Stała Michaelisa ${\displaystyle (K_{m})}$ – współczynnik występujący w modelu Michaelisa-Menten reakcji enzymatycznej. Jest definiowany jako stężenie substratu, przy którym szybkość reakcji enzymatycznej jest równa połowie jej szybkości maksymalnej ${\displaystyle (V_{max})}$^{[1][2][uwaga 1]}. Stała ta jest wyrażana w molach na dm³ i określa powinowactwo enzymu do substratu: im jest mniejsza, tym powinowactwo jest większe, natomiast duża wartość tej stałej mówi o małym powinowactwie enzymu do substratu.

Wartość stałej K_m dla większości enzymów przyjmuje wartości z zakresu 10⁻⁵ do 10⁻³ mol/dm³.

Równanie Michaelisa-Menten, pochodzące od nazwisk Leonora Michaelisa i Maud Menten, opisuje zależność szybkości reakcji od stężenia substratu: ${\displaystyle v={\frac {V_{max}[S]}{K_{m}+[S]}}.}$

Z równania Michaelisa-Menten wynika, że przy stałym stężeniu enzymu szybkość reakcji w pewnych granicach zależy od stężenia substratu. Na wykresie zależności szybkości reakcji od stężenia substratu widoczne jest, że:

• przy niewielkim stężeniu substratu w stosunku do stężenia enzymu pojawia się zależność liniowa między stężeniem substratu a szybkością reakcji; ta sytuacja odpowiada reakcji pierwszego rzędu opisywanej równaniem kinetycznym ${\displaystyle v=k[A]}$
• w przypadku dużego stężenia substratu szybkość reakcji zbliża się do jej maksymalnej wartości, a stężenie substratu nie ma wpływu na szybkość reakcji, sytuacja ta odpowiada kinetyce zerowego rzędu opisywanej równaniem ${\displaystyle v=k.}$ Tego typu reakcja ma miejsce w przypadku całkowitego wysycenia enzymu substratem.

Na stałą Michaelisa wpływa:

• pH
• rodzaj substratu
• siła jonowa
• temperatura.

Nie zależy ona natomiast od stężenia enzymu.

Wyprowadzenie równania

Prawdziwość powyższego równania opiera się na przedstawionym poniżej schemacie reakcji na dwóch kluczowych założeniach: całkowite stężenie enzymu i stężenie produktu pośredniego nie zmieniają się w czasie. Najbardziej odpowiednim równaniem Michaelisa-Menten jest równanie opisane przez Briggsa i J.B.S. Haldane, które przedstawiono poniżej (należy zauważyć, że eksperymentalny parametr ${\displaystyle k_{cat}}$ również jest używany, ale w tym przypadku jest równy parametrowi kinetycznemu ${\displaystyle k_{2}}$):

Założono, że reakcja enzymatyczna jest nieodwracalna, a produkt nie kompleksuje się z enzymem.

${\displaystyle E+S{\overset {k_{1}}{\underset {k_{-1}}{\begin{smallmatrix}\displaystyle \longrightarrow \\\displaystyle \longleftarrow \end{smallmatrix}}}}ES{\overset {k_{2}}{\longrightarrow }}E+P\qquad \qquad (1)}$

Pierwszym założeniem w tym wyprowadzeniu jest pseudostan równowagi chemicznej, założenie określające, że stężenie enzymu połączonego z substratem ${\displaystyle ([ES])}$ zmienia się wolniej niż stężenie produktu ${\displaystyle ([P])}$ i substratu ${\displaystyle ([S])}$. Umożliwia to ustalenie stopnia zmian ${\displaystyle [ES]}$ jako zero, a także zapisanie stopnia tworzenia produktu jako:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d[ES]}{dt}}&=k_{1}[E][S]-[ES](k_{-1}+k_{2})\;{\overset {!}{=}}\;0&(2)\\[.5em]{\frac {d[P]}{dt}}&=k_{2}[ES]&(3)\end{aligned}}}$

Drugim kluczowym założeniem jest to, że całkowite stężenie enzymu ${\displaystyle ([E]_{0})}$ nie zmienia się w czasie, zatem całkowite stężenie enzymu ${\displaystyle [E]_{0}}$ można zapisać jako sumę wolnego enzymu w roztworze ${\displaystyle [E]}$ i tego, który jest już związany z substratem ${\displaystyle [ES]{:}}$

