Grupa cykliczna – grupa generowana przez pojedynczy element nazywany jej generatorem[1] (grupa cykliczna może mieć wiele generatorów, ale każdy z nich samodzielnie generuje tę grupę). Oznacza to, że poprzez cykliczne iterowanie (wielokrotne złożenie) działania grupowego na generatorze lub jego odwrotności można uzyskać dowolny element tej grupy; w notacji multiplikatywnej elementy są więc potęgami generatora, a w notacji addytywnej – jego wielokrotnościami.
Grupę cykliczną daje się zatem przedstawić jako
gdzie jest (pewnym wybranym) generatorem grupy W szczególności może się zdarzyć, iż będzie dla pewnego równe elementowi neutralnemu – w tym wypadku grupa zawiera skończenie wiele elementów; jeżeli taka sytuacja nie zachodzi, to grupa ma nieskończenie wiele (dokładnie: przeliczalnie wiele) elementów. Najmniejszą grupą cykliczną jest grupa trywialna zawierająca tylko jeden element; najmniejszą grupą niecykliczną jest grupa Kleina (nazywana również „czwórkową”) rzędu
Grupy cykliczne należą do najprostszych i najlepiej poznanych grup: skończone i nieskończone grupy cykliczne mają tę samą strukturę co (odpowiednio) grupy addytywne dla (zob. arytmetyka modularna) oraz (zob. liczby całkowite). W szczególności stanowią one „budulec” niektórych rodzajów grup przemiennych, zob. klasyfikacje grup przemiennych o skończonej liczbie elementów oraz grup przemiennych o skończonej liczbie generatorów.
Grupa multiplikatywna dowolnego ciała skończonego (tj. zbiór elementów odwracalnych, czyli niezerowych, z mnożeniem) jest grupą cykliczną; w szczególności grupa multiplikatywna pierścienia klas reszt modulo jest cykliczna dla dowolnej liczby pierwszej Ogólniej, jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy lub jest postaci lub dla nieparzystej liczby pierwszej i liczby naturalnej Z drugiej strony dowolna grupa rzędu będącego liczbą pierwszą jest cykliczna.
Zastosowania
Własności grup cyklicznych leżą u podstaw wielu mechanizmów kryptograficznych, m.in. protokołu wymiany kluczy Diffiego-Hellmana, czy schematu szyfrowania z kluczem publicznym ElGamal (będącego jego rozszerzeniem); oba algorytmy wykorzystują żywotnie prostotę obliczania funkcji wykładniczej w grupach cyklicznych oraz trudność obliczeń w przypadku logarytmu dyskretnego, czyli zagadnienia odwrotnego do wspomnianego.
Z chińskiego twierdzenia o resztach dla grup cyklicznych wynika tożsamość struktur (izomorfizm) grupy oraz grupy iloczynu prostego i (podobnie dla grup oraz i ). Spostrzeżenie to znajduje zastosowanie w wielu obszarach matematyki stosowanej, również w kryptografii (np. współdzieleniu tajemnicy, implementacjach algorytmu Rivesta-Shamira-Adlemana), czy obliczeniach rozproszonych. Wiele algorytmów kryptograficznych (w tym RSA) zasadza się na trudności rozkładu na czynniki liczby który umożliwia wgląd w strukturę grupy jako iloczynu prostego grup cyklicznych (por. klasyfikacja skończonych grup przemiennych).
Zobacz też
- grupa lokalnie cykliczna
- grupa policykliczna
- grupa quasi-cykliczna
Przypisy
- ↑ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), „Cyclic group”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.
Linki zewnętrzne
- James Stuart Milne: Group theory. (ang.).
- The Dog School of Mathematics: An introduction to cyclic groups. (ang.).