Dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich

Układ współrzędnych kartezjańskich, prostokątny układ współrzędnych – prostoliniowy układ współrzędnych, którego osie są parami prostopadłe^[1].

Pewne cechy takiego układu mają szachownica znana od starożytności oraz pochodzące z XVI wieku odwzorowanie Mercatora. W 1636 roku prostokątnego układu współrzędnych używał Pierre de Fermat, jednak nie opublikował tych prac, przez co pozostały nieznane. Kartezjusz (fr. René Descartes) opracował to niezależnie i opublikował w 1637 roku w traktacie La Géométrie^[2] – stąd nazwa; francuski przymiotnik to cartesien. Wywołało to spór o pierwszeństwo z Fermatem, jednak zakończył się on pogodzeniem obu uczonych i wzajemnym uznaniem zasług^[3].

Definicja

Układem współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni n-wymiarowej nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:

• punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru, oznaczany literą ${\displaystyle O}$ (ang. origin – źródło, początek),
• ciąg n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
  • ${\displaystyle OX}$ (pierwsza oś, zwana osią odciętych),
  • ${\displaystyle OY}$ (druga, zwana osią rzędnych).

Liczba osi układu współrzędnych wyznacza wymiar przestrzeni.

Wykresy funkcji

Za pomocą układu współrzędnych kartezjańskich można tworzyć wykresy funkcji jednoargumentowych postaci:

${\displaystyle y=f(x),}$

np.

${\displaystyle f(x)=ax+b}$

przedstawia funkcję liniową. Podstawiając pod ${\displaystyle x}$ wartości, otrzymujemy drugą współrzędną ${\displaystyle y.}$

Współrzędne

Aby wyznaczyć k-tą współrzędną zadanego punktu ${\displaystyle P{:}}$

1. Tworzymy rzut prostokątny punktu ${\displaystyle P}$ na k-tą oś, tzn. konstruujemy prostą przechodzącą przez ${\displaystyle P}$ i prostopadłą do k-tej osi, a następnie znajdujemy punkt przecięcia tej prostej z k-tą osią.
2. Współrzędna tego punktu przecięcia na k-tej osi jest k-tą współrzędną punktu ${\displaystyle P.}$

Trzy pierwsze współrzędne są często oznaczane jako:

• ${\displaystyle x}$ – historyczna nazwa odcięta, łac. abscissa,
• ${\displaystyle y}$ – historyczna nazwa rzędna, łac. ordinata,
• ${\displaystyle z}$ – historyczna nazwa kota, łac. applicata.

Wzory w 2-wymiarowym układzie współrzędnych

• Współrzędne środka odcinka AB oznaczonego literą C, kiedy ${\displaystyle A=(a,b),}$ ${\displaystyle B=(c,d)}$

${\displaystyle C=\left({\tfrac {a+c}{2}},{\tfrac {b+d}{2}}\right)}$

• odległość punktu A od środka układu współrzędnych dla ${\displaystyle A=(a,b)}$

${\displaystyle A={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

• Długość odcinka AB dla ${\displaystyle A=(a,b),}$ ${\displaystyle B=(c,d)}$

${\displaystyle \vert AB\vert ={\sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}\quad {}}$ lub ${\displaystyle {}\quad {}\vert AB\vert ={\sqrt {(c-a)^{2}+(d-b)^{2}}}.}$

Ćwiartki i oktanty

Cztery ćwiartki układu współrzędnych kartezjańskich

Osie dwuwymiarowego układu kartezjańskiego dzielą płaszczyznę na cztery przystające, nieograniczone zbiory nazywane ćwiartkami; brzeg każdej z nich składa się z dwóch półosi^{[uwaga 1]}. Często numeruje się je od pierwszej do czwartej i oznacza symbolami rzymskimi: I (+,+), II (–,+), III (–,–) oraz IV (+,–), gdzie znaki w nawiasach odpowiadają znakom danej współrzędnej. Przy zwyczajowym rysowaniu osi, numeracja rozpoczyna się od prawej-górnej ćwiartki („północno-wschodniej”) i postępuje przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Podobnie trójwymiarowy układ współrzędnych określa podział przestrzeni na osiem części zwanych oktantami^[4], zgodnie z ośmioma sposobami ułożenia dwóch znaków +,– na trzech miejscach. Oktant, którego wszystkie trzy współrzędne są dodatnie, nazywany bywa pierwszym, jednak nie ma ogólnie przyjętej numeracji pozostałych oktantów. Uogólnienie ćwiartki i oktantu na wyższe wymiary nazywane bywa ortantem^[5].

Skrętność przestrzeni trójwymiarowej^[6]

Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej może być lewo- lub prawoskrętny. Terminy te są czysto umowne, gdyż nie sposób ściśle zdefiniować, jaki układ jest lewo- czy prawoskrętny, można jednak dla dwóch różnych układów sprawdzić, czy mają tę samą czy przeciwną skrętność.

Intuicyjnie prawoskrętny jest układ, w którym kiedy wnętrze obracającej się prawej dłoni zakreśla łuk od osi ${\displaystyle OX}$ do ${\displaystyle OY,}$ to kciuk ma zwrot zgodny ze zwrotem osi ${\displaystyle OZ}$ (tzw. reguła prawej dłoni Royberta albo reguła śruby prawoskrętnej). W ten sposób sprawdzamy, czy badany układ ma tę samą skrętność co układ wyznaczony przez prawą rękę człowieka.

Zobacz też

• algorytm Hirvonena
• przestrzeń kartezjańska
• geometria nieeuklidesowa
• układ współrzędnych biegunowych

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Antoni Smoluk: Analiza matematyczna. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-634-3.