Funktory sprzężone – jedno z centralnych pojęć zaawansowanej teorii kategorii, ściśle związane z innymi ważnymi pojęciami, w szczególności z rozmaitymi zagadnieniami jednoznacznej faktoryzacji oraz z funktorami reprezentowalnymi poprzez funktory główne (zwane też hom-funktorami). W przeciwieństwie do wielu innych pojęć teorii kategorii, które można uznać za wysłowienie w języku kategorii intuicji oswojonych już w ramach algebry lub topologii, pojęcie funktora sprzężonego jest istotnie nowe.

Definicja funktorów sprzężonych kowariantnych

Załóżmy, że ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ i ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ są kategoriami, a ${\displaystyle \Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}}$ i ${\displaystyle \Psi \colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}}$ są funktorami kowariantnymi. Zbiór morfizmów ${\displaystyle A_{1}\to A_{2}}$ kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ będziemy oznaczać symbolem ${\displaystyle \langle A_{1},A_{2}\rangle _{\mathfrak {A}}.}$ Funktor ${\displaystyle \Phi }$ nazywa się lewym sprzężonym do funktora ${\displaystyle \Psi }$ i zarazem ${\displaystyle \Psi }$ nazywa się prawym sprzężonym do ${\displaystyle \Phi ,}$ gdy istnieje naturalna równoważność bifunktorów:

${\displaystyle \omega _{A,B}\colon \langle \Phi (A),B\rangle _{\mathfrak {B}}\to \langle A,\Psi (B)\rangle _{\mathfrak {A}}}$

(naturalna w obu zmiennych ${\displaystyle A\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {A}},B\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {B}}}$)^[1][2]. Będziemy używać zapisu typu ${\displaystyle \Gamma _{1}\rightleftharpoons \Gamma _{2}}$ na oznaczenie naturalnej równoważności funktorów ${\displaystyle \Gamma _{1},\Gamma _{2}.}$ Warunek sprzężoności zapisany w postaci ${\displaystyle \langle \Phi (A),B\rangle \rightleftharpoons \langle A,\Psi (B)\rangle }$ ułatwia zapamiętanie, który z funktorów jest lewym sprzężonym, a który prawym^{[uwaga 1]}. Ponadto optycznie przypomina to definicję ${\displaystyle \langle \Phi x,y\rangle =\langle x,\Psi y\rangle }$ operatora sprzężonego w przestrzeni Hilberta.

Produkt i hom jako funktory sprzężone

Będziemy korzystać z tego, że dowolną funkcję dwóch zmiennych ${\displaystyle f\colon A\times B\to C,}$ tradycyjnie oznaczaną symbolem ${\displaystyle f(x,y),\;x\in A,\;y\in B,}$ można utożsamić z rodziną ${\displaystyle \{g_{x}\}_{x\in A}}$ funkcji jednej zmiennej ${\displaystyle g_{x}\colon B\to C}$ określonych jako ${\displaystyle g_{x}(y)=f(x,y).}$ Ponieważ ${\displaystyle g_{x}\in C^{B},}$ gdzie ${\displaystyle C^{B}}$ oznacza zbiór wszystkich funkcji ${\displaystyle B\to C,}$ przyporządkowanie to prowadzi, przy ustalonym zbiorze ${\displaystyle B,}$ do naturalnej równoważności bifunktorów:

${\displaystyle \omega _{A,C}\colon \langle A\times B,\;C\rangle \to \langle A,\;C^{B}\rangle .}$

Znaczy to, że funktor ${\displaystyle -\!\times B{:}\ \mathbf {Set} \to \mathbf {Set} }$ mnożenia kartezjańskiego przez ustalony zbiór ${\displaystyle B}$ jest lewym sprzężonym do funktora głównego ${\displaystyle \langle B,-\rangle _{\mathbf {Set} },}$ wyznaczonego przez ${\displaystyle B.}$ Kreska ${\displaystyle -}$ jest tu symbolem zmiennej (za którą podstawić można symbole obiektów i morfizmów).

