Twierdzenie Stokesa

George Gabriel Stokes (1819–1903)

Twierdzenie Stokesa – twierdzenie mówiące, że cyrkulacja pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym konturze gładkim jest równa strumieniowi rotacji pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w teorii pól. Używane jest w mechanice płynów, równaniach Maxwella i wielu innych. Twierdzenia Greena i Ostrogradskiego-Gaussa można traktować jako szczególne przypadki twierdzenia Stokesa^[1].

Twierdzenie Stoksa ma źródła w pracach Ampère'a z 1826 roku. W jego standardowej postaci została opracowana przez Williama Thomsona jeszcze przed 1850 rokiem i przekazana G. G. Stokesowi, który opublikował je jako problem w egzaminach nagrody Smitha w 1854 roku. Nie jest wiadome, czy ktoś rozwiązał problem, ale jednym z uczestników był Maxwell, to właśnie on uzyskał informacje, że Stokes otrzymał twierdzenie od Thomsona. Pierwszy dowód twierdzenia został opublikowany przez Hermanna Hankela w 1861^[1].

Twierdzenie Stokesa w przestrzeni $\mathbb {R} ^{3}$

Jeżeli $\Sigma$ jest płatem powierzchni w $\mathbb {R} ^{3},$ a $\partial \Sigma$ jego gładkim, zorientowanym dodatnio konturem, to dla dowolnego pola wektorowego $F\colon =P{\vec {i}}+Q{\vec {j}}+R{\vec {k}},$ (gdzie $F\in C^{1}({\bar {\Sigma }})$ ) mamy^[2]:

\oint \limits _{\,\partial \Sigma }{\vec {F}}d({\vec {\partial \Sigma }})=\iint \limits _{\Sigma }\operatorname {rot} {\vec {F}}d{\vec {\Sigma }}.

Dowód

Niech $\Sigma =\{r(s,t),\,(s,t)\in D\},$ gdzie $r(s,t)=(x(s,t),\,y(s,t),\,z(s,t))$ oraz $r(D)=\Sigma .$ Wówczas, wykorzystując regułę łańcuchową oraz wzór na całkę krzywoliniową (tu krzywą jest $r(s,t)$ ), otrzymujemy równość:

\oint \limits _{\,\partial \Sigma }Pdx=\oint \limits _{\partial D}(P\circ r)(x'_{s}ds+x'_{t}dt).

(Analogiczne wzory zachodzą dla składowych $Q$ i $R$ ).

A więc z twierdzenia Greena mamy:

\oint \limits _{\,\partial \Sigma }Pdx=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial }{\partial s}}((P\circ r)x'_{t})-{\frac {\partial }{\partial t}}((P\circ r)x'_{s})\right)ds\,dt.

Po prawej stronie powyższej równości stosujemy wzór na pochodną iloczynu oraz regułę łańcuchową i otrzymujemy:

\oint \limits _{\,\partial \Sigma }Pdx=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial P}{\partial y}}(x'_{t}y'_{s}-x'_{s}y'_{t})+{\frac {\partial P}{\partial z}}(x'_{t}z'_{s}-x'_{s}z'_{t})\right)ds\,dt.

Gdy przeprowadzimy analogiczne rozumowania dla składowych $Q$ i $R$ i wyniki zsumujemy, otrzymamy:

\oint \limits _{\,\partial \Sigma }{\vec {F}}d({\vec {\partial \Sigma }})=\iint \limits _{D}(\operatorname {rot} F(s,t))\circ {\vec {n}}(s,t)ds\,dt,

gdzie ${\vec {n}}(s,t)=r'_{s}\times r'_{t}.$

Jednak prawa strona powyższego równanie jest strumieniem pola wektorowego $\operatorname {rot} F$ przez płat $\Sigma .$ Co daje tezę.

Najogólniejsza wersja twierdzenia Stokesa

Twierdzenie Stokesa można wypowiedzieć najogólniej dla $n$ -wymiarowych powierzchni gładkich.

