Odwrotna dystrybuanta, funkcja kwantylowa^[1] – uogólniona funkcja odwrotna do dystrybuanty danego rozkładu prawdopodobieństwa. Zwykle oznaczana ${\displaystyle F^{-1}(p)}$^[2][3].

Jeżeli dystrybuanta ${\displaystyle F(x)}$ jest funkcją ściśle rosnącą, wówczas funkcję odwrotną można zdefiniować jako

${\displaystyle F^{-1}(p)=\{x\in \mathbb {R} :p=F(x)\},}$

gdzie ${\displaystyle p\in (0,1).}$

W przypadku, gdy dystrybuanta nie jest ściśle rosnąca, powyższa definicja nie jest jednoznaczna. Problemu tego unika się, definiując dystrybuantę odwrotną jako:

${\displaystyle F^{-1}(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :p\leqslant F(x)\},}$

gdzie ${\displaystyle p\in (0,1).}$

Tak zdefiniowana dystrybuanta odwrotna ma następujące własności:

${\displaystyle F^{-1}(p)}$ jest niemalejąca dla ${\displaystyle p\in (0,1),}$

${\displaystyle F^{-1}(p)}$ jest lewostronnie ciągła dla ${\displaystyle p\in (0,1),}$

${\displaystyle F^{-1}(F(x))\leqslant x}$ dla ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ takiego, że ${\displaystyle \Phi (x)\in (0,1),}$

${\displaystyle p\leqslant F(F^{-1}(p))}$ dla ${\displaystyle p\in (0,1).}$

Odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego

Szczególne znaczenie ma odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego. Może być ona zapisana za pomocą funkcji specjalnej, zwanej funkcją błędu ${\displaystyle \operatorname {erf} {:}}$

${\displaystyle F_{\mu ,\sigma ^{2}}^{-1}(p)=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p)=\mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).}$

gdzie:

${\displaystyle \mu }$ – wartość oczekiwana rozkładu,

${\displaystyle \sigma ^{2}}$ – wariancja rozkładu.

${\displaystyle F_{\mu ,\sigma ^{2}}^{-1}(p)}$ – odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego o średniej ${\displaystyle \mu }$ i wariancji ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ – odwrotna dystrybuanta standaryzowanego rozkładu normalnego ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$.

Zastosowanie

Odwrotną dystrybuantę stosuje się m.in. przy przekształcaniu zmiennych losowych o rozkładzie równomiernym na zmienne losowe o dowolnym innym rozkładzie prawdopodobieństwa^[4], wg wzoru:

${\displaystyle Y=F^{-1}(X),}$

gdzie:

${\displaystyle Y}$ – zmienna losowa o pożądanym rozkładzie prawdopodobieństwa,

${\displaystyle F}$ – dystrybuanta tego rozkładu,

${\displaystyle X}$ – zmienna losowa o rozkładzie równomiernym w przedziale (0,1).

Przypisy