Dla przestrzeni unormowanych

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią unormowaną. Wówczas kula jednostkowa w przestrzeni ${\displaystyle X^{*},}$ tj. zbiór

${\displaystyle B_{X^{*}}=\{f\in X^{*}:\|f\|\leqslant 1\},}$

jest zwarta w *-słabej topologii przestrzeni ${\displaystyle X^{*}.}$

Wersja ta jest bezpośrednią konsekwencją następującej wersji twierdzenia dla przestrzeni liniowo-topologicznych z uwagi na to, że norma w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej wyraża się wzorem:

${\displaystyle \|f\|=\sup\{|\langle f,x\rangle |:x\in B_{X}\},}$

tj.

${\displaystyle (B_{X})^{\circ }=B_{X^{*}}}$

w sensie notacji wprowadzonej niżej.

Dla przestrzeni liniowo-topologicznych

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią liniowo-topologiczną oraz niech ${\displaystyle U}$ będzie otoczeniem zera w ${\displaystyle X.}$ Wówczas zbiór

${\displaystyle U^{\circ }=\{f\in X^{\star }:|\langle f,x\rangle |\leqslant 1,\,x\in U\}}$

jest zwarty w *-słabej topologii ${\displaystyle X^{*}.}$

Dowód^[5]. Dla każdego ${\displaystyle f\in U^{\circ },}$ obraz ${\displaystyle f(U)}$ zawiera się w kole domkniętym

${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C}$ :|z|\leqslant 1\}.}

Każdemu funkcjonałowi ${\displaystyle f\in U^{\circ }}$ odpowiada zatem punkt ${\displaystyle \psi (f)}$ przestrzeni produktowej ${\displaystyle G=D^{U},}$ która jest zwarta na mocy twierdzenia Tichonowa. Ponieważ *-słaba topologia w ${\displaystyle U^{\circ }}$ jest topologią zbieżności punktowej na ${\displaystyle U,}$ wystarczy pokazać, że zbiór punktów ${\displaystyle G}$ odpowiadających funkcjonałom z ${\displaystyle U^{\circ },}$ tj. zbiór ${\displaystyle \psi (U^{\circ }),}$ jest domknięty. (Istotnie, domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty).

Niech ${\displaystyle (f_{\gamma })}$ będzie siecią elementów z ${\displaystyle U^{\circ }}$ o tej własności, że sieć ${\displaystyle \psi (f_{\gamma })}$ jest zbieżna punktowo do pewnego ${\displaystyle F\in G.}$ Jeżeli ${\displaystyle x,y}$ są takimi elementami ${\displaystyle U}$ oraz ${\displaystyle a,b}$ są takimi skalarami, że ${\displaystyle ax+by\in U,}$ to

${\displaystyle {\begin{aligned}F(ax+by)&=\lim _{\gamma }\psi (f_{\gamma })(ax+by)\\&=\lim _{\gamma }\langle f_{\gamma },ax+by\rangle \\&=\lim _{\gamma }{\big (}a\langle f_{\gamma },x\rangle +b\langle f_{\gamma },y\rangle {\big )}\\&=aF(x)+bF(y).\end{aligned}}}$

Oznacza to, że ${\displaystyle F}$ odpowiada funkcjonałowi ${\displaystyle f}$ z ${\displaystyle U^{\circ },}$ tj. ${\displaystyle F=\psi (f),}$ co dowodzi domkniętości zbioru ${\displaystyle \psi (U^{\circ })}$ w ${\displaystyle G.}$

Twierdzenie Alaoglu-Bourbakiego

Istnieje również następująca abstrakcyjna wersja twierdzenia, nazywana czasem twierdzeniem Alaoglu-Bourbakiego^[6].

Niech ${\displaystyle (X,Y)}$ będzie parą dualną przestrzeni liniowo-topologicznych. Wówczas każdy podzbiór ${\displaystyle Y}$ złożony z ${\displaystyle X}$-równociągłych elementów jest relatywnie zwarty w topologii ${\displaystyle \sigma (Y,X).}$