieją przestrzenie pseudozwarte, które nie są zwarte. Na przykład liczba porządkowa ${\displaystyle \omega _{1}}$ z topologią porządkową jest pseudozwarta, ale nie jest zwarta.

Zwartość a ciągowa zwartość

Przestrzeń topologiczną ${\displaystyle X}$ nazywamy ciągowo zwartą jeśli każdy ciąg ${\displaystyle (x_{n})}$ w tej przestrzeni zawiera podciąg ${\displaystyle (x_{n_{k}})}$ zbieżny, tzn. istnieje element ${\displaystyle x\in X}$ taki, że każde otwarte otoczenie ${\displaystyle U}$ punktu ${\displaystyle x}$ zawiera wszystkie elementy ciągu ${\displaystyle (x_{n_{k}})}$ poza co najwyżej skończoną ich liczbą^[5]. W klasie przestrzeni metryzowalnych pojęcia zwartości i ciągowej zwartości pokrywają się. Istnieją jednak przestrzenie zwarte, które nie są ciągowo zwarte oraz przestrzenie ciągowo zwarte, które nie są zwarte (na przykład, liczba porządkowa ${\displaystyle \omega _{1}}$ z topologią porządkową).

Pojęcia pokrewne

• przestrzeń Lindelöfa
• przestrzeń parazwarta
• przestrzeń przeliczalnie zwarta

Zobacz też

• kompaktyfikacja przestrzeni
• przestrzeń lokalnie zwarta
• przestrzeń spójna
• topologia Tichonowa

Przypisy

Bibliografia

• RyszardR. Engelking RyszardR., Topologia ogólna, wyd. II, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989 (Biblioteka Matematyczna, 47), s. 148–257 .

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Compact Space, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-09].