Wykres złotej funkcji

Złota funkcja – funkcja zmiennej rzeczywistej, której wykresem w kartezjańskim układzie współrzędnych XY jest górna gałąź hiperboli:

${\displaystyle {\frac {y^{2}-1}{y}}=x.}$

W formie jawnej:

${\displaystyle y=\operatorname {gold} \ x={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}.}$

Mając zdefiniowaną funkcję ${\displaystyle \operatorname {gold} (x),}$ dolną gałąź hiperboli można opisać jako wykres ${\displaystyle y=-\operatorname {gold} (-x).}$

Własności

Funkcja jest ciągła, dodatnia. Dla przeciwnych argumentów przyjmuje odwrotne wartości:

${\displaystyle \operatorname {gold} (-x)={\tfrac {1}{\operatorname {gold} \,x}},}$    czyli    ${\displaystyle \operatorname {gold} \,x\cdot \operatorname {gold} (-x)=1.}$

Dla argumentów dążących do minus nieskończoności funkcja maleje do zera, zaś dla rosnących do nieskończoności rośnie nieograniczenie:

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\operatorname {gold} \,x=0,\quad \lim _{x\to \infty }\operatorname {gold} \,x=\infty }$

i asymptotami wykresu są

${\displaystyle y=0}$ dla ${\displaystyle x\to -\infty ,}$

${\displaystyle y=x}$ dla ${\displaystyle x\to +\infty .}$

Wartością gold(0) jest 1, gold(1) jest złota liczba ${\displaystyle (1+{\sqrt {5}}):2,}$ a gold(2) – srebrna liczba ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}.}$

Złota funkcja jest powiązana z sinusem hiperbolicznym przez równość:

${\displaystyle \operatorname {arsinh} \ x=\ln \left(\operatorname {gold} \ 2x\right).}$

Zobacz też

• Funkcje hiperboliczne