Rozpatrzmy przypadek, gdy ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ jest kategorią ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ grup abelowych, kategorią ${\displaystyle \mathbf {Vect_{K}} }$ przestrzeni liniowych nad ciałem ${\displaystyle K}$ lub ogólniej kategorią ${\displaystyle \mathbf {Mod_{R}} }$ modułów nad pierścieniem przemiennym ${\displaystyle R}$ z jednością i oznaczmy przez ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}$ zbiór ${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\mathfrak {A}}}$ zaopatrzony w strukturę obiektów danej kategorii. W ten sposób Hom staje się bifunktorem ${\displaystyle {\mathfrak {A}}^{\mathrm {op} }\times {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}.}$ Wiążąc to ze znanymi związkami bimorfizmów na produktach ${\displaystyle A\times B}$ (tzn. homomorfizmów względem każdej zmiennej osobno) z homomorfizmami na produktach tensorowych ${\displaystyle A\otimes B,}$ stwierdzamy naturalną równoważność funktorów trzech zmiennych

${\displaystyle \mathrm {Hom} (?_{1}\otimes ?_{2},?_{3})}$ i ${\displaystyle \mathrm {Hom} {\big (}?_{1},\mathrm {Hom} (?_{2},?_{3}){\big )},}$

gdzie ${\displaystyle ?_{1},?_{2},?_{3}}$ są symbolami tych zmiennych^[3].

Funktory sprzężone kontrawariantne

W przypadku funktorów kontrawariantnych mamy dwa rodzaje sprzężenia. Mianowicie jeśli ${\displaystyle \Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}}$ i ${\displaystyle \Psi \colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}}$ są funktorami kontrawariantnymi, to wyznaczają one cztery funktory kowariantne^[5].

${\displaystyle ^{*}\Phi \colon {\mathfrak {A}}^{\mathrm {op} }\to {\mathfrak {B}},\quad \Phi ^{*}\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}^{\mathrm {op} },\quad ^{*}\Psi \colon {\mathfrak {B}}^{\mathrm {op} }\to {\mathfrak {A}},\quad \Psi ^{*}\colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}^{\mathrm {op} }.}$

Dokonuje się tego poprzez złożenia funktorów ${\displaystyle \Phi ,\Psi }$ z funktorami dualizacji^[6].

${\displaystyle {\mathfrak {A}}^{\mathrm {op} }\to {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}},\quad {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}^{\mathrm {op} },\quad {\mathfrak {B}}^{\mathrm {op} }\to {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}},\quad {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}^{\mathrm {op} }}$

Funktory kontrawariantne ${\displaystyle \Phi ,\Psi }$ nazywają się prawostronnie sprzężone, gdy ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ jest lewym sprzężonym do ${\displaystyle ^{*}\Psi .}$ Jest to równoważne temu, że ${\displaystyle ^{*}\Phi }$ jest prawym sprzężonym do ${\displaystyle \Psi ^{*}.}$ Funktory ${\displaystyle \Phi ,\Psi }$ nazywają się lewostronnie sprzężone, gdy ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ jest prawym sprzężonym do ${\displaystyle ^{*}\Psi .}$ Jest to równoważne temu, że ${\displaystyle ^{*}\Phi }$ jest lewym sprzężonym do ${\displaystyle \Psi ^{*}.}$

Na przykład jeśli ${\displaystyle B}$ jest ustaloną przestrzenią liniową nad ciałem ${\displaystyle K,}$ to kontrawariantny funktor ${\displaystyle \mathrm {Hom} ({-},B){:}\ \mathbf {Vect_{K}} \to \mathbf {Vect_{K}} }$ jest prawostronnie sprzężony sam do siebie.

Związek z pojęciem jednoznacznej faktoryzacji

Funktory sprzężone mogą być zdefiniowane w języku zagadnień jednoznacznej faktoryzacji. Mianowicie dowodzi się, że funktor kowariantny ${\displaystyle \Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}}$ jest lewym sprzężonym do funktora ${\displaystyle \Psi \colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje transformacja naturalna ${\displaystyle \{\eta _{A}\}_{A\in {\mathrm {Ob} {\mathfrak {A}}}}}$ z funktora tożsamościowego ${\displaystyle i\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}}$ do złożenia ${\displaystyle \Psi \Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}}$ taka, że dla dowolnych obiektów ${\displaystyle A\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {A}},\;B\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {B}}}$ i dowolnego morfizmu ${\displaystyle \xi \colon A\to \Psi (B)}$ kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ istnieje jeden i tylko jeden morfizm ${\displaystyle \theta \colon \Phi (A)\to B}$ kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ taki, że odpowiedni diagram komutuje, tzn. ${\displaystyle \Psi (\theta )\eta _{A}=\xi }$^[1].

