Liczba ${\displaystyle k}$-wymiarowych sympleksów w sympleksie ${\displaystyle n}$-wymiarowym

Dana jest dwuargumentowa funkcja ${\displaystyle N(n,k)}$ określająca liczbę sympleksów ${\displaystyle k}$-wymiarowych w sympleksie ${\displaystyle n}$-wymiarowym, przy czym ${\displaystyle n\geqslant k.}$ Oczywiste jest wówczas, że dowolny sympleks ${\displaystyle n}$-wymiarowy składa się z:

• ${\displaystyle n+1}$ sympleksów zerowymiarowych, czyli wierzchołków:

${\displaystyle N(n,k)=n+1;\quad k=0,}$

• dokładnie jednego sympleksu ${\displaystyle n}$-wymiarowego, czyli z samego siebie:

${\displaystyle N(n,k)=1;\quad k=n.}$

Aby, mając dany ${\displaystyle n}$-wymiarowy sympleks, utworzyć na jego podstawie sympleks ${\displaystyle (n+1)}$-wymiarowy, należy dodać 1 nowy wierzchołek. Wynika stąd, iż ${\displaystyle (n+1)}$-wymiarowy sympleks będzie miał o 1 wierzchołek więcej, niż sympleks ${\displaystyle n}$-wymiarowy. Nowe krawędzie (sympleksy jednowymiarowe) dodajemy, łącząc wszystkie wierzchołki pierwotnego sympleksu z nowo utworzonym wierzchołkiem. Tak więc liczba krawędzi w obecnym sympleksie zwiększy się o liczbę wierzchołków w sympleksie pierwotnym. Nowe ściany (sympleksy dwuwymiarowe) tworzymy natomiast, łącząc wszystkie wierzchołki starego sympleksu z nowym wierzchołkiem. Stąd też liczba ścian nowego sympleksu powiększy się o liczbę krawędzi w starym sympleksie itd. Uogólniając powyższe spostrzeżenie na dowolny wymiar: każdy ${\displaystyle n}$-wymiarowy sympleks posiada pewną liczbę sympleksów ${\displaystyle k}$-wymiarowych, która jest równa liczbie tych sympleksów dla ${\displaystyle (n-1)}$-wymiarowego sympleksu, powiększoną o liczbę sympleksów ${\displaystyle (k-1)}$-wymiarowych dla tegoż sympleksu. To wszystko zachodzi oczywiście dla ${\displaystyle 0<k<n{:}}$

${\displaystyle N(n,k)=N(n-1,k-1)+N(n-1,k);\quad 0<k<n.}$

Z powyższych rozważań utworzyć można rekurencyjny wzór na liczbę ${\displaystyle k}$-wymiarowych sympleksów w dowolnym sympleksie ${\displaystyle n}$-wymiarowym:

${\displaystyle N(n,k)=\left\{{\begin{array}{l}n+1;&k=0\\1;&k=n\\N(n-1,k-1)+N(n-1,k);&0<k<n\end{array}}\right..}$

Zauważmy, że gdyby ${\displaystyle N(n,k)=n;\quad k=1}$ wówczas powyższy wzór opisywałby symbol Newtona, czyli ${\displaystyle N(n,k)={n \choose k}}$ Jednak ponieważ ${\displaystyle N(n,k)=n+1;\quad k=0}$ jedynym racjonalnym wzorem, spełniającym wszystkie 3 powyższe warunki wzoru rekurencyjnego, jest ${\displaystyle N(n,k)={n+1 \choose k+1}}$ Dlatego też ostatecznie wzór jawny na liczbę ${\displaystyle k}$-wymiarowych sympleksów w dowolnym sympleksie ${\displaystyle n}$-wymiarowym wyraża się wzorem:

${\displaystyle N(n,k)={n+1 \choose k+1}.}$

Środek masy sympleksu

• Definicja jawna

Jest to punkt będący średnią arytmetyczną odpowiednich współrzędnych wszystkich ${\displaystyle n+1}$ wierzchołków ${\displaystyle n}$-wymiarowego sympleksu:

${\displaystyle S_{n}={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{k=1}^{n+1}P_{k}.}$

• Definicja rekurencyjna

Dla sympleksu jednowymiarowego (odcinka) – średnia arytmetyczna odpowiednich współrzędnych obu wierzchołków.

