Prawo naprawdę wielkich liczb – twierdzenie z pogranicza statystyki i psychologii, które mówi, że dla wystarczająco wielkiej liczby prób każde niezwykłe (czyli bardzo rzadkie w każdej pojedynczej próbie) zdarzenie jest (niemal^{[uwaga 1]}) pewne^[1][2][3] (najczęściej chodzi o poza-przyczynowe: zbiegi okoliczności^[4], czy też o pozorne korelacje^[5]). Jego autorami są Persi Diaconis i Frederick Mosteller.

Związane jest z faktem, że ludzie często nie uznają za warte zauważenia, gdy zachodzą zdarzenia prawdopodobne, czyli mieszczące się w wyidealizowanym modelu, a wyolbrzymiają zdarzenia nieprawdopodobne i zauważają je bardziej, niż wynika to z pełniejszego rachunku prawdopodobieństwa. Być może są to zdarzenia praktycznie niepowtarzalne, bądź objawiające się pewnym powiązaniem, ale tylko pozornym skorelowaniem, więc zwykle nie są w zainteresowaniu przyczynowo-skutkowych teorii naukowych, a z powodu znacznej łącznej liczby takich pozornych korelacji^[6] przynosić mogą równocześnie raczej problem zaciemnienia danych. Prawo to wykorzystuje się do podważania i obalania niektórych pseudonaukowych hipotez. Z tego powodu bywa, jak i jego aplikowanie, podważane i krytykowane przez naukowców skrajnych (np. wierzących w zjawiska paranormalne)^[7][8].

Prawo łączy się z tym, że mała niepewność/błąd oceny warunków początkowych (np. przybliżenie czy - nawet pomijalne dla każdej pojedynczej próby - niedoszacowanie prawdopodobieństwa) wyidealizowanego modelu może narastać po pewnej (być może znacznej) liczbie kolejnych prób powodując jego odbieganie od rzeczywistości i np. konieczność zmiany modelującego dane zjawisko rozkładu prawdopodobieństwa (porównaj też: efekt motyla, David Hand nazywa to "prawem dźwigni prawdopodobieństwa" i łączy m.in. z prawem naprawdę wielkich liczb w tzw. "zasadę nieprawdopodobieństwa")^[3].

Przykłady

1. Zachodzi przy ocenie, że jest możliwe wybranie elementów z zakresu osobliwych/nieprawdopodobnych (dla małej liczby prób) percentyli przy wystarczająco wielkiej liczbie prób^[9].

2. W uproszczonym przykładzie zachodzenia prawa załóżmy, że prawdopodobieństwo danego zdarzenia wynosi 0,1% w pojedynczej próbie. Wówczas prawdopodobieństwo, że to mało możliwe zdarzenie nie zajdzie w pojedynczej próbie, wynosi 99,9% = 0,999.

Jednakże już dla 1000 niezależnych prób prawdopodobieństwo, że to zdarzenie nie zajdzie w żadnej z nich wynosi tylko ${\displaystyle 0{,}999^{1000},}$ czyli w przybliżeniu 36,8%.

Prawdopodobieństwo, że zdarzenie zachodzi co najmniej raz na 1000 prób wyniesie wówczas ${\displaystyle 1-0{,}999^{1000},}$ w przybliżeniu 0,632, czyli 63,2%.

Prawdopodobieństwo, że zdarzenie zachodzi co najmniej raz na 10000 prób wyniesie ${\displaystyle 1-0{,}999^{10000}\approx 0{,}99995=99{,}995\%.}$

To oznacza, że „mało możliwe zdarzenie” (0,1% w pojedynczej próbie) charakteryzuje się prawdopodobieństwem zajścia około 63,2%, jeśli przeprowadzimy 1000 prób, lub ponad 99,9% dla 10000 prób. Innymi słowy, wysoce nieprawdopodobne – w jednej próbie – zdarzenie zajdzie (niemal^{[uwaga 1]}) na pewno, jeśli rozważymy wystarczająco wielką liczbę prób.

Zobacz też

• koincydencja
• paradoks dnia urodzin
• problem porównań wielokrotnych
• twierdzenie o nieskończonej liczbie małp

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Law of Truly Large Numbers, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).
• Robert Todd Carroll, Law of Truly Large Numbers, The Skeptic’s Dictionary (ang.)