Kluczowym narzędziem dowodowym w omawianym tu kręgu zagadnień jest lemat Yonedy.

Reflektory i quasi-reflektory

Załóżmy, że ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ jest podkategorią kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {A}}.}$ Funktor ${\displaystyle \Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}}$ jest lewym sprzężonym do funktora inkluzji ${\displaystyle i\colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest reflektorem, tzn. ma następującą własność: Każdemu ${\displaystyle A\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {A}}}$ przyporządkowany jest morfizm ${\displaystyle \tau _{A}\colon A\to \Phi (A)}$ w kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ (tu ${\displaystyle \Phi (A)\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {B}}\subset \mathrm {Ob} {\mathfrak {A}}}$) mający własność jednoznacznej faktoryzacji: dla każdego ${\displaystyle B\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {B}}}$ i każdego morfizmu ${\displaystyle \xi \colon A\to B}$ w podkategorii ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ istnieje jeden i tylko jeden morfizm ${\displaystyle \theta \colon \Phi (A)\to B}$ w ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ taki, że diagram komutuje, tj. ${\displaystyle \theta \tau =\xi .}$ Podobnie definiuje się pojęcie quasi-reflektora jako lewego sprzężonego do funktora zapominania ${\displaystyle \Box \colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}.}$

Liczne przykłady reflektorów i quasi-reflektorów można znaleźć w rozmaitych dziedzinach matematyki^[7]. Oto niektóre z nich.

• Uzupełnienie przestrzeni metrycznej (metodą Cantora) wraz z przedłużeniem przekształceń spełniających warunek Lipschitza z przestrzeni do ich uzupełnień wyznacza reflektor z kategorii ${\displaystyle \mathbf {Metr} }$ do podkategorii pełnej przestrzeni zupełnych.
• Abelianizacja grupy^[8]. Jeżeli ${\displaystyle N=[G,G]}$ oznacza komutant grupy ${\displaystyle G,}$ to epimorfizmy kanoniczne ${\displaystyle G\to G/N}$ wyznaczają reflektor z ${\displaystyle \mathbf {Grp} }$ do ${\displaystyle \mathbf {Ab} .}$
• Uprzemiennianie pierścienia ${\displaystyle R}$ przez epimorfizm kanoniczny ${\displaystyle R\to R/I,}$ gdzie ${\displaystyle I}$ jest ideałem dwustronnym generowanym przez komutatory ${\displaystyle ab{-}ba}$ wyznacza reflektor z kategorii pierścieni do podkategorii pełnej pierścieni przemiennych^[9].
• Grupa abelowa ${\displaystyle A}$ nazywa się beztorsyjna, gdy każdy jej niezerowy element ${\displaystyle u}$ ma rząd nieskończony, tzn. ${\displaystyle nu\neq 0}$ dla ${\displaystyle n\neq 0}$ (${\displaystyle n}$ naturalne). Dla dowolnego obiektu ${\displaystyle A}$ kategorii ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ kanoniczny epimorfizm z ${\displaystyle A}$ na grupę ilorazową ${\displaystyle A/N}$ (gdzie ${\displaystyle N}$ jest podgrupą wszystkich elementów rzędu skończonego) ma powyższą własność jednoznacznej faktoryzacji i wyznacza reflektor z ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ do jej podkategorii pełnej grup beztorsyjnych^[7].
• Kategoria ${\displaystyle \mathbf {Vect} _{\mathbb {C} }}$ przestrzeni wektorowych nad ciałem ${\displaystyle \mathbb {C} }$ liczb zespolonych nie jest podkategorią kategorii ${\displaystyle \mathbf {Vect} _{\mathbb {R} },}$ ale można rozważać funktor zapominania ${\displaystyle \Box {:}\ \mathbf {Vect} _{\mathbb {C} }\to \mathbf {Vect} _{\mathbb {R} }}$ („zapomina się” o mnożeniu przez skalary urojone). Dla dowolnej przestrzeni wektorowej A nad ciałem ${\displaystyle \mathbb {R} }$ rozpatrujemy przyporządkowanie obiektowe funktora Φ jako Φ(A) = A×A z działaniem dodawania określonym jak w sumie prostej i mnożeniem wektora ${\displaystyle (a,b)}$ przez skalar ${\displaystyle s+it}$ określonym wzorem ${\displaystyle (s+it)(a,b)=(sa-tb,sb+ta)}$^[10].