Dla sympleksu ${\displaystyle n}$-wymiarowego, gdzie ${\displaystyle n\geqslant 2}$ – punkt przecięcia się wszystkich środkowych sympleksu, przy czym środkowa sympleksu jest to odcinek łączący dowolny wierzchołek ze środkiem masy sympleksu ${\displaystyle (n-1)}$-wymiarowego przeciwległego do tego wierzchołka.

Środek masy sympleksu foremnego

Dowolny ${\displaystyle n}$-wymiarowy sympleks foremny można zorientować w ${\displaystyle n}$-wymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych w taki sposób, aby wartości ${\displaystyle n}$-tej współrzędnej dla ${\displaystyle n}$ wierzchołków były równe 0, zaś wartość tej współrzędnej dla ${\displaystyle (n+1)}$-tego wierzchołka była różna od 0. Wówczas owe n wierzchołków tworzy pewien ${\displaystyle (n-1)}$-wymiarowy sympleks foremny, będący podstawą naszego sympleksu ${\displaystyle n}$-wymiarowego, zaś wartość ${\displaystyle n}$-tej współrzędnej określa jego wysokość. Ponieważ wartości tej współrzędnej wszystkich wierzchołków podstawy wynosi 0, jej wartość dla ich średniej arytmetycznej również wynosi 0. Wynika stąd, iż ${\displaystyle n}$-ta współrzędna dla środka masy podstawy także ma wartość 0. Jedynie współrzędna ta dla ${\displaystyle (n+1)}$-tego wierzchołka ma wartość różną od 0. W takim razie wartość ${\displaystyle n}$-tej współrzędnej dla wszystkich ${\displaystyle n+1}$ wierzchołków jest sumą ${\displaystyle n}$ zer i jednej wartości różnej od zera, podzieloną przez ${\displaystyle n+1.}$ Tak więc wartość tejże współrzędnej dla środka masy naszego ${\displaystyle n}$-wymiarowego sympleksu jest ilorazem jego wysokości podzieloną przez ${\displaystyle n+1.}$ Ostatecznie, środek danego sympleksu n-wymiarowego ${\displaystyle S_{n}}$ położony jest w odległości równej ${\displaystyle {\tfrac {1}{n+1}}}$ jego wysokości od środka masy jego podstawy ${\displaystyle S_{n-1}}$ i w odległości wynoszącej ${\displaystyle {\tfrac {n}{n+1}}}$ jego wysokości od wierzchołka przeciwległego do tej podstawy ${\displaystyle P_{n+1}{:}}$

${\displaystyle |S_{n}S_{n-1}|=h_{n}\cdot {\frac {1}{n+1}},}$

${\displaystyle |S_{n}P_{n+1}|=h_{n}\cdot {\frac {n}{n+1}}.}$

Wysokość sympleksu foremnego

Biorąc pod uwagę definicję sympleksu foremnego, jego podstawy, jak również i wysokości, udowodnić można prawdziwość poniższej rekurencyjnej zależności pomiędzy wysokością n-wymiarowego sympleksu foremnego ${\displaystyle h_{n}}$ a wysokością jego podstawy ${\displaystyle h_{n-1}{:}}$

${\displaystyle h_{n}={\sqrt {h_{n-1}^{2}-{\frac {h_{n-1}^{2}}{n^{2}}}}}}$

Powyższą zależność odpowiednio przekształcamy:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {h_{n-1}^{2}-{\frac {h_{n-1}^{2}}{n^{2}}}}}&=h_{n-1}{\sqrt {1-{\frac {1}{n^{2}}}}}\\&={h_{n-1}}\cdot {\frac {\sqrt {n^{2}-1}}{n}}\\&={h_{n-1}}\cdot {\frac {\sqrt {(n-1)(n+1)}}{n}}\\&=h_{n}.\end{aligned}}}$

