Flaga – rosnący ciąg podprzestrzeni skończeniewymiarowej przestrzeni liniowej ${\displaystyle V,}$ gdzie wyraz „rosnący” oznacza, iż każda z przestrzeni jest właściwą podprzestrzenią kolejnej (zob. filtracja):

${\displaystyle \{\mathbf {0} \}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \dots \subset V_{k}=V.}$

Jeżeli ${\displaystyle \dim V_{j}=d_{j},}$ to

${\displaystyle 0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\dots <d_{k}=n,}$

gdzie ${\displaystyle n}$ oznacza wymiar ${\displaystyle V}$ (przyjmując, że jest ona skończeniewymiarowa). Stąd musi być ${\displaystyle k\leqslant n.}$ Flagę nazywa się zupełną, jeżeli ${\displaystyle d_{j}=j,}$ w przeciwnym wypadku nazywa się ją częściową.

Flagę częściową można otrzymać z zupełnej poprzez usunięcie pewnej liczby podprzestrzeni i odwrotnie: każda flaga częściowa może być uzupełniona (na wiele różnych sposobów) poprzez wstawianie odpowiednich podprzestrzeni.

Ciąg ${\displaystyle (d_{1},\dots ,d_{k})}$ wymiarów podprzestrzeni z których się składa, nazywa się sygnaturą flagi.

Bazy

O uporządkowanej bazie ${\displaystyle V}$ mówi się, że jest adaptowana do flagi, jeżeli pierwsze ${\displaystyle d_{i}}$ wektorów bazowych stanowi bazę ${\displaystyle V_{j}}$ dla każdego ${\displaystyle 0\leqslant j\leqslant k.}$ Za pomocą standardowych twierdzeń algebry liniowej można dowieść, że każda flaga ma bazę adaptowaną.

Dowolna baza uporządkowana może być przekształcona we flagę zupełną przyjmując, iż każda z podprzestrzeni ${\displaystyle V_{j}}$ jest rozpięta przez pierwsze ${\displaystyle i}$ wektorów bazowych. Na przykład flaga standardowa w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ jest indukowana za pomocą bazy standardowej ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n}),}$ gdzie ${\displaystyle e_{j}}$ oznacza wektor z ${\displaystyle 1}$ na ${\displaystyle j}$-tej współrzędnej i z ${\displaystyle 0}$ na pozostałych. Mianowicie jest to ciąg podprzestrzeni:

${\displaystyle K^{0}=\{\mathbf {0} \}<\langle e_{1}\rangle <\langle e_{1},e_{2}\rangle <\dots <\langle e_{1},\dots ,e_{n}\rangle =K^{n}.}$

Baza adaptowana prawie nigdy nie jest wyznaczona jednoznacznie (trywialne kontrprzykłady); zobacz niżej.

Flaga zupełna na przestrzeni unitarnej ma w zasadzie wyznaczoną jednoznacznie bazę ortonormalną: jest ona jednoznaczna co do mnożenia każdego z wektorów przez jedność (skalar jednostkowy, jak np. ${\displaystyle 1,-1,i}$). Najłatwiej wynik ten osiągnąć za pomocą indukcji zauważając, że ${\displaystyle v_{j}\in V_{j-1}^{\perp }<V_{j},}$ co definiuje ją jednoznacznie co do jedności.

Bardziej abstrakcyjnie: jest ona wyznaczona jednoznacznie co do działania torusa maksymalnego – flaga odpowiada podgrupie Borela, a iloczyn skalarny jest odpowiednikiem maksymalnej podgrupy zwartej.

Stabilizator

Podgrupa stabilizatora standardowej flagi grupą odwracalnych macierzy górnotrójkątnych.

Ogólniej, stabilizator flagi (złożony z operatorów liniowych ${\displaystyle T}$ działających na ${\displaystyle V}$ takich, że ${\displaystyle T(V_{j})<V_{j}}$ dla każdego ${\displaystyle j}$) jest, w języku macierzy, algebrą górnotrójkątnych macierzy klatkowych (względem bazy adaptowanych), gdzie klatki są stopnia ${\displaystyle d_{j}-d_{j-1}.}$ Podgrupą stabilizatora flagi zupełnej jest górnotrójkątnych macierzy odwracalnych względem dowolnej bazy adaptowanej do flagi. Podgrupa macierzy dolnotrójkątnych względem takiej bazy zależy od tej bazy i z tego powodu nie może być scharakteryzowana wyłącznie za pomocą języka flag.

Podgrupa stabilizatora dowolnej flagi zupełnej jest podgrupą Borela (pełnej grupy liniowej), a stabilizator dowolnej flagi częściowej to podgrupa paraboliczna.

Podgrupa stabilizatora flagi działa w sposób regularny na bazach adaptowanych do flagi, tak więc nie są one wyznaczone w sposób jednoznaczny, o ile stabilizator nie jest trywialny, co zdarza się w wyjątkowej sytuacji: wyłącznie dla przestrzeni liniowej wymiaru ${\displaystyle 0}$ lub przestrzeni liniowej nad ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$ wymiaru ${\displaystyle 1}$ (a więc dokładnie w tych przypadkach, gdy istnieje dokładnie jedna baza, niezależnie od jakiejkolwiek flagi).

Uogólnienia

Zobacz też

• filtracja
• grassmannian
• rozmaitość flagowa