${\displaystyle [E]_{0}=[E]+[ES]\;{\overset {!}{=}}\;{\text{const}}.}$

Podstawiając to do równania (2), otrzymuje się wyrażenie na [ES], które w rezultacie może być wykorzystane w równaniu (3), aby znaleźć równanie na stopień tworzenia produktu:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=k_{1}[S]([E]_{0}-[ES])-[ES](k_{-1}+k_{2})\\k_{1}[S][E]_{0}&=k_{1}[S][ES]+[ES](k_{-1}+k_{2})\\{}[S][E]_{0}&=[S][ES]+[ES]\underbrace {\frac {(k_{-1}+k_{2})}{k_{1}}} _{K_{M}}\\{}[S][E]_{0}&=(K_{M}+[S])[ES]\\{}[ES]&={\frac {[S][E]_{0}}{K_{M}+[S]}}\\\\{\frac {d[P]}{dt}}&=v_{0}=k_{2}[ES]=\underbrace {k_{2}[E]_{0}} _{v_{\max }}{\frac {[S]}{K_{M}+[S]}}\\v_{0}&={\frac {v_{\max[}S]}{K_{M}+[S]}}\;\;\;\;\;\qquad \qquad (4)\\\\{\frac {1}{v_{0}}}&={\frac {K_{M}}{v_{\max }}}\cdot {\frac {1}{[S]}}+{\frac {1}{v_{\max }}}\qquad (5)\end{aligned}}}$

Ponieważ stężenie substratu w trakcie przebiegu reakcji ulega zmianie, początkowa szybkość reakcji ${\displaystyle v_{0}}$ została użyta dla uproszczenia obliczeń, dając początkowe stężenie substratu ${\displaystyle [S].}$ Równanie szybkości reakcji (4) może być również zapisane w równaniu (5), które wykorzystuje ujemne ${\displaystyle v_{0}}$ i ${\displaystyle [S].}$ To znacznie ułatwia ustalenie stałych z obliczanych danych (proces, w wyniku którego można narysować wykres Lineweavera-Burka czy wykres Hanesa-Woolfa).

Krzywa zawartości enzymu w roztworze przedstawiająca związek pomiędzy stężeniem substratu i szybkości reakcji.

Równanie (4) daje wynik tak zwanej krzywej nasycenia roztworu (wykres po prawej stronie). Graficznie i matematycznie można wyróżnić kilka interesujących sytuacji:

• Gdy stężenie substratu ${\displaystyle [S]}$ jest duże w porównaniu do ${\displaystyle K_{M},}$ wtedy w przybliżeniu ${\displaystyle [S]/(K_{M}+[S])\approx 1.}$ Zatem szybkość tworzenia produktu opisana jest równaniem:

${\displaystyle {\frac {d[P]}{dt}}\approx v_{\max }=k_{2}[E]_{0}.}$

W ten sposób szybkość tworzenia produktu zależy wyłącznie od stężenia enzymu, a równanie przypomina reakcję jednocząsteczkową z odpowiadającą stałą ${\displaystyle k_{2}}$ dla pseudopierwszorzędowej reakcji. Zatem nie jest ważne, jak często enzym i substrat ulegają zbliżeniu, tylko jak szybko kompleks [ES] przekształca swój związany substrat w produkt.

• Gdy stężenie substratu ${\displaystyle [S]=K_{M}}$ wtedy ${\displaystyle [S]/(K_{M}+[S])=[S]/(2[S])={\frac {1}{2}}.}$ Dlatego szybkość tworzenia produktu opisana jest równaniem

${\displaystyle {\frac {d[P]}{dt}}=0,5\cdot v_{\max }=0,5\cdot k_{2}[E]_{0}.}$

• Gdy stężenie substratu ${\displaystyle [S]}$ jest małe w porównaniu do ${\displaystyle K_{M},}$ wtedy w przybliżeniu ${\displaystyle [S]/(K_{M}+[S])\approx [S]/K_{M}}$ i również powstaje niewielka ilość kompleksu ES, więc ${\displaystyle [E]_{0}\approx [E].}$ Dlatego szybkość tworzenia produktu opisana jest wzorem:

${\displaystyle {\frac {d[P]}{dt}}\approx v_{\max }\cdot [S]/K_{M}\approx {\frac {k_{2}}{K_{M}}}[E][S].}$

Zatem szybkość tworzenia produktu zależy od stężenia enzymu, jak również od stężenia substratu. Równanie przypomina równanie kinetyczne reakcji drugiego rzędu z odpowiednią stałą ${\displaystyle k_{2}/K_{M}}$ szybkości reakcji pseudodrugorzędowej. Ta stała jest miarą wydajności reakcji, tzn. jak wydajnie enzym przetwarza substrat w produkt. Najbardziej wydajne enzymy osiągają ${\displaystyle k_{2}/K_{M}}$ w zakresie od 10⁸ – 10¹⁰ M⁻¹ s⁻¹, który jest też zakresem dyfuzji. Takie enzymy są tak efektywne, że pozwalają na wydajne katalizowanie reakcji za każdym razem, gdy tylko napotkają cząsteczkę substratu. Można więc uznać, że takie enzymy osiągają górny teoretyczny limit wydajności. Takie enzymy często nazywa się „idealnymi enzymami”.

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Włodzimierz Bednarski, Jan Fiedurk, Podstawy biotechnologii przemysłowej, WNT, Warszawa 2012, ISBN 978-83-63623-42-5.