Jako warunek brzegowy tej rekurencyjnej zależności, zakładamy, że wysokość 1-wymiarowego sympleksu foremnego, czyli odcinka, jest równy długości tegoż odcinka, czyli długości krawędzi naszego sympleksu:

${\displaystyle h_{1}=x.}$

Następnie, chcąc policzyć wysokość dowolnego ${\displaystyle n}$-wymiarowego sympleksu foremnego, podstawiamy do powyższej rekurencyjnej zależności odpowiednio kolejne wartości dla ${\displaystyle k}$ równego od 1 do ${\displaystyle n.}$ W wyniku tego otrzymujemy następujący iloczyn:

${\displaystyle h_{n}=x\cdot {\frac {\sqrt {1\cdot 3}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2\cdot 4}}{3}}\cdot \ldots \cdot {\frac {\sqrt {(n-2)n}}{n-1}}\cdot {\frac {\sqrt {(n-1)(n+1)}}{n}}.}$

Upraszczamy możliwie najbardziej powyższe wyrażenie:

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}&=x\cdot {\frac {\sqrt {(1\cdot 3)\cdot (2\cdot 4)\cdot \ldots \cdot (n-2)n\cdot (n-1)(n+1)}}{n!}}\\&=x\cdot {\frac {\sqrt {1\cdot 2\cdot \left({\frac {(n-1)!}{2}}\right)^{2}\cdot n\cdot (n+1)}}{n!}}\\&=x\cdot {\frac {(n-1)!{\sqrt {2n(n+1)}}}{2n!}}\\&=x\cdot {\frac {\sqrt {2n(n+1)}}{2n}}\\&=x{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}.\end{aligned}}}$

Ostatecznie, wysokość ${\displaystyle n}$-wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości ${\displaystyle x}$ wyraża się wzorem:

${\displaystyle h_{n}=x{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}}$

Natomiast rekurencyjna zależność na tę wysokość:

${\displaystyle h_{n}=\left\{{\begin{array}{l}x;&n=1\\{h_{n-1}}\cdot {\frac {\sqrt {(n-1)(n+1)}}{n}};&n>1\end{array}}\right..}$

Nietrudno policzyć, że wysokość sympleksu foremnego o nieskończonej liczbie wymiarów dąży do:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }h_{n}=\lim _{n\to \infty }x{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}={\frac {x{\sqrt {2}}}{2}}}$

Miara główna sympleksu foremnego

Pod pojęciem miary głównej ${\displaystyle n}$-wymiarowego sympleksu foremnego rozumieć należy wielkość będącą uogólnieniem długości odcinka, pola powierzchni trójkąta równobocznego oraz objętości czworościanu foremnego, na ${\displaystyle n}$-ty wymiar. Dowolny ${\displaystyle n}$-wymiarowy sympleks foremny można podzielić na podstawę, składającą się z n wierzchołków, oraz ${\displaystyle (n+1)}$-tego przeciwległego do tej podstawy wierzchołka. Pomiędzy podstawą a przeciwległym do niej wierzchołkiem istnieje pewna wielkość zwana wysokością sympleksu, która jest równa odległości tego wierzchołka od ${\displaystyle (n-1)}$-wymiarowej hiperpłaszczyzny, w której zawarta jest podstawa. Wysokość sympleksu jest liniowo wprost proporcjonalna do odległości podstawy od przeciwległego do niej wierzchołka. Gdyby połączyć każdy wierzchołek podstawy z wierzchołkiem do niej przeciwległym, wówczas można zauważyć, że nasz ${\displaystyle n}$-wymiarowy sympleks jest odzwierciedleniem tejże podstawy, znajdującej się w pewnej odległości od jej przeciwległego wierzchołka, w pewnej skali. Ponieważ wszystkie odcinki, uzyskane z połączenia wierzchołków należących do podstawy z przeciwległym do niej wierzchołkiem, są liniami prostymi, skala długości krawędzi podstawy jest liniowo wprost proporcjonalna do jej odległości od jej przeciwległego wierzchołka. Natomiast stosunek skal ${\displaystyle (n-1)}$-wymiarowych miar głównych dwóch podstaw jest równy ${\displaystyle (n-1)}$-szej potędze stosunku długości odpowiednich krawędzi tych podstaw. Wynika więc stąd, iż stosunek skal ${\displaystyle (n-1)}$-wymiarowych miar głównych dwóch podstaw ${\displaystyle X_{(n-1)1}}$ i ${\displaystyle X_{(n-1)2}}$ jest równy ${\displaystyle (n-1)}$-szej potędze stosunku odpowiednich wysokości ${\displaystyle h_{n1}}$ i ${\displaystyle h_{n2}}$ łączących te podstawy z przeciwległym do nich wierzchołkiem:

