Algorytm Hirvonena

Współrzędne geodezyjne i kartezjańskie

Algorytm Hirvonena – algorytm służący do transformacji współrzędnych ortokartezjańskich (prostokątnych) x, y, z na współrzędne geodezyjne B, L, h. Jest to proces iteracyjny. W wyniku 3-4-krotnego powtarzania procedury można przeliczyć współrzędne na poziomie dokładności 1 cm.

Obliczenia

wychodzimy ze wzorów na x,y,z:

X=(N+h)\cos B\cos L,

Y=(N+h)\cos B\sin L,

Z=[N(1-e^{2})+h]\sin B.

Długość geodezyjna L

{\frac {Y}{X}}={\frac {(N+h)\cos B\sin L}{(N+h)\cos B\cos L}}={\text{tg }}L,

L={\text{arctg }}{\frac {Y}{X}}.

Szerokość geodezyjna B

{\frac {Z}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}={\frac {[N(1-e^{2})+h]\sin B}{(N+H)\cos B}}={\frac {N+Ne^{2}+h}{N+h}}{\text{tg }}B=\left({\frac {N+h}{N+h}}-{\frac {Ne^{2}}{N+h}}\right){\text{tg }}B,

{\frac {Z}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}=\left(1-e^{2}{\frac {N}{N+h}}\right){\text{tg }}B,

{\text{tg }}B={\frac {Z}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}\left(1-e^{2}{\frac {N}{N+h}}\right)^{-1}.

Ostatecznie:

{\text{tg }}B_{(k+1)}={\frac {Z}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}\left(1-e^{2}{\frac {N_{k}}{N_{k}+h_{k}}}\right)^{-1}

przy czym:

{\text{tg }}B^{(k=0)}={\frac {Z}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}(1-e^{2})^{-1}.

Wysokość elipsoidalna (h)

{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}=(N+h)\cos B,

{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\cos B=N+h,

h={\frac {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}{\cos B}}-N.

Algorytm

obliczenie długości geodezyjnej L,
obliczenie szerokości geodezyjnej, B dla k = 0,
Na podstawie tego B₀ liczymy N₀ i h₀. Następnie mając dane N₀ i h₀ liczymy na ich podstawie B₁. Na podstawie B₁ liczymy N₁ i h₁ itd. Zazwyczaj wystarczają 3 iteracje. Proces jest powtarzany do uzyskania zadowalającej dokładności.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.