Dywan Sierpińskiego – fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3×3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów. Nazwa pochodzi od nazwiska Wacława Sierpińskiego[1].
Definicja formalna
Niech będzie kwadratem jednostkowym na płaszczyźnie kartezjańskiej czyli Dla danego mając zbiór będący sumą kwadratów o bokach długości i rozłącznych wnętrzach, definiujemy zbiór będący sumą kwadratów o bokach długości i rozłącznych wnętrzach następująco: każdy z kwadratów, których sumą jest zbiór dzielimy na 9 kwadratów o bokach długości i rozłącznych wnętrzach i usuwamy ze zbioru wnętrza środkowych kwadratów. Dywan Sierpińskiego D jest częścią wspólną ciągu zbiorów
Alternatywna definicja
Dywan Sierpińskiego jest domknięciem zbioru punktów takich że w rozwinięciu liczb i w trójkowym systemie liczbowym nigdzie nie występuje cyfra 1 na tym samym miejscu po przecinku.
Topologicznym dywanem Sierpińskiego nazywamy każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z powyżej zdefiniowanym dywanem Sierpińskiego.
Własności dywanu Sierpińskiego
- Wymiar fraktalny dywanu Sierpińskiego wynosi ln 8/ln 3 = 1,8928...
- Pole powierzchni dywanu Sierpińskiego jest zerowe
- Dowód: W kolejnych krokach konstrukcji fraktala usuwamy z każdego z kwadratów składowych środkowy kwadrat o polu 9 razy od niego mniejszym, pozostaje zaś z niego 8 kwadratów o łącznym polu równym jego pola. Niech oznacza pole zbioru Mamy zatem:
skąd:
- Zatem dla dostatecznie dużych jest dowolnie małe, co oznacza, że dywan Sierpińskiego zawarty jest w figurach o dowolnie małych polach powierzchni, musi zatem mieć zerowe pole powierzchni.
- Dywan Sierpińskiego jest przestrzenią uniwersalną dla krzywych płaskich, tzn. każde jednowymiarowe continuum na płaszczyźnie jest homeomorficzne z podzbiorem dywanu Sierpińskiego.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Sierpińskiego dywan, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-28] .
Bibliografia
- Roman Duda: Wprowadzenie do topologii, Część I, Topologia ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986, s. 247–248. ISBN 83-01-05714-9.
- Ryszard Engelking, Karol Sieklucki: Geometria i topologia, Część II, Topologia. Warszawa: PWN, 1980, s. 131–132. ISBN 83-01-01371-0.