Fraktal Newtona dla ${\displaystyle z_{i+1}=z_{i}^{3}-1}$

Fraktal Newtona dla z³ – 1 = 0

Fraktal Newtona dla równania ${\displaystyle p(z)=z^{5}-1}$

Wstęga Newtona (znany też jako fraktal Newtona albo basen Newtona) – zbiór Julii meromorficznej funkcji ${\displaystyle z\mapsto z-{\tfrac {p(z)}{p'(z)}},}$ która jest dana przez metodę Newtona, dla wielomianów ${\displaystyle p(Z)\in \mathbb {C} [Z].}$

Fraktale Newtona otrzymuje się w następujący sposób: niech ${\displaystyle \zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n}}$ będą pierwiastkami wielomianu ${\displaystyle p(z),}$ gdzie ${\displaystyle n=deg(p).}$ Każdemu z nich przypisujemy inny kolor, odpowiednio ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}.}$ Dodatkowo wybieramy jeszcze kolor ${\displaystyle c_{n+1}.}$

Następnie wybieramy jakiś zbiór ${\displaystyle w}$ punktów na płaszczyźnie zespolonej i każdy rysujemy kolorem c(w), gdzie procedura wybierania c(w) jest następująca:

1. ${\displaystyle z_{0}=w;z_{k+1}=z_{k}-{\frac {p(z_{k})}{p'(z_{k})}}}$ (dla ${\displaystyle k\geqslant 0}$),
2. jeśli ${\displaystyle \lim _{n->\infty }{z_{n}}=\zeta _{k},}$ to ${\displaystyle c(w)=c_{k}.}$ Jeśli nie istnieje takie ${\displaystyle \zeta _{k}}$ (czyli metoda nie zbiega dla danego ${\displaystyle z_{0},}$ to ${\displaystyle c(w)=c_{n+1}}$).

Zobacz też

• dywan Sierpińskiego
• fraktal
• kostka Mengera
• metoda Newtona
• MPSolve – obliczanie punktów miejsc zerowych wielomianów
• paproć Barnsleya
• zbiór Cantora
• zbiór Julii
• zbiór Mandelbrota