Definicje

• Powiemy, że zbiór ${\displaystyle F\subseteq \mathbb {B} \setminus \{\mathbf {0} \}}$ jest filtrem na algebrze ${\displaystyle \mathbb {B} ,}$ gdy następujące warunki są spełnione:

(a) ${\displaystyle \mathbf {1} \in F,}$

(b) jeśli ${\displaystyle a\in F}$ oraz ${\displaystyle a\leqslant b\in \mathbb {B} }$ (czyli ${\displaystyle a\cdot (\sim b)={\mathbf {0} }}$), to też ${\displaystyle b\in F,}$

(c) jeśli ${\displaystyle a,b\in F,}$ to również ${\displaystyle a\cdot b\in F.}$

• Filtr ${\displaystyle F}$ na algebrze ${\displaystyle \mathbb {B} }$ jest filtrem maksymalnym, jeśli jedynym filtrem zawierającym ${\displaystyle F}$ jest filtr ${\displaystyle F.}$ (filtr maksymalny to taki filtr który nie może być rozszerzony do większego filtru). Filtry maksymalne na algebrze ${\displaystyle \mathbb {B} }$ są też nazywane ultrafiltrami. Zbiór wszystkich ultrafiltrów na algebrze ${\displaystyle \mathbb {B} }$ jest oznaczany przez ${\displaystyle \mathrm {Ult} (\mathbb {B} ).}$
• Dla ${\displaystyle a\in \mathbb {B} }$ definiuje się ${\displaystyle e(a)=\{p\in \mathrm {Ult} (\mathbb {B} )\colon a\in p\}\subseteq \mathrm {Ult} (\mathbb {B} ).}$

Obserwacje

• Niech ${\displaystyle F\subseteq \mathbb {B} \setminus \{{\mathbf {0} }\}}$ będzie filtrem. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i) ${\displaystyle F}$ jest ultrafiltrem,

(ii) dla każdego elementu ${\displaystyle a\in \mathbb {B} ,}$ albo ${\displaystyle a\in F}$ lub ${\displaystyle \sim a\in F,}$

(iii) dla każdych ${\displaystyle a,b\in \mathbb {B} ,}$ jeśli ${\displaystyle a+b\in F,}$ to ${\displaystyle a\in F}$ lub ${\displaystyle b\in F.}$

• Każdy filtr ${\displaystyle F\subseteq \mathbb {B} \setminus \{{\mathbf {0} }\}}$ jest zawarty w pewnym ultrafiltrze (to stwierdzenie wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru).
• Dla dowolnych ${\displaystyle a,b\in \mathbb {B} }$ mamy, że

${\displaystyle e(a+b)=e(a)\cup e(b),}$ ${\displaystyle e(a\cdot b)=e(a)\cap e(b)}$ oraz ${\displaystyle e(\sim a)=\mathrm {Ult} (\mathbb {B} )\setminus e(a).}$

• Rodzina ${\displaystyle \{e(a):a\in \mathbb {B} \}}$ jest bazą pewnej topologii ${\displaystyle \tau _{\mathrm {St} }}$ na ${\displaystyle \mathrm {Ult} (\mathbb {B} ).}$ Przestrzeń topologiczna ${\displaystyle (\mathrm {Ult} (\mathbb {B} ),\tau _{\mathrm {St} })}$ jest zerowymiarową zwartą przestrzenią T₂ (tę przestrzeń nazywamy przestrzenią Stone’a algebry ${\displaystyle \mathbb {B} }$).
• Odwzorowanie ${\displaystyle e}$ jest izomorfizmem pomiędzy algebrą ${\displaystyle \mathbb {B} }$ a ciałem ${\displaystyle {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {B} )}$ otwarto-domkniętych podzbiorów jej przestrzeni Stone’a.

Twierdzenie Stone’a o dualności

Dla każdej algebry Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} }$ istnieje izomorfizm

${\displaystyle s_{\mathbb {B} }\colon \mathbb {B} \to {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {B} ),}$

przy czym

• dla każdej algebry Boole’a ${\displaystyle \mathbb {A} }$
• dla każdego homomorfizmu ${\displaystyle h\colon \mathbb {B} \to \mathbb {A} }$

istnieje dokładnie jedna taka funkcja ciągła

${\displaystyle h^{*}\colon {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {A} )\to {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {B} ),}$

że

${\displaystyle h=s_{\mathbb {A} }^{-1}\circ h^{*}\circ s_{\mathbb {B} }.}$

Ponadto

• jeżeli ${\displaystyle h^{*}}$ jest różnowartościowa, to ${\displaystyle h}$ jest epimorfizmem,
• jeżeli ${\displaystyle h^{*}}$ jest „na”, to ${\displaystyle h}$ jest monomorfizmem,
• jeżeli ${\displaystyle \mathbb {C} }$ jest algebrą Boole’a oraz ${\displaystyle g\colon \mathbb {C} \to \mathbb {B} }$ jest homomorfizmem, to

${\displaystyle (h\circ g)^{*}=g^{*}\circ h^{*}.}$