${\displaystyle {\frac {X_{(n-1)1}}{X_{(n-1)2}}}=\left.\left({\frac {h_{n1}}{h_{n2}}}\right)^{n-1}\quad \right|\cdot X_{(n-1)2}.}$

Mnożąc obie strony powyższego równania przez ${\displaystyle X_{(n-1)2}}$ otrzymujemy:

${\displaystyle X_{(n-1)1}=X_{(n-1)2}\left({\frac {h_{n1}}{h_{n2}}}\right)^{n-1}.}$

Zakładamy, że pierwsza podstawa jest skalą podstawy naszego n-wymiarowego sympleksu foremnego w zależności od zmiennej z przedziału od 0 do ${\displaystyle h_{n},}$ zaś druga podstawa jest podstawą tegoż sympleksu oraz pierwsza wysokość jest zmienną w przedziale od 0 do ${\displaystyle h_{n}}$ zaś druga wysokość jest wysokością tego sympleksu:

${\displaystyle X_{(n-1)2}=X_{n-1},}$

${\displaystyle h_{n1}=x,}$

${\displaystyle h_{n2}=h_{n}.}$

Wówczas miara główna naszego n-wymiarowego sympleksu foremnego jest całką od 0 do ${\displaystyle h_{n}}$ ze skali tego sympleksu w zależności od zmiennej z przedziału od 0 do ${\displaystyle h_{n}{:}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{n}&=\int \limits _{0}^{h_{n}}\,X_{n-1}\left({\frac {h}{h_{n}}}\right)^{n-1}dh\\&={\frac {X_{n-1}}{h_{n}^{n-1}}}\int \limits _{0}^{h_{n}}\,h^{n-1}dh\\&={\frac {X_{n-1}}{h_{n}^{n-1}}}\left[{\frac {h^{n}}{n}}\right]_{0}^{h_{n}}\\&={\frac {X_{n-1}}{h_{n}^{n-1}}}\cdot {\frac {h_{n}^{n}}{n}}\\&={\frac {1}{n}}X_{n-1}h_{n}.\end{aligned}}}$

Tak więc z powyższego wyrażenia wynika, iż miara główna ${\displaystyle n}$-wymiarowego sympleksu foremnego jest równa iloczynowi współczynnika ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ miary głównej podstawy tegoż sympleksu oraz jego wysokości, co ma charakter rekurencyjny:

${\displaystyle X_{n}={\frac {1}{n}}X_{n-1}h_{n}.}$

Ze wzoru na wysokość sympleksu foremnego łatwo zauważyć, że wysokość 1-wymiarowego sympleksu foremnego, a więc dla ${\displaystyle n=1,}$ jest równa długości jego krawędzi:

