Analityczny z definicji Cauchy’ego ciągłości

Niech ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} .}$ Bez straty ogólności można założyć, że ${\displaystyle d}$ jest liczbą z przedziału otwartego ${\displaystyle (f(a),f(b)).}$

Niech

${\displaystyle A=\{x\in [a,b]\colon f(x)\leqslant d\}=f^{-1}[(-\infty ,d]],}$

${\displaystyle A^{c}=\{x\in [a,b]\colon f(x)>d\}=f^{-1}[(d,+\infty )].}$

Wówczas zbiory ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle A^{c}}$ są niepuste. Zbiór A posiada ograniczenie górne, którym jest ${\displaystyle b}$ więc istnieje na mocy aksjomatu ciągłości ${\displaystyle s=\sup A.}$ Dla danych ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ,p_{0}\in T}$ oraz ${\displaystyle r>0}$ oznaczmy

${\displaystyle B_{T}(p_{0};r)=\{p\in T:|p-p_{0}|<r\}.}$

Wykażemy, że ${\displaystyle f(s)=d.}$ Istotnie, wobec ciągłości funkcji, właściwości supremum oraz rozłączności zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle A^{c}}$ spełnione są następujące ciągi implikacji:

${\displaystyle f(s)<d\Rightarrow (s\neq b)\,\land \,\exists _{\delta >0}\;(B_{[a,b]}(s;\delta )\subseteq f^{-1}[B_{\mathbb {R} }(f(s);d-f(s))]\subseteq A)\,\land \,(s+\delta <b),}$

czyli:

${\displaystyle \exists _{\delta >0}\ (s,s+\delta )\cap A\neq \emptyset \Rightarrow \sup A\neq s,}$

w innym przypadku:

${\displaystyle f(s)>d\Rightarrow \exists _{\delta >0}\;B_{[a,b]}(s;\delta )\subseteq f^{-1}[B_{\mathbb {R} }(f(s);f(s)-d)]\subseteq A^{c}\Rightarrow \exists _{\delta >0}\ A\cap (s-\delta ,s]=\emptyset \Rightarrow \sup A\neq s.}$

Zatem poprzez sprzeczność dowodzi się, że nie jest możliwym aby ${\displaystyle f(s)\neq d.}$

Analityczny z definicji Heinego ciągłości

Niech ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ będzie funkcją oraz niech ${\displaystyle d}$ będzie liczbą z przedziału otwartego ${\displaystyle (f(a),f(b)).}$ Zastosujmy rozumowanie analogiczne do metody równego podziału.

Zdefiniujmy indukcyjnie ciągi ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty },}$ ${\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty },}$ ${\displaystyle (c_{n})_{n=0}^{\infty }{:}}$

• ${\displaystyle a_{0}=a,b_{0}=b,c_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{0}+b_{0}),}$
• jeśli ${\displaystyle f(c_{n})=d,}$ to koniec dowodu,
  jeśli ${\displaystyle f(c_{n})>d,}$ to ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n},}$ ${\displaystyle b_{n+1}=c_{n},}$
  jeśli ${\displaystyle f(c_{n})<d,}$ to ${\displaystyle a_{n+1}=c_{n},}$ ${\displaystyle b_{n+1}=b_{n}}$
  ${\displaystyle c_{n+1}={\tfrac {1}{2}}(a_{n+1}+b_{n+1}).}$

Tak zdefiniowane ciągi ${\displaystyle (a_{n}),\ (b_{n})}$ mają następujące własności:

1. ${\displaystyle a_{n}\leqslant a_{n+1}<b_{n+1}\leqslant b_{n},}$
2. ${\displaystyle b_{n+1}-a_{n+1}={\frac {1}{2}}(b_{n}-a_{n}).}$
3. ${\displaystyle f(a_{n})\leqslant d\leqslant f(b_{n}),}$

Z własności 1. 2. wynika, że ciągi ${\displaystyle (a_{n}),\ (b_{n})}$ jako monotoniczne i ograniczone są zbieżne i maję tę samą granicę. Oznaczmy

${\displaystyle c=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}.}$

Na podstawie ciągłości funkcji ${\displaystyle f(x)}$ ciągi ${\displaystyle f(a_{n}),\ f(b_{n})}$ są zbieżne, mają tę samą granicę oraz

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(a_{n})=f(c)=\lim _{n\to \infty }f(b_{n}).}$

Jednocześnie z własności 3. wynika zachowanie nierówności przy przejściu granicznym, tzn.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(a_{n})\leqslant d\leqslant \lim _{n\to \infty }f(b_{n}).}$

Stąd

${\displaystyle f(c)=d.}$

Topologiczny

Niech ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ będzie funkcją oraz niech ${\displaystyle d}$ będzie liczbą z przedziału otwartego ${\displaystyle (f(a),f(b)).}$ Przypuśćmy, że ${\displaystyle d}$ nie jest wartością funkcji ${\displaystyle f.}$ Wówczas przeciwobraz przestrzeni topologicznej ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{d\}}$ powinien być równy dziedzinie (którą tutaj jest przedział ${\displaystyle [a,b]}$), jednak wobec ciągłości funkcji będzie on sumą dwóch niepustych, rozłącznych, otwartych przeciwobrazów, a zatem przestrzenią niespójną, co wyklucza się z faktem spójności drogowej dziedziny. Wobec czego poprzez sprzeczność dowodzi się, że ${\displaystyle d}$ nie może nie być wartością funkcji.

Przedstawione rozumowanie wiąże się z twierdzeniem o szerszym zakresie mówiącym, że ciągły obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym. Przykładem funkcji ciągłej o niespójnym zbiorze wartości i niespójnej dziedzinie jest signum, tj. funkcja ${\displaystyle sgn(x)={\frac {x}{|x|}}}$ określona na zbiorze liczb rzeczywistych bez zera ${\displaystyle (x\in \mathbb {R} \setminus \{0\})}$^[4][5][6].