Hiperprzestrzeń – rodzina niepustych domkniętych zbiorów danej przestrzeni topologicznej, która sama jest przestrzenią topologiczną z topologią Vietorisa.

W terminologii topologicznej istnieją pewne rozbieżności co do znaczenia samego pojęcia. Niektóre źródła rozumieją przez hiperprzestrzeń rodzinę CL(X) złożoną ze wszystkich niepustych domkniętych podzbiorów przestrzeni topologicznej X, tj. największą możliwą hiperprzestrzeń. W teorii continuów, dla danego continuum, przez hiperprzestrzeń rozumie się zwykle rodzinę CLC(X) wszystkich niepustych domkniętych i spójnych podzbiorów przestrzeni X[1]. W teorii przestrzeni metrycznych przez hiperprzestrzeń rozumie się zwykle rodzinę 2X złożoną z niepustych podzbiorów zwartych przestrzeni X[1] (nie jest to zbiór potęgowy, zob. niżej). Najogólniejsza definicja hiperprzestrzeni to dowolna podprzestrzeń CL(X) z (dziedziczoną) topologią Vietorisa[2].

Kwestia oznaczeń

W topologii, niektórzy autorzy oznaczają symbolem 2X[3][4] lub exp(X)[5] zdefiniowaną wyżej rodzinę CL(X). Czasami przez CL(X) oznacza się rodzinę wszystkich domkniętych podzbiorów (a więc rodzinę zawierającą także zbiór pusty)[4]. W teorii mnogości symbolem 2X oznacza się czasem zbiór potęgowy danego zbioru X, tj. rodzinę wszystkich jego podzbiorów. Nawet w przypadku, gdy dany zbiór traktuje się jako przestrzeń dyskretną (tj. przestrzeń topologiczną w której wszystkie podzbiory są domknięte), wspomniane tu terminologie nie są ze sobą zgodne, bo zbiór pusty jest elementem zbioru potęgowego, ale nie jest z definicji elementem hiperprzestrzeni (w przyjętej tu definicji). Spotyka się również oznaczenie K(X) na hiperprzestrzeń złożoną ze zbiorów zwartych[4][6].

Własności

Metryzowalność

Istnieje ścisły związek pomiędzy zwartością hiperprzestrzeni a jej metryzowalnością. Dokładniej, jeżeli X jest przestrzenią typu T1 oraz przestrzeń CL(X) jest metryzowalna, to X jest zwarta oraz metryzowalna[11]. Zachodzą też następujące twierdzenia dotyczące hiperprzestrzeni złożonej z niepustych zbiorów zwartych:

  • Jeżeli X jest przestrzenią metryczną, to hiperprzestrzeń 2X jest metryzowalna przez metrykę Hausdorffa[12]. W przypadku, gdy X jest przestrzenią metryczną z metryką ograniczoną przez 1, kanoniczne włożenie X → 2X dane wzorem x → {x} jest wówczas izometrią[13].
  • Jeżeli X jest zupełną przestrzenią metryczną, to hiperprzestrzeń 2X jest metryzowalna w sposób zupełny. W szczególności, gdy X jest przestrzenią polską, to 2X też jest przestrzenią polską[14].
  • Jeżeli X jest zwartą przestrzenią metryczną, to przestrzeń 2X = CL(X) jest zwarta i metryzowalna[15][14].

Przypisy

Bibliografia

  • A. Dranishnikov: Extensors (c-12). W: red. K. P. Hart, J. Nagata, J. E. Vaughan: Encyclopedia of General Topology. Amsterdam: Elsevier Science Publishers B.V., 2004, s. 122–125. ISBN 978-0-444-50355-8. OCLC 4934231569.
  • Ryszard Engelking: General Topology. T. 6. Berlin: Heldermann Verlag,Sigma Series in Pure Mathematics, 1989. ISBN 3-88538-006-4. OCLC 20464424.
  • Alejandro Illanes, Sam B. Nadler, Jr.: Hyperspaces. Fundamentals and recent advances. New York: M. Dekker, 1999, seria: Pure and Applied Mathematics. ISBN 978-0-8247-1982-1.
  • Alexander S. Kechris: Classical Descriptive Set Theory. Springer-Verlag, 1995.
  • Takemi Mizokami, Norihito Shimane: Hyperspaces (b-6). W: red. K. P. Hart, J. Nagata, J. E. Vaughan: Encyclopedia of General Topology. Amsterdam: Elsevier Science Publishers B.V., 2004, s. 49–52. ISBN 978-0-444-50355-8. OCLC 4934231474.
  • Sam B. Nadler, Jr., Hyperspaces of sets, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Math., Vol. 49, Marcel Dekker, Inc., New York, N.Y., 1978.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.