Charakterystyka częstotliwościowa

Charakterystykę częstotliwościową układu dyskretnego otrzymuje się rozważając jego funkcję transmitancji dla argumentów leżących na okręgu jednostkowym w dziedzinie ${\displaystyle \textstyle z,}$ tj. dla ${\displaystyle \textstyle z=e^{j\omega }.}$ A zatem, dla tego filtru grzebieniowego bez sprzężenia zwrotnego otrzymuje się:

${\displaystyle H(e^{j\omega })=1+\alpha e^{-j\omega k}.}$

Stosując wzór Eulera otrzymuje się równoważnie:

${\displaystyle H(e^{j\omega })=1+\alpha \cos {\omega k}-j\alpha \sin {\omega k}.}$

Obliczając moduł powyższego wyrażenia otrzymuje się charakterystykę amplitudową filtru:

${\displaystyle |H(e^{j\omega })|={\sqrt {\left(\Re \{{H(e^{j\omega })}\}\right)^{2}+\left(\Im \{{H(e^{j\omega })}\}\right)^{2}}}={\sqrt {\left(1+\alpha \cos {\omega k}\right)^{2}+\left(\alpha \sin {\omega k}\right)^{2}}},}$

skąd ostatecznie:

${\displaystyle |H(e^{j\omega })|={\sqrt {1+\alpha ^{2}+2\alpha \cos {\omega k}}}.}$

Zauważając, że składnik ${\displaystyle \textstyle (1+\alpha ^{2})}$ jest stały, podczas gdy ${\displaystyle \textstyle 2\alpha \cos {\omega k}}$ zmienia się okresowo wraz ze zmianą ${\displaystyle \textstyle \omega .}$ A zatem odpowiedź amplitudowa filtru grzebieniowego jest okresowa, z okresem ${\displaystyle \textstyle {\frac {2\pi }{k}}.}$

Przykłady

Na poniższym rysunku przedstawiono charakterystykę amplitudową filtru grzebieniowego dla ${\displaystyle \textstyle k=2}$ i kilku wybranych wartości ${\displaystyle \textstyle \alpha >0.}$ Jednostką osi odciętych jest znormalizowana częstotliwość (a zatem wartości ${\displaystyle \textstyle 2\pi }$ odpowiada częstotliwość próbkowania sygnału dyskretnego, a wartości ${\displaystyle \textstyle \pi }$ – częstotliwość Nyquista).

Przykładowe charakterystyki częstotliwościowe filtru grzebieniowego bez sprzężenia zwrotnego dla ${\displaystyle k=2}$ i dodatnich wartości parametru ${\displaystyle \alpha }$

Zauważając, że dla powyższego przykładu (${\displaystyle \textstyle k=2,}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha >0}$) pierwsze minimum charakterystyki filtru występuje w punkcie ${\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{2}},}$ co odpowiada sygnałowi o okresie czterech próbek (tzn. o częstotliwości ${\displaystyle \textstyle 4\times }$ mniejszej niż częstotliwość próbkowania). Istotnie, jeśli uwzględni się fakt, że opóźnienie o ${\displaystyle \textstyle k=2}$ próbki oznacza dla tego sygnału po prostu odwrócenie fazy, to łatwo zauważyć, iż po zsumowaniu z sygnałem oryginalnym otrzyma się sygnał zerowy (dla ${\displaystyle \textstyle \alpha =1}$). Dla ${\displaystyle \textstyle 0<\alpha <1}$ uzyskane wygaszenie sygnału będzie częściowe.

Dla sygnału o maksymalnej częstotliwości (połowa częstotliwości próbkowania, i.e. dwie próbki na okres) jego opóźnienie o ${\displaystyle \textstyle k=2}$ próbki daje sygnał oryginalny, a zatem dla ${\displaystyle \textstyle \alpha =1}$ na wyjściu sumatora otrzyma się sygnał o dwukrotnie większej amplitudzie. Odpowiada to widocznemu maksimum charakterystyki dla ${\displaystyle \textstyle \omega =\pi .}$

Na kolejnym rysunku zaprezentowano przypadek gdy ${\displaystyle \textstyle \alpha <0.}$

Przykładowe charakterystyki częstotliwościowe filtru grzebieniowego bez sprzężenia zwrotnego dla ${\displaystyle k=2}$ i ujemnych wartości parametru ${\displaystyle \alpha }$

Zauważając, że minima charakterystyki odpowiadają maksimom z rysunku (dla ${\displaystyle \textstyle \alpha >0}$) i vice versa. Dla ${\displaystyle \textstyle \alpha >0}$ minima występują dla częstotliwości:

${\displaystyle f={\frac {f_{s}}{2k}},{\frac {3f_{s}}{2k}},{\frac {5f_{s}}{2k}},\dots }$

gdzie ${\displaystyle \textstyle f_{s}}$ to częstotliwość próbkowania sygnału.

Zauważając też, że wartości w minimach i maksimach charakterystyki amplitudowej są równoodległe od jedności, a w przypadku gdy ${\displaystyle \textstyle \alpha =\pm 1}$ minima osiągają wartość zero.