Funktory reprezentowalne

Funktor kowariantny ${\displaystyle \Gamma \colon {\mathfrak {A}}\to \mathbf {Set} }$ nazywa się reprezentowalny przez obiekt ${\displaystyle A_{0},}$ gdy jest naturalnie równoważny funktorowi głównemu ${\displaystyle \langle A_{0},-\rangle _{\mathfrak {A}}.}$

W analogiczny sposób definiuje się reprezentowalność funktora kontrawariantnego jako naturalną równoważność funktorowi ${\displaystyle \langle -,A_{0}\rangle _{\mathfrak {A}}}$^[11].

Na przykład funktor zapominania ${\displaystyle \Box {:}\mathbf {Top} \to \mathbf {Set} ,}$ który każdej przestrzeni topologicznej przyporządkowuje jej nośnik (tzn. zbiór jej elementów, bez żadnej topologii), jest reprezentowalny przez przestrzeń jednopunktową. Podobnie funktor zapominania ${\displaystyle \Box {:}\mathbf {Grp} \to \mathbf {Set} }$ z kategorii grup jest reprezentowalny przez grupę ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ (wolną o jednym generatorze).

Funktor kowariantny z \mathbf{Set} do \mathbf{Set}, którego przyporządkowaniem obiektowym jest ${\displaystyle A\to A\times A,}$ jest reprezentowalny przez zbiór ${\displaystyle \mathbf {2} =\{0,1\};}$ opiera się to na tym, że każdy element ${\displaystyle \varphi }$ zbioru ${\displaystyle \langle \mathbf {2} ,A\rangle _{\mathbf {Set} }}$ jest funkcją ${\displaystyle \varphi \colon \{0,1\}\to A,}$ odpowiadającą parze ${\displaystyle (a_{0},a_{1})}$ w ${\displaystyle A\times A.}$

Kontrawariantny funktor potęgowy ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{-}{:}\ \mathbf {Set} \to \mathbf {Set} }$ jest też reprezentowalny przez zbiór ${\displaystyle \mathbf {2} =\{0,1\},}$ bowiem każdy element zbioru ${\displaystyle \langle A,\mathbf {2} \rangle }$ (czyli funkcja z ${\displaystyle A}$ do ${\displaystyle \mathbf {2} }$) jest funkcją charakterystyczną jakiegoś podzbioru zbioru ${\displaystyle A.}$

Podstawowy związek między omawianymi tu pojęciami wyraża następujące twierdzenie^[12]. Na to, aby funktor kowariantny ${\displaystyle \Psi \colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}}$ miał lewy sprzężony, potrzeba i wystarcza, aby dla każdego obiektu ${\displaystyle A\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {A}}}$ istniał obiekt ${\displaystyle B\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {B}}}$ taki, że funktor ${\displaystyle \langle A,\Psi (-)\rangle _{\mathfrak {A}}}$ z ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ do ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ jest reprezentowalny przez ${\displaystyle B.}$ Okazuje się, że wówczas ${\displaystyle \Phi (A)=B.}$

Własności funktorów sprzężonych

Załóżmy, że funktor ${\displaystyle \Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}}$ jest lewym sprzężonym do funktora ${\displaystyle \Psi \colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}.}$ Wówczas funktory te mają następujące własności^[13].

