Pierwsze twierdzenie

Jeżeli ${\displaystyle G,\ H}$ są grupami, a

${\displaystyle f\colon G\to H}$

jest homomorfizmem, to

• jądro ${\displaystyle K}$ homomorfizmu ${\displaystyle f}$ jest podgrupą normalną ${\displaystyle G,}$
• obraz ${\displaystyle f}$ jest podgrupą ${\displaystyle H,}$ a
• grupa ilorazowa ${\displaystyle G/K,}$ nazywana czasem koobrazem, jest izomorficzna z obrazem ${\displaystyle f.}$

Jeżeli ciąg rozszczepia się, to ${\displaystyle G}$ jest w rzeczywistości iloczynem półprostym. W kategorii abelowej lemat o rozszczepianiu uściśla ten fakt do rozkładu ${\displaystyle G}$ na sumę prostą.

Drugie twierdzenie (znane też jako trzecie)

Niech

${\displaystyle H,K}$ będą podgrupami ${\displaystyle G,}$

${\displaystyle H}$ będzie podgrupą normalną ${\displaystyle G.}$

Wówczas

Iloczyn ${\displaystyle HK}$ grup ${\displaystyle H}$ oraz ${\displaystyle K}$ jest podgrupą w ${\displaystyle G,}$

${\displaystyle H\cap K}$ jest podgrupą normalną w ${\displaystyle K,}$ a

${\displaystyle HK/H}$ jest izomorficzna z ${\displaystyle K/(H\cap K).}$

Trzecie twierdzenie (znane też jako drugie)

Jeżeli

${\displaystyle M,N}$ są podgrupami normalnymi w ${\displaystyle G}$ takimi, że ${\displaystyle M}$ zawiera się w ${\displaystyle N,}$

to

${\displaystyle M}$ jest podgrupą normalną w ${\displaystyle N,}$

${\displaystyle N/M}$ jest podgrupą normalną w ${\displaystyle G/M,}$

${\displaystyle (G/M)/(N/M)}$ jest izomorficzna z ${\displaystyle G/N.}$

Wynik ten uogólnia się przez lemat dziewiątkowy na kategorie abelowe i bardziej ogólne odwzorowania między obiektami.

Pierwsze twierdzenie

Jeżeli ${\displaystyle A,B}$ są algebrami, a ${\displaystyle f}$ homomorfizmem z ${\displaystyle A}$ do ${\displaystyle B,}$ to relacja równoważności ${\displaystyle \Phi }$ określona na ${\displaystyle A}$ wzorem

${\displaystyle a\sim b\iff f(a)=f(b)}$ jest kongruencją na ${\displaystyle A,}$ zaś algebra ${\displaystyle A/\Phi }$ jest izomorficzna z obrazem ${\displaystyle f,}$ czyli podalgebrą w ${\displaystyle B.}$

Drugie twierdzenie

Dla danej algebry ${\displaystyle A}$ i jej podalgebry ${\displaystyle B}$ oraz kongruencji określonej na ${\displaystyle A,}$ niech ${\displaystyle [B]\Phi }$ będzie podzbiorem ${\displaystyle A/\Phi }$ wyznaczanym przez wszystkie klasy kongruencji zawierające element z ${\displaystyle B.}$ Symbol ${\displaystyle \Phi _{B}}$ będzie oznaczał przecięcie ${\displaystyle \Phi }$ (rozpatrywane jako podzbiór ${\displaystyle A\times A}$) z ${\displaystyle B\times B.}$ Wówczas ${\displaystyle [B]\Phi }$ jest podalgebrą ${\displaystyle A/\Phi ,}$ a ${\displaystyle \Phi _{B}}$ jest kongruencją na ${\displaystyle B}$ i wreszcie algebra ${\displaystyle [B]\Phi }$ jest izomorficzna z algebrą ${\displaystyle B/\Phi _{B}.}$

Trzecie twierdzenie

Niech ${\displaystyle A}$ będzie algebrą, a ${\displaystyle \Phi }$ oraz ${\displaystyle \Psi }$ będą dwoma relacjami kongruencji określonymi na ${\displaystyle A,}$ gdzie ${\displaystyle \Psi }$ zawiera się w ${\displaystyle \Phi .}$ Wówczas ${\displaystyle \Phi }$ wyznacza kongruencję ${\displaystyle \Theta }$ na ${\displaystyle A/\Psi }$ określoną wzorem

${\displaystyle [a]_{\Psi }\sim [b]_{\Psi }\iff a\sim _{\Phi }b,}$ a ${\displaystyle A/\Phi }$ jest izomorficzna z ${\displaystyle (A/\Psi )/\Theta .}$