Całki Fresnela

Całka Fresnela – dwie funkcje specjalne ${\displaystyle S(x)}$ i ${\displaystyle C(x),}$ zwane odpowiednio sinusem i cosinusem Fresnela, zdefiniowane następująco:

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}},}$

${\displaystyle C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}.}$

Należy zauważyć, że istnieje też inna definicja, w której powyższe całki są mnożone przez czynnik ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\pi }{2}}}.}$

Nazwa tych funkcji została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego fizyka i inżyniera Augustina Jeana Fresnela.

Całki te pojawiły się w związku z optycznym efektem dyfrakcji Fresnela.

Wybrane własności

Funkcje ${\displaystyle C(x)}$ i ${\displaystyle S(x)}$ dla ${\displaystyle x}$ rzeczywistego są funkcjami nieparzystymi.

Związek z funkcją błędu:

${\displaystyle C(z)+iS(z)={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}(1+i)\,\mathrm {erf} \left({\frac {(1-i)z}{2}}\right).}$

Wartości graniczne dla ${\displaystyle x}$ rzeczywistego:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }C(x)=\lim _{x\to \infty }S(x)={\sqrt {\frac {\pi }{8}}},}$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }C(x)=\lim _{x\to -\infty }S(x)=-{\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.}$

Klotoida

Klotoida znana także jako spirala Cornu lub spirala Eulera, to krzywa powstająca przez narysowanie wykresu parametrycznego funkcji ${\displaystyle S(t)}$ względem ${\displaystyle C(t).}$ Ponieważ ${\displaystyle t}$ jest miarą długości łukowej tejże spirali, zatem spirala ta ma nieskończoną długość. Klotoida znalazła też zastosowanie przy projektowaniu szos.

Linki zewnętrzne

• Jerzy Kosek, Obliczenia całek Fresnela przez rozkład na szereg funkcji Bessela rzędu połówkowego. interferencja.republika.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-05-09)].