• ${\displaystyle \Phi }$ zachowuje epimorfizmy, tzn. dla każdego epimorfizmu ${\displaystyle \lambda \colon A_{1}\to A_{2}}$ kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ morfizm ${\displaystyle \Phi \lambda \colon \Phi (A_{1})\to \Phi (A_{2})}$ kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ jest też epimorfizmem. Dualnie, funktor ${\displaystyle \Psi }$ zachowuje monomorfizmy.
• ${\displaystyle \Phi }$ zachowuje koprodukty, tzn. jeżeli ${\displaystyle A_{1}\!\sqcup \!A_{2}}$ jest koproduktem obiektów ${\displaystyle A_{1},A_{2}}$ w kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {A}},}$ to ${\displaystyle \Phi (A_{1}\!\sqcup \!A_{2})}$ jest koproduktem obiektów ${\displaystyle \Phi (A_{1}),\Phi (A_{2})}$ w kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {B}}.}$ Dotyczy to również koproduktów nieskończonych rodzin obiektów. Dualnie, funktor ${\displaystyle \Psi }$ zachowuje produkty.
• ${\displaystyle \Phi }$ zachowuje obiekty początkowe, a ${\displaystyle \Psi }$ zachowuje obiekty końcowe.
• ${\displaystyle \Phi }$ zachowuje koekwalizatory, a ${\displaystyle \Psi }$ zachowuje ekwalizatory.
• Ogólniej, ${\displaystyle \Phi }$ zachowuje kogranice (końce) diagramów, a ${\displaystyle \Psi }$ zachowuje granice (początki) diagramów.

Dalsze przykłady funktorów sprzężonych

Pary funktorów sprzężonych ujawniają się w dość nieoczekiwanych miejscach. Wymienimy niektóre z nich.

1) W każdej algebrze Heytinga ${\displaystyle L,}$ dla każdego ${\displaystyle a\in L}$ funktor ${\displaystyle \Phi _{a}}$ z ${\displaystyle L}$ w ${\displaystyle L}$ o przyporządkowaniu obiektowym ${\displaystyle \Phi _{a}(b)=a\wedge b}$ jest lewym sprzężonym funktora ${\displaystyle \Psi _{a}}$ o przyporządkowaniu obiektowym ${\displaystyle \Psi _{a}(b)=a\to b.}$

2) Niech ${\displaystyle \mathbf {I} \colon {\mathfrak {A}}\to \mathbf {1} }$ oznacza jedyny funktor z danej kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ do kategorii ${\displaystyle \mathbf {1} }$ utworzonej ze zbioru jednoelementowego ${\displaystyle 1}$ i jego identyczności ${\displaystyle \mathbf {i} _{1}\colon 1\to 1.}$ Istnienie funktora ${\displaystyle \Lambda \colon \mathbf {1} \to {\mathfrak {A}}}$ lewego sprzężonego do ${\displaystyle \mathbf {I} }$ jest równoważne istnieniu obiektu początkowego w ${\displaystyle {\mathfrak {A}},}$ a istnienie funktora ${\displaystyle \Gamma \colon \mathbf {1} \to {\mathfrak {A}}}$ prawego sprzężonego do ${\displaystyle \mathbf {I} }$ jest równoważne istnieniu obiektu końcowego w ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$^[18].

3) Symbolem ${\displaystyle \mathrm {Form} (x_{1},\dots ,x_{n})}$ oznaczmy kategorię, w której obiektami są formuły ${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})}$ języka logiki pierwszego rzędu, a morfizmami

${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})\vdash \psi (x_{1},\dots ,x_{n})}$

są wynikania. Oczywiste zanurzenie ${\displaystyle \mathbf {I} \colon \mathrm {Form} (x_{1},\dots ,x_{n})\to \mathrm {Form} (x_{1},\dots ,x_{n},y),}$ w którym ${\displaystyle y}$ nie jest zmienną wolną w ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n}),}$ jest funktorem. Z reguł rachunku kwantyfikatorów wynika, że funktor ${\displaystyle \exists _{y}\colon \mathrm {Form} (x_{1},\dots ,x_{n},y)\to \mathrm {Form} (x_{1},\dots ,x_{n})}$ jest lewym sprzężonym funktora ${\displaystyle \mathbf {I} ,}$ a funktor

${\displaystyle \forall _{y}\colon \mathrm {Form} (x_{1},\dots ,x_{n},y)\to \mathrm {Form} (x_{1},\dots ,x_{n})}$

jest prawym sprzężonym funktora ${\displaystyle \mathbf {I} }$^[18].

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. T. 45. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna.
• Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5.
• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 63. ISBN 83-01-06260-6.

Linki zewnętrzne

• Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii, skrypt dla studentów Wydziału MIM UW, 29 listopada 2019 [dostęp 2021-08-17].
• Adjoint functor (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].