Odpowiedź impulsowa

Filtr grzebieniowy bez sprzężenia zwrotnego jest jednym z najprostszych filtrów o skończonej odpowiedzi impulsowej^[3]. Jego odpowiedź impulsowa składa się po prostu z wyjściowego impulsu powtórzonego po ${\displaystyle \textstyle k}$ próbkach.

Bieguny i zera transmitancji

Rozważając licznik i mianownik funkcji transmitancji filtru grzebieniowego bez sprzężenia zwrotnego:

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{k}+\alpha }{z^{k}}}.}$

należy zauważyć, że mianownik ma miejsce zerowe (biegun transmitancji) dla ${\displaystyle \textstyle z=0,}$ zaś miejsca zerowe licznika (zera transmitancji) występują dla takich ${\displaystyle \textstyle z,}$ dla których ${\displaystyle \textstyle z^{k}=-\alpha .}$ Ich liczba wynosi dokładnie ${\displaystyle \textstyle k,}$ jak widać na rysunkach poniżej, a ich położenia pokrywają się z minimami charakterystyki częstotliwościowej. Zauważając, że dla ${\displaystyle \textstyle \alpha =-1}$ zera transmitancji odpowiadają zespolonym pierwiastkom ${\displaystyle \textstyle k}$-tego stopnia z jedności.

Charakterystyka częstotliwościowa

Przykładowe charakterystyki częstotliwościowe filtru grzebieniowego ze sprzężeniem zwrotnym dla ${\displaystyle k=2}$ i dodatnich wartości parametru ${\displaystyle \alpha }$

Podstawiając ${\displaystyle \textstyle z=e^{j\omega }}$ we wzorze na transmitancję otrzymuje się charakterystykę częstotliwościową filtru ze sprzężeniem zwrotnym:

${\displaystyle H(e^{j\omega })={\frac {1}{1-\alpha e^{-j\omega k}}}.}$

Analogicznie jak dla wersji bez sprzężenia zwrotnego, pamiętając że moduł odwrotności liczby zespolonej, to odwrotność modułu, otrzymuje się charakterystykę amplitudową:

${\displaystyle |H(e^{j\omega })|={\frac {1}{\sqrt {1+\alpha ^{2}-2\alpha \cos {\omega k}}}}.}$

Jest ona okresowa, podobnie jak w przypadku bez sprzężenia zwrotnego i podobnie jak tam maksima dla dodatnich wartości ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ odpowiadają minimom dla ujemnych ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ i vice versa. Dla ${\displaystyle \textstyle \alpha >0}$ maksima występują dla częstotliwości:

${\displaystyle f=0,{\frac {f_{s}}{k}},{\frac {2f_{s}}{k}},{\frac {3f_{s}}{k}},\dots }$

gdzie ${\displaystyle \textstyle f_{s}}$ to częstotliwość próbkowania sygnału.

Przykładowe charakterystyki częstotliwościowe filtru grzebieniowego ze sprzężeniem zwrotnym dla ${\displaystyle k=2}$ i ujemnych wartości parametru ${\displaystyle \alpha }$

W przeciwieństwie do filtru bez sprzężenia zwrotnego, wartości w minimach i maksimach charakterystyki amplitudowej nie są tu równoodległe od jedności (maksima przyjmują wartość ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{1-\alpha }}}$). Zauważając też, że sprzężenie zwrotne powoduje, że filtr jest stabilny tylko dla ${\displaystyle \textstyle |\alpha |<1,}$ a wraz ze wzrostem wartości ${\displaystyle \textstyle |\alpha |,}$ od 0 do 1, amplituda maksimów gwałtownie rośnie.

Odpowiedź impulsowa

Filtr grzebieniowy ze sprzężeniem zwrotnym to prosty filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej^[4]. Jeżeli jest stabilny, jego odpowiedź impulsowa składa się z ciągu powtarzających się impulsów o amplitudzie stopniowo malejącej wraz z czasem.

Bieguny i zera transmitancji

Z uwagi na postać wielomianu w mianowniku funkcji transmitancji:

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {1}{1-\alpha z^{-k}}}={\frac {z^{k}}{z^{k}-\alpha }}.}$

należy zauważyć, że jego miejsca zerowe (bieguny transmitancji) występują dla takich ${\displaystyle \textstyle z,}$ dla których ${\displaystyle \textstyle z^{k}=\alpha .}$ Ich liczba wynosi dokładnie ${\displaystyle \textstyle k,}$ jak widać na rysunkach poniżej, a ich położenia pokrywają się z maksimami charakterystyki częstotliwościowej. Dla ${\displaystyle \textstyle |\alpha |<1}$ bieguny transmitancji znajdują się wewnątrz okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej, a zatem filtr jest stabilny. Licznik transmitancji przyjmuje wartość 0, gdy ${\displaystyle \textstyle z^{k}=0,}$ co daje ${\displaystyle \textstyle k}$ zer funkcji transmitancji w punkcie ${\displaystyle \textstyle z=0.}$