${\displaystyle h_{1}=x.}$

Następnie, chcąc policzyć miarę główną naszego sympleksu, podstawiamy do powyższej rekurencyjnej zależności odpowiednio kolejne wartości dla ${\displaystyle k}$ równego od 1 do ${\displaystyle n.}$ W wyniku tego otrzymujemy następujący iloczyn:

${\displaystyle X_{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot \ldots \cdot {\frac {1}{n-1}}\cdot {\frac {1}{n}}\cdot h_{1}\cdot h_{2}\cdot \ldots \cdot h_{n-1}\cdot h_{n}.}$

Upraszczamy możliwie najbardziej powyższe wyrażenie:

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{n}&={\frac {1}{n!}}\cdot x\cdot {\frac {x{\sqrt {3}}}{2}}\cdot \ldots \cdot x{\sqrt {\frac {n}{2(n-1)}}}\cdot x{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}\\&={\frac {1}{n!}}\cdot x^{n}{\sqrt {{\frac {2}{2\cdot 1}}\cdot {\frac {3}{2\cdot 2}}\cdot \ldots \cdot {\frac {n}{2(n-1)}}\cdot {\frac {n+1}{2n}}}}\\&={\frac {x^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {(n+1)!}{2^{n}n!}}}\\&={\frac {x^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}.\end{aligned}}}$

Ostatecznie, miara główna ${\displaystyle n}$-wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości ${\displaystyle x}$ wyraża się wzorem:

${\displaystyle X_{n}={\frac {x^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}.}$

Natomiast rekurencyjna zależność na miarę główną naszego sympleksu:

${\displaystyle X_{n}=\left\{{\begin{array}{l}x^{n};&n\leqslant 1\\{\frac {1}{n}}X_{n-1}h_{n};&n>1\end{array}}\right..}$

Nietrudno policzyć, że miara główna sympleksu foremnego o nieskończonej liczbie wymiarów dąży do:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }X_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}=0.}$

Całkowita miara k-wymiarowa sympleksu foremnego n-wymiarowego

Pod pojęciem k-wymiarowej miary całkowitej n-wymiarowego sympleksu foremnego rozumieć należy wielkość będącą uogólnieniem obwodu (całkowitej miary 1-wymiarowej) trójkąta równobocznego (sympleksu foremnego 2-wymiarowego), czworościanu foremnego (sympleksu foremnego 3-wymiarowego) oraz jego pola powierzchni całkowitej (całkowitej miary 2-wymiarowej), odpowiednio na ${\displaystyle k}$-ty i ${\displaystyle n}$-ty wymiar. Nietrudno zauważyć, że dowolny ${\displaystyle n}$-wymiarowy sympleks foremny o krawędzi długości x składa się z ${\displaystyle N(n,k)}$ jednakowych ${\displaystyle k}$-wymiarowych sympleksów foremnych, z których długości poszczególnych krawędzi również są równe ${\displaystyle x.}$ Tak więc ${\displaystyle k}$-wymiarowa miara całkowita ${\displaystyle n}$-wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości ${\displaystyle x}$ jest równa iloczynowi miary głównej pojedynczego k-wymiarowego sympleksu foremnego o długości krawędzi, która także wynosi ${\displaystyle x,}$ czyli ${\displaystyle X_{k}}$ oraz liczby wszystkich takich k-wymiarowych sympleksów foremnych w danym n-wymiarowym sympleksie foremnym ${\displaystyle N(n,k){:}}$

${\displaystyle X_{kn}=N(n,k)\cdot X_{k}={n+1 \choose k+1}{\frac {x^{k}}{k!}}{\sqrt {\frac {k+1}{2^{k}}}}.}$

Nietrudno policzyć, że dowolna ${\displaystyle k}$-wymiarowa miara całkowita sympleksu foremnego o nieskończonej liczbie wymiarów dąży do:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }X_{kn}=\lim _{n\to \infty }{n+1 \choose k+1}{\frac {x^{k}}{k!}}{\sqrt {\frac {k+1}{2^{k}}}}\to \infty .}$