Załóżmy, że $H\subseteq \mathbb {R} ^{N}$ jest orientowalną powierzchnią gładką, $K\subseteq H$ jest zbiorem zwartym oraz $K=\operatorname {cl\,Int} K$ oraz że brzeg $\mathrm {Fr} K$ jest $(M\!-\!1)$ -wymiarową powierzchnią gładką. Jeżeli $W\subseteq \mathbb {R} ^{N}$ jest zbiorem otwartym zawierającym powierzchnię $H,$ $\Omega \colon W\to S^{M-1}(\mathbb {R} ^{N},\mathbb {R} )$ jest formą klasy $C^{1},$ a $\sigma$ jest orientacją powierzchni $H,$ to

{}\,\int \limits _{[K]_{\sigma }}d\Omega =\int \limits _{[\mathrm {Fr} K]_{\sigma ^{\mathrm {Fr} }}}\Omega ,

gdzie orientacja $\sigma ^{\rm {Fr}}$ powierzchni $\mathrm {Fr} K$ dana jest wzorem

\sigma ^{\mathrm {Fr} }(y)=\{(a_{1},\dots ,a_{M-1})\in B_{(\mathrm {Fr} K)_{y}}\colon \,(z(y),a_{1},\dots ,a_{M-1})\in \sigma (y)\}

dla $y\in \mathrm {Fr} K,$ a

z\colon \mathrm {Fr} K\to \mathbb {R} ^{N}

jest taką funkcją, że $z(y)$ jest wektorem zewnętrznym do zbioru $K$ w punkcie $y,$ $|z(y)|=1,$ $z(y)$ jest wektorem normalnym do powierzchni $\mathrm {Fr} K$ w punkcie $y$ dla każdego $y\in \mathrm {Fr} K.$

Wnioski

Wzór Gaussa-Ostrogradskiego

Załóżmy, że $W\subseteq \mathbb {R} ^{N}$ jest zbiorem otwartym, $K\subseteq W$ zbiorem zwartym, który jest równy domknięciu swojego wnętrza oraz takim, brzeg $\mathrm {Fr} K$ jest $(N\!-\!1)$ -wymiarową powierzchnią gładką oraz

z\colon \mathrm {Fr} K\to \mathbb {R} ^{N}

jest funkcją o własnościach

$z(y)$ jest wektorem zewnętrznym do $K$ w punkcie $y,$
$|z(y)|=1,$
$z(y)$ jest wektorem normalnym do $\mathrm {Fr} K$ w punkcie $y$ leżącym na brzegu $\mathrm {Fr} K.$

Jeżeli $\omega \colon W\to \mathbb {R} ^{N}$ jest funkcją klasy $C^{1},$ to

{}\,\int \limits _{\mathrm {Fr} (K)}\omega (y)z(y)\mu _{\mathrm {Fr} }(dy)=\int \limits _{K}\operatorname {div} \omega (y)dy,

gdzie $\operatorname {div}$ oznacza operator dywergencji.

Wzór Greena-Riemanna

Załóżmy, że $W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ jest zbiorem otwartym, $K\subset W$ jest zbiorem zwartym takim, że $K=\operatorname {cl\,Int} K$ oraz brzeg $\mathrm {Fr} K$ jest krzywą gładką (to znaczy powierzchnią gładką 1-wymiarową), a ponadto

s\colon \mathrm {Fr} K\to \mathbb {R} ^{2}

jest funkcją o własnościach

$s(y)$ jest wektorem stycznym do krzywej $\mathrm {Fr} K$ w punkcie $y,$
$|s(y)|=1,$
$\det[z(y),s(y)]>0.$

gdzie $z(y)$ jest funkcją taką jak w poprzednim twierdzeniu (przy $N=2$ ). Jeżeli $\omega =(\omega _{1},\omega _{2})\colon W\to \mathbb {R} ^{2}$ jest funkcją klasy $C^{1},$ to

{}\,\int \limits _{\mathrm {Fr} (K)}\omega (y)s(y)\mu _{\mathrm {Fr} }(dy)=\int \limits _{K}(\omega _{2|1}(y)-\omega _{1|2}(y))dy.

Przypisy

1 2 Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, s. 207-208. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
↑ Stokesa twierdzenie, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-02] .

Linki zewnętrzne

Jerzy Juliusz Kijowski, Twierdzenie Stokesa, kanał Centrum Fizyki Teoretycznej PAN na YouTube, 18 maja 2021 [dostęp 2021-05-23].
Stokes theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[Jahnke-1] 1 2 Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, s. 207-208. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

[epwn-2] Stokesa twierdzenie, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-02] .

[1]

[2]

typy	całka wielokrotna całka podwójna całka krzywoliniowa całka powierzchniowa
twierdzenia	Fubiniego Greena Ostrogradskiego-Gaussa Stokesa
powiązane pojęcia	pole skalarne pole wektorowe jakobian gradient dywergencja rotacja forma różniczkowa rozmaitość różniczkowa brzeg
uczeni	Carl Friedrich Gauss George Green Michaił Ostrogradski Carl Gustav Jakob Jacobi George Gabriel Stokes Guido Fubini

Twierdzenie Stokesa w przestrzeni R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}